基于Jacobi旋转的对称矩阵特征值分解并行算法

字数 2826 2025-12-24 10:21:22

基于Jacobi旋转的对称矩阵特征值分解并行算法

算法描述
给定一个实对称矩阵 \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\)，Jacobi特征值算法通过一系列正交相似变换（Jacobi旋转），逐步将 \(A\) 对角化，从而得到全部特征值和特征向量。经典Jacobi算法按顺序逐对消去非对角元素，但计算成本高。并行Jacobi算法 通过重新组织旋转对的顺序（如循环Jacobi或并行Jacobi排序），允许多个非对角元素同时被消去，显著提升大规模对称矩阵特征值问题的求解效率。算法最终输出对角矩阵 \(D\)（特征值）和正交矩阵 \(V\)（特征向量），满足 \(A = V D V^T\)。

循序渐进讲解

1. 核心思想
对称矩阵的特征值分解可转化为寻找正交矩阵 \(V\)，使 \(V^T A V\) 为对角矩阵。Jacobi旋转是通过二维平面旋转（Givens旋转）消去指定的非对角元素 \(a_{ij}\) 和 \(a_{ji}\)。每次旋转只修改第 \(i\) 行、第 \(j\) 行和第 \(i\) 列、第 \(j\) 列的元素，矩阵整体保持对称性。经典Jacobi按最大非对角元顺序消去，但并行算法允许同时处理多个不相交的旋转对（即索引不重叠的行列对），从而并行执行多个旋转。

2. 单次Jacobi旋转的数学推导
设当前目标消去 \(a_{ij} (i < j)\)。构造正交矩阵 \(J(i, j, \theta)\)（Jacobi旋转矩阵），形式为：

对角元：\(J_{kk} = 1\)（当 \(k \neq i, j\)），\(J_{ii} = J_{jj} = \cos\theta\)。
非对角元：\(J_{ij} = -J_{ji} = \sin\theta\)（其余为0）。

对 \(A\) 的相似变换：\(A' = J^T A J\)。仅行列 \(i, j\) 被修改：

\[\begin{aligned} a'_{ii} &= a_{ii} \cos^2\theta + a_{jj} \sin^2\theta - 2a_{ij} \sin\theta \cos\theta, \\ a'_{jj} &= a_{ii} \sin^2\theta + a_{jj} \cos^2\theta + 2a_{ij} \sin\theta \cos\theta, \\ a'_{ij} &= a'_{ji} = (a_{ii} - a_{jj}) \sin\theta \cos\theta + a_{ij} (\cos^2\theta - \sin^2\theta), \\ a'_{ik} &= a'_{ki} = a_{ik} \cos\theta - a_{jk} \sin\theta \quad (k \neq i, j), \\ a'_{jk} &= a'_{kj} = a_{ik} \sin\theta + a_{jk} \cos\theta \quad (k \neq i, j). \end{aligned} \]

选择 \(\theta\) 使 \(a'_{ij} = 0\)，解得：

\[\tan 2\theta = \frac{2a_{ij}}{a_{jj} - a_{ii}} \quad (\text{当 } a_{ii} = a_{jj} \text{时取 } \theta = \pi/4). \]

3. 并行化策略——旋转对分组
关键：同时进行的旋转必须作用于互不相交的行列对（即索引集合无交集）。常用分组模式包括：

循环Jacobi排序：将 \(n\) 个索引分成若干组，每组内任意两个索引不同时出现在多个旋转对中。经典模式是“奇偶排序”（Odd-Even Ordering），适用于双向环网拓扑。
并行Jacobi排序：对 \(n \times n\) 矩阵的非对角上三角部分，设计固定的 \(n/2\) 个旋转对（当 \(n\) 为偶数），每组旋转可并行执行。经过 \(n-1\) 组后，所有非对角元至少被处理一次，称为一次“扫描”（sweep）。

