字符串模糊匹配中的“重复子序列”问题（计数版）

字数 4747 2025-12-24 07:30:19

字符串模糊匹配中的“重复子序列”问题（计数版）

题目描述
给定一个主字符串 s（长度为 n）和一个模式字符串 p（长度为 m），模式串中可能包含字符、通配符 ?（匹配任意单个字符）以及量词 *（匹配零个或多个任意字符）。
特别地，模式串中可能出现 带括号的重复子表达式，例如 (ab)* 表示零个或多个连续的 "ab" 子串。
为了简化，我们假设括号内只包含普通字符（无通配符或量词），且括号后紧跟一个量词：*（零次或多次）、+（一次或多次）或 ?（零次或一次）。
本题的目标是：计算主串 s 中，有多少个子序列（非连续）能够匹配模式串 p？
注意：子序列是从主串中删除若干个字符（可以为 0）后剩余的字符按原顺序组成的序列。匹配的定义是：子序列与模式串按规则完全匹配。

示例

输入：s = "abab", p = "(ab)*"
解释：模式 (ab)* 表示零个或多个 "ab"。
子序列匹配情况：
- 取子序列 ""（空串）匹配零次重复，计 1 种。
- 取子序列 "ab"（如取 s 的第 1、2 个字符）匹配一次重复，计 1 种。
- 取子序列 "abab"（取全部字符）匹配两次重复，计 1 种。
  输出：3
输入：s = "aabc", p = "a?c"
解释：模式 a?c 中 ? 匹配任意单个字符。
子序列匹配情况：
- 取子序列 "abc"（删除第二个 'a'）中，'?' 匹配 'b'，计 1 种。
- 取子序列 "aac"（删除 'b'）中，'?' 匹配第二个 'a'，但注意子序列需保持顺序，这里第二个字符是 'a'，可以匹配 '?'。
  实际上，从 "aabc" 中取三个字符组成子序列，且第一个字符为 'a'、第三个字符为 'c' 的可能组合：
  1. 取索引 (0,1,3) 得 "aac"，'?' 匹配 'a'。
  2. 取索引 (0,2,3) 得 "abc"，'?' 匹配 'b'。
  3. 取索引 (1,2,3) 得 "abc"，但第一个字符是第二个 'a'，模式第一个字符是 'a'，仍匹配，但此时 '?' 匹配 'b'，与上一种重复吗？
    注意：子序列是由原串索引唯一确定的，不同索引视为不同子序列，即使得到的字符串相同。
    因此，应统计所有索引递增的子序列。
    输出：3（具体解释见后文计算）

解题过程循序渐进讲解

步骤 1：问题拆解与状态定义
本题核心是：主串 s 的子序列（非连续）匹配模式 p。
模式 p 中可能有括号重复组，例如 (ab)*。我们可以将模式 p 解析成一个 “模式单元”序列。
每个模式单元是以下之一：

普通字符（如 'a'）
通配符 '?'
带量词的括号组，如 (ab)*

定义 dp[i][j] 表示：考虑主串 s 的前 i 个字符（即 s[0..i-1]）的子序列，匹配模式 p 的前 j 个模式单元，有多少种匹配方式。
这里 i 从 0 到 n（i=0 表示空主串前缀），j 从 0 到 M（M 是模式单元个数，将 p 解析后得到）。
最终答案是 dp[n][M]。

步骤 2：模式串解析
我们需要将 p 解析为模式单元列表。
例如 p = "a(ab)*c?" 解析为：
单元 1: 普通字符 'a'
单元 2: 括号组内容 "ab"，量词 '*'
单元 3: 普通字符 'c'
单元 4: 通配符 '?'

实现时，可以用一个数组 units 存储每个单元的类型（CHAR, WILD, GROUP）和额外信息（字符、组字符串、量词类型 * / + / ?）。

步骤 3：状态转移方程（无括号组时）
先考虑简单情况：模式单元只有普通字符和 '?'。
dp[0][0] = 1（空子序列匹配空模式）。
对于 i > 0, j > 0：

我们可以 不选用 s[i-1] 来匹配第 j 个模式单元，那么匹配数继承自 dp[i-1][j]。
我们可以选用 s[i-1] 来匹配第 j 个模式单元，当且仅当 s[i-1] 与单元 j 匹配（字符相等或单元为 '?'）。此时匹配数加上 dp[i-1][j-1]。
所以：

dp[i][j] = dp[i-1][j] + (match(s[i-1], unit[j]) ? dp[i-1][j-1] : 0)

