鸡蛋掉落问题（经典DP，二维状态）
字数 3954 2025-12-24 06:36:16

鸡蛋掉落问题（经典DP，二维状态）

好的，我注意到“鸡蛋掉落问题（两枚鸡蛋，特定楼层版本）”在列表中已经出现过，但经典的、更通用的“给定鸡蛋总数 K 和楼层总数 N，求确定楼层 F（0 <= F <= N，从 F 层及以上扔鸡蛋会碎，以下不会碎）的最坏情况下的最少尝试次数”这一核心问题，并未作为独立标题被详尽讲述。它的区间DP思路非常巧妙，我们就来详细探讨这个经典问题。

题目描述

假设有一栋 N 层高的楼（N >= 1），以及 K 枚完全相同的鸡蛋。存在一个未知的“临界楼层” F（0 <= F <= N），其定义为：

  • 从任何低于或等于 F 的楼层扔鸡蛋，鸡蛋不会碎。
  • 从任何高于 F 的楼层扔鸡蛋，鸡蛋会碎。

你的目标是在最坏情况下，用最少的尝试次数，确定 F 的值（或者更准确地说，确定 F 的具体楼层）。每次尝试（扔鸡蛋）时，你可以选择任意一层楼 x（1 <= x <= N），并扔下一枚鸡蛋：

  • 如果鸡蛋碎了（x > F），那么这枚鸡蛋消失，你可以用剩余的鸡蛋在更低的楼层（1 到 x-1）继续测试。
  • 如果鸡蛋没碎（x <= F），那么这枚鸡蛋可以回收（不会消失），你可以在更高的楼层（x+1 到 N）继续测试。

你需要设计一个策略，保证无论 F 是哪个楼层，都能在最坏情况下的尝试次数最小。请你计算这个最小的最坏情况尝试次数。

输入：两个整数 K（鸡蛋数量，1 <= K <= 100）， N（楼层总数，1 <= N <= 10^4）。
输出：一个整数，表示最坏情况下的最少尝试次数。

示例：
K = 1, N = 10。你只有一枚鸡蛋。最坏情况策略是从第一层开始一层层往上试，直到鸡蛋碎了。最坏情况是 F=10 或 F=N（鸡蛋一直不碎），你需要尝试10次。所以答案是10。
K = 2, N = 10。答案是4（策略之一：第一次在第4层扔，根据结果决定后续搜索区间）。
K = 2, N = 100。答案是14。

解题过程（循序渐进）

第一步：理解问题与初步思考

这个问题不是求一个具体的 F，而是求一个策略的最坏情况性能。我们可以把它看作一个决策树的构造问题：每次扔鸡蛋是一个决策点，根据结果（碎/不碎）进入两个不同的子树。树的深度（从根到叶子的最大步数）就对应最坏情况尝试次数。我们的目标是构造一棵深度最小的决策树。

第二步：定义动态规划状态

这是一个典型的“资源（鸡蛋）消耗”与“问题规模（楼层）”结合的动态规划。最直接的定义是：
dp[k][n]：当有 k 枚鸡蛋，面对 n 层楼时，在最坏情况下，确定临界楼层 F 所需的最少尝试次数。

我们需要求的就是 dp[K][N]。

第三步：推导状态转移方程（关键）

假设我们现在处于状态 dp[k][n]，即 k 个鸡蛋，n 层楼。我们接下来要选择在第 i 层（1 <= i <= n）扔第一个鸡蛋。扔完之后，有两种可能：

  1. 鸡蛋碎了：说明临界楼层 F < i。我们损失了1个鸡蛋，但问题规模缩小为 i-1 层楼。剩余的子问题是 dp[k-1][i-1]。
  2. 鸡蛋没碎：说明临界楼层 F >= i。鸡蛋没坏，所以鸡蛋数量 k 不变。但问题规模缩小为剩下的 n-i 层楼（因为对于这 n-i 层楼，F 可能是 i 到 n 中的任何一层，或者 n，我们仍然需要确定）。剩余的子问题是 dp[k][n-i]。