4. 算法步骤
a. 初始化：\(V = I_n\)（单位矩阵），\(A^{(0)} = A\)。
b. 循环直到非对角元范数小于阈值 \(\epsilon\)：
1. 根据并行排序生成一组旋转对 \((i_1, j_1), (i_2, j_2), \dots\)（索引互不相交）。
2. 对每个旋转对并行计算旋转角 \(\theta_k\) 及旋转矩阵 \(J_k\)。
3. 并行更新 \(A\)：每个旋转对独立更新对应的行和列（注意避免写冲突）。
4. 并行更新 \(V\)：\(V \leftarrow V \cdot J_k\) 对每列独立累积变换。
c. 输出：\(D\) 为 \(A\) 的对角线（特征值），\(V\) 的列为特征向量。

5. 数值稳定与收敛性

每次旋转后，矩阵的Frobenius范数不变，但非对角元平方和减小。经过一次完整扫描，非对角元范数以因子 \(\sqrt{1 - 2/(n-1)}\) 衰减。
为减少舍入误差，通常用 \(t = \tan\theta\) 代替三角函数直接计算：

\[t = \frac{\mathrm{sign}(\tau)}{|\tau| + \sqrt{1 + \tau^2}}, \quad \tau = \frac{a_{jj} - a_{ii}}{2a_{ij}}. \]

然后计算 \(c = 1/\sqrt{1+t^2}\), \(s = c \cdot t\)。

6. 并行效率与实现细节

内存分布：按行块或列块划分矩阵存储于不同处理器，更新时需要通信相邻行列。
通信优化：旋转对分组应最小化处理器间数据交换（如使用超立方体拓扑映射）。
终止条件：监测 \(\mathrm{off}(A) = \sqrt{\sum_{i \neq j} a_{ij}^2}\) 是否小于 \(\epsilon \cdot \|A\|_F\)。

总结
基于Jacobi旋转的并行算法通过精心设计的旋转对分组，将经典O(\(n^3\)) 的串行Jacobi分解转化为可高度并行的过程，特别适用于大规模稠密对称矩阵。其稳定性高，能同时计算全部特征向量，但收敛速度线性，通常需数十次扫描。现代实现常结合多核CPU或GPU加速，是大规模特征值问题的重要工具之一。