其中 match 判断单个字符与单元匹配。

步骤 4：引入括号组（带量词）的匹配
括号组可能重复多次，例如 (ab)* 可以匹配 ""、"ab"、"abab"...
我们考虑将括号组视为一个“子模式”，其匹配需要动态规划。
定义辅助状态 groupDP[k][t] 表示：用主串 s 的某段前缀（前 k 个字符）的子序列，匹配括号组重复 t 次，有多少种方式。
但 t 可以很大（理论上无限），不过注意到主串长度有限，最多重复次数受限于主串长度。

更实用的方法是：将括号组的匹配嵌入到主 DP 中。
设当前单元是括号组 G，量词为 Q（* / + / ?）。
我们可以在主 DP 中新增一维表示“当前处于该括号组的第几次重复”，但这样状态太多。

另一种思路：将括号组的匹配转化为 “子序列匹配子串” 问题。
对于括号组 G（字符串 g，长度为 L），我们预计算一个数组 f[i][r] 表示：从 s 的前 i 个字符中，选取子序列匹配 g 重复 r 次（即 g 连续重复 r 次构成的字符串）的方法数。
然后，在主 DP 中，当遇到括号组单元时，我们枚举可能的重复次数 r（根据量词决定 r 的范围），然后从 dp[i'][j-1] 转移到 dp[i][j]，其中转移时乘以 f[i][r] 但需注意子序列选取不重叠。

实际上更精确的是：我们将括号组视为一个整体单元，用 DP 来计算从 s 的某段区间内选取子序列匹配该组重复若干次的方法数，然后合并到主 DP。

步骤 5：简化版解法（量词只有 *）
为了清晰，我们先考虑量词只有 *（零次或多次）的情况。
定义 dp[i][j] 如上，并增加一个辅助状态 gp[i][j] 表示：考虑 s 的前 i 个字符，当前正在匹配括号组 G（第 j 个单元），且 已经匹配了至少一次该组 的情况下，有多少种匹配方式（即匹配了 G* 中的若干次重复）。

转移时：

若单元 j 是普通字符或 '?'，用前述转移。
若单元 j 是括号组 G*：
- 我们可以决定匹配零次：直接从 dp[i][j-1] 继承到 dp[i][j]。
- 我们可以匹配至少一次：这需要进入 gp 状态。
  gp[i][j] 可以从 gp[i-1][j] 继承（不选用 s[i-1]），也可以从 dp[i-L][j-1] 转移过来（开始第一次匹配，其中 L 是组 G 的长度，且 s[i-L..i-1] 的子序列要匹配 G），还可以从 gp[i-L][j] 转移（增加一次重复匹配）。

但这里要求子序列匹配 G 重复 r 次，且子序列索引递增，不能混淆。

步骤 6：实际实现技巧（将括号组视为一个字符类）
我们可以将括号组 G 量词 Q 转换为 匹配一个“块”，这个块是 G 重复若干次（根据 Q 决定最少和最多次数）。
然后，问题转化为：主串 s 中选取子序列，使得它是由这些“块”按顺序组成的序列。
这等价于：每个模式单元（包括括号组）匹配主串的一个子序列片段（非连续）。

更简单的方法：将模式串 p 展开所有可能的常规字符串（无括号），然后对每个展开串计算 s 的子序列匹配数，最后求和。但展开可能太多，不可行。

步骤 7：通用 DP 设计
我们换一种状态定义：
dp[i][j] 表示：s 的前 i 个字符中，选取子序列匹配 p 的前 j 个字符（将括号组视为普通字符序列）的方法数。
但这样括号组量词难以处理。

最终方案：

将模式串 p 转换为一个 NFA（非确定性有限自动机），其中每个状态代表模式匹配的位置。
用 DP 计算：dp[i][q] 表示 s 的前 i 个字符的子序列，有多少种方式到达 NFA 状态 q。
初始状态 dp[0][start] = 1。
转移：
- 不选用 s[i-1]：dp[i][q] += dp[i-1][q]
- 选用 s[i-1]：若从状态 q 通过字符 s[i-1]（或通配符 '?'）可以到达状态 q'，则 dp[i][q'] += dp[i-1][q]
- 对于 ε 转移（如量词 * 可以重复零次），需要预先处理闭包。
最终答案是所有接受状态的 dp[n][q] 之和。

这实际上将问题转化为 子序列匹配正则表达式 的计数问题。

步骤 8：示例详细计算（第二个示例）
s = "aabc", p = "a?c"（无括号组，简单情况）
模式单元：1:'a', 2:'?', 3:'c'
dp[i][j] 表（行 i=0..4，列 j=0..3）：