由于我们的目标是最坏情况，所以我们必须考虑两种可能性中步数更多的那个，再加上我们已经进行的这1次尝试。因此，在第 i 层扔的策略，其最坏情况步数为：
cost_i = 1 + max(dp[k-1][i-1], dp[k][n-i])

为了得到最优策略，我们需要在所有可能的 i（从1到n）中选择一个，使得这个最坏代价最小。所以状态转移方程为：
dp[k][n] = min_{i=1...n} ( 1 + max(dp[k-1][i-1], dp[k][n-i]) )

边界条件：

  • dp[k][0] = 0：0层楼，不需要尝试。
  • dp[1][n] = n：只有1个鸡蛋，只能从低到高线性扫描，最坏情况是 n 次（F 在顶层或顶层以上）。
  • dp[k][1] = 1：只有1层楼，只需试一次就知道结果。

第四步：直接DP的实现与复杂度问题

如果按照上面的方程直接进行三维循环计算，时间复杂度是 O(K * N^2)。当 N 很大（例如 10^4）时，N^2 会达到 10^8，对于常规时间限制来说太高了。

第五步：优化思路——转换问题定义与二分搜索

注意到状态转移方程 dp[k][n] = min_{i=1...n} ( 1 + max(dp[k-1][i-1], dp[k][n-i]) ) 中，对于固定的 k，dp[k][n] 是随着 n 单调非递减的。这很直观：楼层越多，需要的尝试次数不会减少。

我们可以转换动态规划的定义：
dp[k][m]：用 k 个鸡蛋，最多允许扔 m 次（即决策树深度不超过 m），最多能确定多少层楼的 F？

我们要求的是最小的 m，使得 dp[K][m] >= N。

这个定义的转移方程更容易优化：

  • 考虑第一次扔鸡蛋，选择一个楼层。设这次扔鸡蛋后，在最坏情况下，我们还能确定的楼层数为 dp[k][m-1]（因为已经用掉1次机会）。
  • 如果鸡蛋碎了，我们还有 k-1 个鸡蛋和 m-1 次机会，向下最多能确定 dp[k-1][m-1] 层楼。
  • 如果鸡蛋没碎，我们还有 k 个鸡蛋和 m-1 次机会，向上最多能确定 dp[k][m-1] 层楼。
  • 为了最大化总覆盖的楼层数，第一次扔鸡蛋的楼层应该恰好设置为 dp[k-1][m-1] + 1 层。因为：
    • 如果碎了，我们可以安心地检查下面的 dp[k-1][m-1] 层。
    • 如果没碎，我们可以向上再检查 dp[k][m-1] 层。
    • 这样，总的能确定的楼层数就是 1 + dp[k-1][m-1] + dp[k][m-1]。这个“+1”就是第一次扔的那一层本身，它也帮助我们确定了 F 是否小于这一层。

因此，新的状态转移方程为：
dp[k][m] = dp[k-1][m-1] + 1 + dp[k][m-1]

边界条件：

  • dp[k][0] = 0：0次尝试，确定0层楼。
  • dp[0][m] = 0（m > 0）：没有鸡蛋，无法确定任何楼层（虽然题目保证 k>=1，但推导时可能用到）。
  • dp[1][m] = m：1个鸡蛋，只能线性扫描，m 次尝试最多确定 m 层楼。

第六步：算法实现与复杂度分析

我们计算 dp[k][m] 直到 dp[K][m] >= N。由于 dp[k][m] 增长很快（指数级），m 不会很大。通常 m 的最大值不会超过 N 或一个与 K 和 N 对数值相关的值。

  1. 初始化一个二维数组 dp[K+1][某个足够大的M]，所有元素为0。
  2. 对于 m = 1, 2, 3, ... 进行循环：
    • 对于 k = 1 to K：
      • 计算 dp[k][m] = dp[k-1][m-1] + 1 + dp[k][m-1]。
    • 检查 dp[K][m] 是否已经 >= N。如果是，则 m 就是答案，跳出循环。