基于Jacobi旋转的对称矩阵特征值分解并行算法算法描述给定一个实对称矩阵 \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \)，Jacobi特征值算法通过一系列正交相似变换（Jacobi旋转），逐步将 \( A \) 对角化，从而得到全部特征值和特征向量。经典Jacobi算法按顺序逐对消去非对角元素，但计算成本高。并行Jacobi算法通过重新组织旋转对的顺序（如循环Jacobi或并行Jacobi排序），允许多个非对角元素同时被消去，显著提升大规模对称矩阵特征值问题的求解效率。算法最终输出对角矩阵 \( D \)（特征值）和正交矩阵 \( V \)（特征向量），满足 \( A = V D V^T \)。循序渐进讲解 1. 核心思想对称矩阵的特征值分解可转化为寻找正交矩阵 \( V \)，使 \( V^T A V \) 为对角矩阵。Jacobi旋转是通过二维平面旋转（Givens旋转）消去指定的非对角元素 \( a_ {ij} \) 和 \( a_ {ji} \)。每次旋转只修改第 \( i \) 行、第 \( j \) 行和第 \( i \) 列、第 \( j \) 列的元素，矩阵整体保持对称性。经典Jacobi按最大非对角元顺序消去，但并行算法允许同时处理多个不相交的旋转对（即索引不重叠的行列对），从而并行执行多个旋转。 2. 单次Jacobi旋转的数学推导设当前目标消去 \( a_ {ij} (i < j) \)。构造正交矩阵 \( J(i, j, \theta) \)（Jacobi旋转矩阵），形式为：对角元：\( J_ {kk} = 1 \)（当 \( k \neq i, j \)），\( J_ {ii} = J_ {jj} = \cos\theta \)。非对角元：\( J_ {ij} = -J_ {ji} = \sin\theta \)（其余为0）。对 \( A \) 的相似变换：\( A' = J^T A J \)。仅行列 \( i, j \) 被修改： \[ \begin{aligned} a' {ii} &= a {ii} \cos^2\theta + a_ {jj} \sin^2\theta - 2a_ {ij} \sin\theta \cos\theta, \\ a' {jj} &= a {ii} \sin^2\theta + a_ {jj} \cos^2\theta + 2a_ {ij} \sin\theta \cos\theta, \\ a' {ij} &= a' {ji} = (a_ {ii} - a_ {jj}) \sin\theta \cos\theta + a_ {ij} (\cos^2\theta - \sin^2\theta), \\ a' {ik} &= a' {ki} = a_ {ik} \cos\theta - a_ {jk} \sin\theta \quad (k \neq i, j), \\ a' {jk} &= a' {kj} = a_ {ik} \sin\theta + a_ {jk} \cos\theta \quad (k \neq i, j). \end{aligned} \] 选择 \( \theta \) 使 \( a' {ij} = 0 \)，解得： \[ \tan 2\theta = \frac{2a {ij}}{a_ {jj} - a_ {ii}} \quad (\text{当 } a_ {ii} = a_ {jj} \text{时取 } \theta = \pi/4). \] 3. 并行化策略——旋转对分组关键：同时进行的旋转必须作用于互不相交的行列对（即索引集合无交集）。常用分组模式包括：循环Jacobi排序：将 \( n \) 个索引分成若干组，每组内任意两个索引不同时出现在多个旋转对中。经典模式是“奇偶排序”（Odd-Even Ordering），适用于双向环网拓扑。并行Jacobi排序：对 \( n \times n \) 矩阵的非对角上三角部分，设计固定的 \( n/2 \) 个旋转对（当 \( n \) 为偶数），每组旋转可并行执行。经过 \( n-1 \) 组后，所有非对角元至少被处理一次，称为一次“扫描”（sweep）。 4. 算法步骤 a. 初始化：\( V = I_ n \)（单位矩阵），\( A^{(0)} = A \)。 b. 循环直到非对角元范数小于阈值 \( \epsilon \)： 1. 根据并行排序生成一组旋转对 \( (i_ 1, j_ 1), (i_ 2, j_ 2), \dots \)（索引互不相交）。 2. 对每个旋转对并行计算旋转角 \( \theta_ k \) 及旋转矩阵 \( J_ k \)。 3. 并行更新 \( A \)：每个旋转对独立更新对应的行和列（注意避免写冲突）。 4. 并行更新 \( V \)：\( V \leftarrow V \cdot J_ k \) 对每列独立累积变换。 c. 输出：\( D \) 为 \( A \) 的对角线（特征值），\( V \) 的列为特征向量。 5. 数值稳定与收敛性每次旋转后，矩阵的Frobenius范数不变，但非对角元平方和减小。经过一次完整扫描，非对角元范数以因子 \( \sqrt{1 - 2/(n-1)} \) 衰减。为减少舍入误差，通常用 \( t = \tan\theta \) 代替三角函数直接计算： \[ t = \frac{\mathrm{sign}(\tau)}{|\tau| + \sqrt{1 + \tau^2}}, \quad \tau = \frac{a_ {jj} - a_ {ii}}{2a_ {ij}}. \] 然后计算 \( c = 1/\sqrt{1+t^2} \), \( s = c \cdot t \)。 6. 并行效率与实现细节内存分布：按行块或列块划分矩阵存储于不同处理器，更新时需要通信相邻行列。通信优化：旋转对分组应最小化处理器间数据交换（如使用超立方体拓扑映射）。终止条件：监测 \( \mathrm{off}(A) = \sqrt{\sum_ {i \neq j} a_ {ij}^2} \) 是否小于 \( \epsilon \cdot \|A\|_ F \)。总结基于Jacobi旋转的并行算法通过精心设计的旋转对分组，将经典O(\( n^3 \)) 的串行Jacobi分解转化为可高度并行的过程，特别适用于大规模稠密对称矩阵。其稳定性高，能同时计算全部特征向量，但收敛速度线性，通常需数十次扫描。现代实现常结合多核CPU或GPU加速，是大规模特征值问题的重要工具之一。