初始化：dp[0][0] = 1，其余 0。

i=1（s[0]='a'）
j=1：匹配 'a'，dp[1][1] += dp[0][0] = 1
其他 j 继承上一行：dp[1][0] = dp[0][0] = 1
结果：dp[1] = [1,1,0,0]

i=2（s[1]='a'）
继承：dp[2][j] = dp[1][j]
选用：

j=1：匹配 'a'，dp[2][1] += dp[1][0] = 1 → dp[2][1] = 1+1=2
j=2：匹配 '?'，dp[2][2] += dp[1][1] = 1 → dp[2][2] = 1
结果：dp[2] = [1,2,1,0]

i=3（s[2]='b'）
继承：dp[3][j] = dp[2][j]
选用：

j=1：不匹配（'b'!='a'），不加
j=2：匹配 '?'，dp[3][2] += dp[2][1] = 2 → dp[3][2] = 1+2=3
j=3：匹配 'c'？不匹配，不加
结果：dp[3] = [1,2,3,0]

i=4（s[3]='c'）
继承：dp[4][j] = dp[3][j]
选用：

j=1：不匹配
j=2：匹配 '?'，dp[4][2] += dp[3][1] = 2 → dp[4][2] = 3+2=5
j=3：匹配 'c'，dp[4][3] += dp[3][2] = 3 → dp[4][3] = 0+3=3
结果：dp[4] = [1,2,5,3]

答案 dp[4][3] = 3，与之前分析一致。

步骤 9：扩展到括号组
若 p 中有括号组，例如 (ab)*，则在 NFA 中对应一个循环：状态 q1 读入 "a" 到 q2，读入 "b" 到 q3，q3 有 ε 转移回 q1（允许零次时还有旁路）。
然后使用上述 NFA DP 即可计算。

总结
本题的核心是将模式串转换为有限自动机（NFA），然后用动态规划计算子序列匹配的路径数。
状态定义为 dp[i][q] 表示 s 的前 i 个字符的子序列，有多少种方式到达自动机状态 q。
转移时考虑“不选用当前字符”和“选用当前字符并沿自动机边转移”两种情况。
最终答案是所有接受状态的 dp[n][q] 之和。
这种方法能统一处理普通字符、通配符、括号组及其量词，是此类“子序列匹配复杂模式”计数问题的通用解法。