这个算法的时间复杂度是 O(K * M)，其中 M 是答案（最少尝试次数）。由于 M 通常远小于 N，这比 O(K * N^2) 高效得多。空间复杂度可以优化到 O(K)，因为计算 dp[k][m] 只需要 dp[k-1][m-1] 和 dp[k][m-1]，可以从后往前更新一维数组。

第七步：示例演算（K=2, N=10）

我们计算 dp[2][m]，直到它能覆盖10层楼。

初始化：dp[0][*]=0, dp[1][m] = m（因为一个鸡蛋，线性扫描）。

m=1:
dp[1][1] = 1
dp[2][1] = dp[1][0] + 1 + dp[2][0] = 0+1+0 = 1
覆盖1层楼。

m=2:
dp[1][2] = 2
dp[2][2] = dp[1][1] + 1 + dp[2][1] = 1+1+1 = 3
覆盖3层楼。

m=3:
dp[1][3] = 3
dp[2][3] = dp[1][2] + 1 + dp[2][2] = 2+1+3 = 6
覆盖6层楼。

m=4:
dp[1][4] = 4
dp[2][4] = dp[1][3] + 1 + dp[2][3] = 3+1+6 = 10
覆盖10层楼！满足 dp[2][4] >= 10。

所以，K=2, N=10 时，最少需要 4 次尝试。

总结

鸡蛋掉落问题的核心在于最坏情况下的最优策略。通过将状态定义为“给定鸡蛋数和尝试次数，最多能确定的楼层数”，我们得到了一个更高效、更优雅的动态规划解法。它避免了在楼层维度上进行二次枚举，将复杂度降低到 O(K * 答案)，在实际应用中非常高效。这个思路也体现了动态规划中“转换问题视角”这一重要的优化技巧。

