基于差分的约束系统（Difference Constraints System）求解算法
字数 2305 2025-12-24 08:47:22

基于差分的约束系统（Difference Constraints System）求解算法

问题描述

差分约束系统是一类特殊的线性不等式组，包含 \(n\) 个变量 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 和 \(m\) 个形如：

\[x_j - x_i \le c_k \]

的约束，其中 \(c_k\) 是常数（可为负数）。
我们的目标是：判断是否存在一组实数解（或整数解）满足所有约束，若存在则找出一组可行解。

为什么图论可以解决它？

每个不等式 \(x_j - x_i \le c\) 可以改写为：

\[x_j \le x_i + c \]

这类似于最短路径问题中的 三角不等式：
设 \(\text{dist}[i]\) 表示从某个起点到节点 \(i\) 的最短距离，则对于边 \(i \to j\) 权值为 \(c\)，有：

\[\text{dist}[j] \le \text{dist}[i] + c \]

因此，我们可以把每个变量 \(x_i\) 看作图中的一个节点，每个约束 \(x_j - x_i \le c\) 对应一条从 \(i\) 到 \(j\)、权值为 \(c\) 的有向边。
如果图中存在 负权环，则约束系统无解；否则，从虚拟起点到各节点的最短距离就是一组可行解。

建模步骤

  1. 建立 \(n\) 个节点，编号 \(1\) 到 \(n\)，对应变量 \(x_1, \dots, x_n\)。
  2. 对于每个约束 \(x_j - x_i \le c\)，添加一条有向边 \(i \to j\) 权值为 \(c\)。
  3. 为了能够从单一源点到达所有节点，添加一个 超级源点 \(0\)，并添加 \(n\) 条边 \(0 \to i\) 权值为 \(0\)（即约束 \(x_i - x_0 \le 0\)，相当于 \(x_i \le x_0\)，因为 \(x_0\) 可设为任意值，这不会影响相对关系）。
  4. 运行 Bellman-Ford 算法（因为权值可为负）从节点 \(0\) 求最短路径。
    • 若发现负权环 → 约束系统无解。
    • 若无负权环 → 设 \(d[i]\) 为从 \(0\) 到 \(i\) 的最短距离，则 \(x_i = d[i]\) 就是一组可行解。

为什么超级源点权值为 0 是合理的？

添加 \(0 \to i\) 权 \(0\) 后，约束为 \(x_i \le x_0\)。由于 \(x_0\) 是自由变量，我们可以令 \(x_0 = 0\)，则得到 \(x_i \le 0\)，这看起来会限制解的范围，但实际上差分约束系统的解在 平移 下保持不变（所有变量加同一个常数仍满足不等式）。
因此我们求出的解 \(x_i = d[i]\) 可能满足 \(x_i \le 0\)，但如果想要非负解，可以整体加上一个足够大的常数。

算法流程

  1. 输入：
    • \(n\)：变量个数
    • \(m\)：约束个数
    • 每个约束：\(i, j, c\) 表示 \(x_j - x_i \le c\)
  2. 建图：
    • 节点数 = \(n+1\)（0 为超级源点）
    • 对每个约束加边 i → j 权值 c
    • 对所有 i = 1..n 加边 0 → i 权值 0
  3. 运行 Bellman-Ford 从源点 0 计算最短距离数组 dist[0..n]：
    • 迭代 \(n\) 轮松弛所有边
    • 再进行一轮松弛，如果还能更新距离 → 存在负权环 → 输出 无解
  4. 否则输出 dist[1..n] 作为一组可行解。

举例说明

假设约束系统为：

\[\begin{cases} x_2 - x_1 \le 3 \\ x_3 - x_2 \le -2 \\ x_1 - x_3 \le -1 \end{cases} \]

建图（节点 1,2,3 对应 \(x_1,x_2,x_3\)）：

  • 约束 1：边 \(1 \to 2\) 权 3
  • 约束 2：边 \(2 \to 3\) 权 -2
  • 约束 3：边 \(3 \to 1\) 权 -1
  • 加超级源点 0 到 1,2,3 权 0。

Bellman-Ford 从 0 开始：
初始化 dist[0]=0，dist[1..3]=∞。
松弛过程略（手动验证可知最终得到最短路径值）。
检查是否有负环：
沿着环 \(1 \to 2 \to 3 \to 1\) 权值和 = 3 + (-2) + (-1) = 0，不是负环，所以有解。

一组解：
设 dist[0]=0，则 dist[1]=0，dist[2]=3，dist[3]=1 是一组可行解（验证所有不等式成立）。

复杂度

  • 节点数 \(n+1\)，边数 \(m+n\)
  • Bellman-Ford 复杂度 \(O((n+1)(m+n))\)
  • 通常 \(m \sim O(n^2)\)，所以复杂度 \(O(n^3)\)，适合 \(n \le 10^3\) 规模。