字符串模糊匹配中的“重复子序列”问题（计数版）题目描述给定一个主字符串 s （长度为 n）和一个模式字符串 p （长度为 m），模式串中可能包含字符、通配符 ? （匹配任意单个字符）以及量词 * （匹配零个或多个任意字符）。特别地，模式串中可能出现带括号的重复子表达式，例如 (ab)* 表示零个或多个连续的 "ab" 子串。为了简化，我们假设括号内只包含普通字符（无通配符或量词），且括号后紧跟一个量词： * （零次或多次）、 + （一次或多次）或 ? （零次或一次）。本题的目标是：计算主串 s 中，有多少个子序列（非连续）能够匹配模式串 p ？注意：子序列是从主串中删除若干个字符（可以为 0）后剩余的字符按原顺序组成的序列。匹配的定义是：子序列与模式串按规则完全匹配。示例输入： s = "abab" , p = "(ab)*" 解释：模式 (ab)* 表示零个或多个 "ab"。子序列匹配情况：取子序列 ""（空串）匹配零次重复，计 1 种。取子序列 "ab"（如取 s 的第 1、2 个字符）匹配一次重复，计 1 种。取子序列 "abab"（取全部字符）匹配两次重复，计 1 种。输出：3 输入： s = "aabc" , p = "a?c" 解释：模式 a?c 中 ? 匹配任意单个字符。子序列匹配情况：取子序列 "abc"（删除第二个 'a'）中，'?' 匹配 'b'，计 1 种。取子序列 "aac"（删除 'b'）中，'?' 匹配第二个 'a'，但注意子序列需保持顺序，这里第二个字符是 'a'，可以匹配 '?'。实际上，从 "aabc" 中取三个字符组成子序列，且第一个字符为 'a'、第三个字符为 'c' 的可能组合：取索引 (0,1,3) 得 "aac"，'?' 匹配 'a'。取索引 (0,2,3) 得 "abc"，'?' 匹配 'b'。取索引 (1,2,3) 得 "abc"，但第一个字符是第二个 'a'，模式第一个字符是 'a'，仍匹配，但此时 '?' 匹配 'b'，与上一种重复吗？注意：子序列是由原串索引唯一确定的，不同索引视为不同子序列，即使得到的字符串相同。因此，应统计所有索引递增的子序列。输出：3（具体解释见后文计算）解题过程循序渐进讲解步骤 1：问题拆解与状态定义本题核心是：主串 s 的子序列（非连续）匹配模式 p。模式 p 中可能有括号重复组，例如 (ab)* 。我们可以将模式 p 解析成一个 “模式单元”序列。每个模式单元是以下之一：普通字符（如 'a'）通配符 '?' 带量词的括号组，如 (ab)* 定义 dp[i][j] 表示：考虑主串 s 的前 i 个字符（即 s[0..i-1] ）的子序列，匹配模式 p 的前 j 个模式单元，有多少种匹配方式。这里 i 从 0 到 n（i=0 表示空主串前缀），j 从 0 到 M（M 是模式单元个数，将 p 解析后得到）。最终答案是 dp[n][M] 。步骤 2：模式串解析我们需要将 p 解析为模式单元列表。例如 p = "a(ab)*c?" 解析为：单元 1: 普通字符 'a' 单元 2: 括号组内容 "ab"，量词 '* ' 单元 3: 普通字符 'c' 单元 4: 通配符 '?' 实现时，可以用一个数组 units 存储每个单元的类型（CHAR, WILD, GROUP）和额外信息（字符、组字符串、量词类型 * / + / ?）。步骤 3：状态转移方程（无括号组时）先考虑简单情况：模式单元只有普通字符和 '?'。 dp[0][0] = 1 （空子序列匹配空模式）。对于 i > 0 , j > 0 ：我们可以不选用 s[i-1] 来匹配第 j 个模式单元，那么匹配数继承自 dp[i-1][j] 。我们可以选用 s[i-1] 来匹配第 j 个模式单元，当且仅当 s[i-1] 与单元 j 匹配（字符相等或单元为 '?'）。此时匹配数加上 dp[i-1][j-1] 。所以：其中 match 判断单个字符与单元匹配。步骤 4：引入括号组（带量词）的匹配括号组可能重复多次，例如 (ab)* 可以匹配 ""、"ab"、"abab"... 我们考虑将括号组视为一个“子模式”，其匹配需要动态规划。定义辅助状态 groupDP[k][t] 表示：用主串 s 的某段前缀（前 k 个字符）的子序列，匹配括号组重复 t 次，有多少种方式。但 t 可以很大（理论上无限），不过注意到主串长度有限，最多重复次数受限于主串长度。更实用的方法是：将括号组的匹配嵌入到主 DP 中。设当前单元是括号组 G，量词为 Q（* / + / ?）。我们可以在主 DP 中新增一维表示“当前处于该括号组的第几次重复”，但这样状态太多。另一种思路：将括号组的匹配转化为 “子序列匹配子串” 问题。对于括号组 G（字符串 g，长度为 L），我们预计算一个数组 f[i][r] 表示：从 s 的前 i 个字符中，选取子序列匹配 g 重复 r 次（即 g 连续重复 r 次构成的字符串）的方法数。然后，在主 DP 中，当遇到括号组单元时，我们枚举可能的重复次数 r（根据量词决定 r 的范围），然后从 dp[i'][j-1] 转移到 dp[i][j] ，其中转移时乘以 f[i][r] 但需注意子序列选取不重叠。实际上更精确的是：我们将括号组视为一个整体单元，用 DP 来计算从 s 的某段区间内选取子序列匹配该组重复若干次的方法数，然后合并到主 DP。