鸡蛋掉落问题（经典DP，二维状态） 好的，我注意到“鸡蛋掉落问题（两枚鸡蛋，特定楼层版本）”在列表中已经出现过，但经典的、更通用的“给定鸡蛋总数 K 和楼层总数 N ，求确定楼层 F （ 0 <= F <= N ，从 F 层及以上扔鸡蛋会碎，以下不会碎）的最坏情况下的最少尝试次数”这一核心问题，并未作为独立标题被详尽讲述。它的区间DP思路非常巧妙，我们就来详细探讨这个经典问题。 题目描述 假设有一栋 N 层高的楼（ N >= 1），以及 K 枚完全相同的鸡蛋。存在一个未知的“临界楼层” F （ 0 <= F <= N ），其定义为： 从任何低于或等于 F 的楼层扔鸡蛋，鸡蛋 不会碎 。 从任何高于 F 的楼层扔鸡蛋，鸡蛋 会碎 。 你的目标是 在最坏情况下 ，用最少的尝试次数， 确定 F 的值（或者更准确地说，确定 F 的具体楼层）。每次尝试（扔鸡蛋）时，你可以选择任意一层楼 x （ 1 <= x <= N ），并扔下一枚鸡蛋： 如果鸡蛋碎了（ x > F ），那么这枚鸡蛋消失，你可以用剩余的鸡蛋在更低的楼层（ 1 到 x-1 ）继续测试。 如果鸡蛋没碎（ x <= F ），那么这枚鸡蛋可以回收（不会消失），你可以在更高的楼层（ x+1 到 N ）继续测试。 你需要设计一个策略，保证无论 F 是哪个楼层，都能在 最坏情况下的尝试次数 最小。请你计算这个 最小的最坏情况尝试次数 。 输入 ：两个整数 K （鸡蛋数量， 1 <= K <= 100 ）， N （楼层总数， 1 <= N <= 10^4 ）。 输出 ：一个整数，表示最坏情况下的最少尝试次数。 示例 ： K = 1, N = 10 。你只有一枚鸡蛋。最坏情况策略是从第一层开始一层层往上试，直到鸡蛋碎了。最坏情况是 F=10 或 F=N （鸡蛋一直不碎），你需要尝试10次。所以答案是10。 K = 2, N = 10 。答案是4（策略之一：第一次在第4层扔，根据结果决定后续搜索区间）。 K = 2, N = 100 。答案是14。 解题过程（循序渐进） 第一步：理解问题与初步思考 这个问题不是求一个具体的 F ，而是求一个 策略的最坏情况性能 。我们可以把它看作一个 决策树 的构造问题：每次扔鸡蛋是一个决策点，根据结果（碎/不碎）进入两个不同的子树。树的深度（从根到叶子的最大步数）就对应最坏情况尝试次数。我们的目标是构造一棵深度最小的决策树。 第二步：定义动态规划状态 这是一个典型的“资源（鸡蛋）消耗”与“问题规模（楼层）”结合的动态规划。最直接的定义是： dp[k][n] ：当有 k 枚鸡蛋，面对 n 层楼时， 在最坏情况下 ，确定临界楼层 F 所需的 最少尝试次数 。 我们需要求的就是 dp[K][N] 。 第三步：推导状态转移方程（关键） 假设我们现在处于状态 dp[k][n] ，即 k 个鸡蛋， n 层楼。我们接下来要选择在第 i 层（ 1 <= i <= n ）扔第一个鸡蛋。扔完之后，有两种可能： 鸡蛋碎了 ：说明临界楼层 F < i 。我们损失了1个鸡蛋，但问题规模缩小为 i-1 层楼。剩余的子问题是 dp[k-1][i-1] 。 鸡蛋没碎 ：说明临界楼层 F >= i 。鸡蛋没坏，所以鸡蛋数量 k 不变。但问题规模缩小为剩下的 n-i 层楼（因为对于这 n-i 层楼， F 可能是 i 到 n 中的任何一层，或者 n ，我们仍然需要确定）。剩余的子问题是 dp[k][n-i] 。 由于我们的目标是最坏情况，所以我们必须考虑 两种可能性中步数更多的那个 ，再加上我们已经进行的这1次尝试。因此，在第 i 层扔的策略，其最坏情况步数为： cost_i = 1 + max(dp[k-1][i-1], dp[k][n-i]) 为了得到最优策略，我们需要 在所有可能的 i （从1到n）中选择一个 ，使得这个最坏代价最小。所以状态转移方程为： dp[k][n] = min_{i=1...n} ( 1 + max(dp[k-1][i-1], dp[k][n-i]) ) 边界条件 ： dp[k][0] = 0 ：0层楼，不需要尝试。 dp[1][n] = n ：只有1个鸡蛋，只能从低到高线性扫描，最坏情况是 n 次（ F 在顶层或顶层以上）。 dp[k][1] = 1 ：只有1层楼，只需试一次就知道结果。 第四步：直接DP的实现与复杂度问题 如果按照上面的方程直接进行三维循环计算，时间复杂度是 O(K * N^2) 。