应用场景

差分约束常见于：

  1. 任务调度中的前后时间限制
  2. 图形布局中的相对位置约束
  3. 资源分配中的差值限制

理解这一算法有助于将线性不等式问题转化为图论问题，利用已有的最短路径工具求解。

基于差分的约束系统（Difference Constraints System）求解算法 问题描述 差分约束系统 是一类特殊的线性不等式组，包含 \( n \) 个变量 \( x_ 1, x_ 2, \dots, x_ n \) 和 \( m \) 个形如： \[ x_ j - x_ i \le c_ k \] 的约束，其中 \( c_ k \) 是常数（可为负数）。 我们的目标是：判断是否存在一组实数解（或整数解）满足所有约束，若存在则找出一组可行解。 为什么图论可以解决它？ 每个不等式 \( x_ j - x_ i \le c \) 可以改写为： \[ x_ j \le x_ i + c \] 这类似于最短路径问题中的 三角不等式 ： 设 \( \text{dist}[ i ] \) 表示从某个起点到节点 \( i \) 的最短距离，则对于边 \( i \to j \) 权值为 \( c \)，有： \[ \text{dist}[ j] \le \text{dist}[ i ] + c \] 因此，我们可以把每个变量 \( x_ i \) 看作图中的一个节点，每个约束 \( x_ j - x_ i \le c \) 对应一条从 \( i \) 到 \( j \)、权值为 \( c \) 的有向边。 如果图中存在 负权环 ，则约束系统无解；否则，从虚拟起点到各节点的最短距离就是一组可行解。 建模步骤 建立 \( n \) 个节点，编号 \( 1 \) 到 \( n \)，对应变量 \( x_ 1, \dots, x_ n \)。 对于每个约束 \( x_ j - x_ i \le c \)，添加一条有向边 \( i \to j \) 权值为 \( c \)。 为了能够从单一源点到达所有节点，添加一个 超级源点 \( 0 \)，并添加 \( n \) 条边 \( 0 \to i \) 权值为 \( 0 \)（即约束 \( x_ i - x_ 0 \le 0 \)，相当于 \( x_ i \le x_ 0 \)，因为 \( x_ 0 \) 可设为任意值，这不会影响相对关系）。 运行 Bellman-Ford 算法 （因为权值可为负）从节点 \( 0 \) 求最短路径。 若发现负权环 → 约束系统无解。 若无负权环 → 设 \( d[ i] \) 为从 \( 0 \) 到 \( i \) 的最短距离，则 \( x_ i = d[ i ] \) 就是一组可行解。 为什么超级源点权值为 0 是合理的？ 添加 \( 0 \to i \) 权 \( 0 \) 后，约束为 \( x_ i \le x_ 0 \)。由于 \( x_ 0 \) 是自由变量，我们可以令 \( x_ 0 = 0 \)，则得到 \( x_ i \le 0 \)，这看起来会限制解的范围，但实际上差分约束系统的解在 平移 下保持不变（所有变量加同一个常数仍满足不等式）。 因此我们求出的解 \( x_ i = d[ i] \) 可能满足 \( x_ i \le 0 \)，但如果想要非负解，可以整体加上一个足够大的常数。 算法流程 输入： \( n \)：变量个数 \( m \)：约束个数 每个约束：\( i, j, c \) 表示 \( x_ j - x_ i \le c \) 建图： 节点数 = \( n+1 \)（0 为超级源点） 对每个约束加边 i → j 权值 c 对所有 i = 1..n 加边 0 → i 权值 0 运行 Bellman-Ford 从源点 0 计算最短距离数组 dist[0..n] ： 迭代 \( n \) 轮松弛所有边 再进行一轮松弛，如果还能更新距离 → 存在负权环 → 输出 无解 否则输出 dist[1..n] 作为一组可行解。 举例说明 假设约束系统为： \[ \begin{cases} x_ 2 - x_ 1 \le 3 \\ x_ 3 - x_ 2 \le -2 \\ x_ 1 - x_ 3 \le -1 \end{cases} \] 建图 （节点 1,2,3 对应 \( x_ 1,x_ 2,x_ 3 \)）： 约束 1：边 \( 1 \to 2 \) 权 3 约束 2：边 \( 2 \to 3 \) 权 -2 约束 3：边 \( 3 \to 1 \) 权 -1 加超级源点 0 到 1,2,3 权 0。 Bellman-Ford 从 0 开始 ： 初始化 dist[0]=0 ， dist[1..3]=∞ 。 松弛过程略（手动验证可知最终得到最短路径值）。 检查是否有负环： 沿着环 \( 1 \to 2 \to 3 \to 1 \) 权值和 = 3 + (-2) + (-1) = 0，不是负环，所以有解。 一组解： 设 dist[0]=0 ，则 dist[1]=0 ， dist[2]=3 ， dist[3]=1 是一组可行解（验证所有不等式成立）。 复杂度 节点数 \( n+1 \)，边数 \( m+n \) Bellman-Ford 复杂度 \( O((n+1)(m+n)) \) 通常 \( m \sim O(n^2) \)，所以复杂度 \( O(n^3) \)，适合 \( n \le 10^3 \) 规模。 应用场景 差分约束常见于： 任务调度中的前后时间限制 图形布局中的相对位置约束 资源分配中的差值限制 理解这一算法有助于将线性不等式问题转化为图论问题，利用已有的最短路径工具求解。