步骤 5：简化版解法（量词只有 * ）为了清晰，我们先考虑量词只有 * （零次或多次）的情况。定义 dp[i][j] 如上，并增加一个辅助状态 gp[i][j] 表示：考虑 s 的前 i 个字符，当前正在匹配括号组 G（第 j 个单元），且已经匹配了至少一次该组的情况下，有多少种匹配方式（即匹配了 G* 中的若干次重复）。转移时：若单元 j 是普通字符或 '?'，用前述转移。若单元 j 是括号组 G* ：我们可以决定匹配零次：直接从 dp[i][j-1] 继承到 dp[i][j] 。我们可以匹配至少一次：这需要进入 gp 状态。 gp[i][j] 可以从 gp[i-1][j] 继承（不选用 s[ i-1]），也可以从 dp[i-L][j-1] 转移过来（开始第一次匹配，其中 L 是组 G 的长度，且 s[ i-L..i-1] 的子序列要匹配 G），还可以从 gp[i-L][j] 转移（增加一次重复匹配）。但这里要求子序列匹配 G 重复 r 次，且子序列索引递增，不能混淆。步骤 6：实际实现技巧（将括号组视为一个字符类）我们可以将括号组 G 量词 Q 转换为匹配一个“块” ，这个块是 G 重复若干次（根据 Q 决定最少和最多次数）。然后，问题转化为：主串 s 中选取子序列，使得它是由这些“块”按顺序组成的序列。这等价于：每个模式单元（包括括号组）匹配主串的一个子序列片段（非连续）。更简单的方法：将模式串 p 展开所有可能的常规字符串（无括号），然后对每个展开串计算 s 的子序列匹配数，最后求和。但展开可能太多，不可行。步骤 7：通用 DP 设计我们换一种状态定义： dp[i][j] 表示：s 的前 i 个字符中，选取子序列匹配 p 的前 j 个字符（将括号组视为普通字符序列）的方法数。但这样括号组量词难以处理。最终方案：将模式串 p 转换为一个 NFA（非确定性有限自动机），其中每个状态代表模式匹配的位置。用 DP 计算： dp[i][q] 表示 s 的前 i 个字符的子序列，有多少种方式到达 NFA 状态 q。初始状态 dp[0][start] = 1 。转移：不选用 s[ i-1]： dp[i][q] += dp[i-1][q] 选用 s[ i-1]：若从状态 q 通过字符 s[ i-1]（或通配符 '?'）可以到达状态 q'，则 dp[i][q'] += dp[i-1][q] 对于 ε 转移（如量词 * 可以重复零次），需要预先处理闭包。最终答案是所有接受状态的 dp[ n][ q ] 之和。这实际上将问题转化为子序列匹配正则表达式的计数问题。步骤 8：示例详细计算（第二个示例） s = "aabc", p = "a?c"（无括号组，简单情况）模式单元：1:'a', 2:'?', 3:'c' dp[ i][ j ] 表（行 i=0..4，列 j=0..3）：初始化：dp[ 0][ 0 ] = 1，其余 0。 i=1（s[ 0 ]='a'） j=1：匹配 'a'，dp[ 1][ 1] += dp[ 0][ 0 ] = 1 其他 j 继承上一行：dp[ 1][ 0] = dp[ 0][ 0 ] = 1 结果：dp[ 1] = [ 1,1,0,0 ] i=2（s[ 1 ]='a'）继承：dp[ 2][ j] = dp[ 1][ j ] 选用： j=1：匹配 'a'，dp[ 2][ 1] += dp[ 1][ 0] = 1 → dp[ 2][ 1 ] = 1+1=2 j=2：匹配 '?'，dp[ 2][ 2] += dp[ 1][ 1] = 1 → dp[ 2][ 2 ] = 1 结果：dp[ 2] = [ 1,2,1,0 ] i=3（s[ 2 ]='b'）继承：dp[ 3][ j] = dp[ 2][ j ] 选用： j=1：不匹配（'b' !='a'），不加 j=2：匹配 '?'，dp[ 3][ 2] += dp[ 2][ 1] = 2 → dp[ 3][ 2 ] = 1+2=3 j=3：匹配 'c'？不匹配，不加结果：dp[ 3] = [ 1,2,3,0 ] i=4（s[ 3 ]='c'）继承：dp[ 4][ j] = dp[ 3][ j ] 选用： j=1：不匹配 j=2：匹配 '?'，dp[ 4][ 2] += dp[ 3][ 1] = 2 → dp[ 4][ 2 ] = 3+2=5 j=3：匹配 'c'，dp[ 4][ 3] += dp[ 3][ 2] = 3 → dp[ 4][ 3 ] = 0+3=3 结果：dp[ 4] = [ 1,2,5,3 ] 答案 dp[ 4][ 3 ] = 3，与之前分析一致。步骤 9：扩展到括号组若 p 中有括号组，例如 (ab)* ，则在 NFA 中对应一个循环：状态 q1 读入 "a" 到 q2，读入 "b" 到 q3，q3 有 ε 转移回 q1（允许零次时还有旁路）。然后使用上述 NFA DP 即可计算。总结本题的核心是将模式串转换为有限自动机（NFA），然后用动态规划计算子序列匹配的路径数。状态定义为 dp[i][q] 表示 s 的前 i 个字符的子序列，有多少种方式到达自动机状态 q。转移时考虑“不选用当前字符”和“选用当前字符并沿自动机边转移”两种情况。最终答案是所有接受状态的 dp[ n][ q ] 之和。这种方法能统一处理普通字符、通配符、括号组及其量词，是此类“子序列匹配复杂模式”计数问题的通用解法。