当 N 很大（例如 10^4 ）时， N^2 会达到 10^8 ，对于常规时间限制来说太高了。 第五步：优化思路——转换问题定义与二分搜索 注意到状态转移方程 dp[k][n] = min_{i=1...n} ( 1 + max(dp[k-1][i-1], dp[k][n-i]) ) 中，对于固定的 k ， dp[k][n] 是随着 n 单调非递减的。这很直观：楼层越多，需要的尝试次数不会减少。 我们可以 转换动态规划的定义 ： dp[k][m] ：用 k 个鸡蛋，最多允许扔 m 次（即决策树深度不超过 m ）， 最多能确定多少层楼 的 F ？ 我们要求的是最小的 m ，使得 dp[K][m] >= N 。 这个定义的转移方程更容易优化： 考虑第一次扔鸡蛋，选择一个楼层。设这次扔鸡蛋后，在最坏情况下，我们还能确定的楼层数为 dp[k][m-1] （因为已经用掉1次机会）。 如果鸡蛋碎了，我们还有 k-1 个鸡蛋和 m-1 次机会，向下最多能确定 dp[k-1][m-1] 层楼。 如果鸡蛋没碎，我们还有 k 个鸡蛋和 m-1 次机会，向上最多能确定 dp[k][m-1] 层楼。 为了最大化总覆盖的楼层数， 第一次扔鸡蛋的楼层应该恰好设置为 dp[k-1][m-1] + 1 层 。因为： 如果碎了，我们可以安心地检查下面的 dp[k-1][m-1] 层。 如果没碎，我们可以向上再检查 dp[k][m-1] 层。 这样，总的能确定的楼层数就是 1 + dp[k-1][m-1] + dp[k][m-1] 。这个“+1”就是第一次扔的那一层本身，它也帮助我们确定了 F 是否小于这一层。 因此，新的状态转移方程为： dp[k][m] = dp[k-1][m-1] + 1 + dp[k][m-1] 边界条件 ： dp[k][0] = 0 ：0次尝试，确定0层楼。 dp[0][m] = 0 （ m > 0 ）：没有鸡蛋，无法确定任何楼层（虽然题目保证 k>=1 ，但推导时可能用到）。 dp[1][m] = m ：1个鸡蛋，只能线性扫描， m 次尝试最多确定 m 层楼。 第六步：算法实现与复杂度分析 我们计算 dp[k][m] 直到 dp[K][m] >= N 。由于 dp[k][m] 增长很快（指数级）， m 不会很大。通常 m 的最大值不会超过 N 或一个与 K 和 N 对数值相关的值。 初始化一个二维数组 dp[K+1][某个足够大的M] ，所有元素为0。 对于 m = 1, 2, 3, ... 进行循环： 对于 k = 1 to K ： 计算 dp[k][m] = dp[k-1][m-1] + 1 + dp[k][m-1] 。 检查 dp[K][m] 是否已经 >= N 。如果是，则 m 就是答案，跳出循环。 这个算法的时间复杂度是 O(K * M) ，其中 M 是答案（最少尝试次数）。由于 M 通常远小于 N ，这比 O(K * N^2) 高效得多。空间复杂度可以优化到 O(K) ，因为计算 dp[k][m] 只需要 dp[k-1][m-1] 和 dp[k][m-1] ，可以从后往前更新一维数组。 第七步：示例演算（K=2, N=10） 我们计算 dp[2][m] ，直到它能覆盖10层楼。 初始化： dp[0][*]=0 , dp[1][m] = m （因为一个鸡蛋，线性扫描）。 m=1 : dp[1][1] = 1 dp[2][1] = dp[1][0] + 1 + dp[2][0] = 0+1+0 = 1 覆盖1层楼。 m=2 : dp[1][2] = 2 dp[2][2] = dp[1][1] + 1 + dp[2][1] = 1+1+1 = 3 覆盖3层楼。 m=3 : dp[1][3] = 3 dp[2][3] = dp[1][2] + 1 + dp[2][2] = 2+1+3 = 6 覆盖6层楼。 m=4 : dp[1][4] = 4 dp[2][4] = dp[1][3] + 1 + dp[2][3] = 3+1+6 = 10 覆盖10层楼！满足 dp[2][4] >= 10 。 所以， K=2, N=10 时，最少需要 4 次尝试。 总结 鸡蛋掉落问题的核心在于 最坏情况下的最优策略 。通过将状态定义为“给定鸡蛋数和尝试次数，最多能确定的楼层数”，我们得到了一个更高效、更优雅的动态规划解法。它避免了在楼层维度上进行二次枚举，将复杂度降低到 O(K * 答案) ，在实际应用中非常高效。这个思路也体现了动态规划中“转换问题视角”这一重要的优化技巧。