设计一个基于多重哈希的布隆过滤器变种（支持动态扩容和位集压缩）

这个题目的目标是设计一个改进的布隆过滤器，它不仅能像标准布隆过滤器一样高效地检测元素是否可能存在于集合中，还能支持两个高级功能：

1. 动态扩容：当位数组的填充率过高，导致假阳性率（False Positive Rate）超过预设阈值时，能自动扩容并重新哈希已存在的元素。
2. 位集压缩：使用压缩技术（例如位运算编码或稀疏位图表示）来减少内存占用，特别是在位数组大部分为空的情况下。

下面我们循序渐进地讲解设计与实现过程。

第一步：理解标准布隆过滤器的基础

布隆过滤器是一个概率型数据结构，用于判断一个元素是否可能在一个集合中。它包含：

• 一个长度为 m 的位数组（bit array），初始所有位为0。
• k 个独立的哈希函数，每个函数将输入映射到位数组的一个位置（范围在 0 到 m-1）。

操作：

• 添加元素：计算该元素的 k 个哈希值，将位数组中对应的 k 个位置设置为1。
• 查询元素：计算该元素的 k 个哈希值，检查位数组中对应的 k 个位置是否都为1。如果都是1，则返回“可能存在”；如果有任何一个位置为0，则返回“肯定不存在”。

特点：

• 可能有假阳性（判断可能存在但实际上不存在），但不会有假阴性。
• 无法删除元素（因为多个元素可能共享同一个位）。

第二步：支持动态扩容的设计思路

在标准布隆过滤器中，一旦位数组大小 m 和哈希函数数量 k 确定，假阳性率就固定了。随着添加的元素增多，1 的密度增加，假阳性率会上升。动态扩容的目标是：当实际假阳性率超过某个阈值时，自动增加位数组大小并重新哈希所有历史元素到新数组中。

关键问题：

1. 何时触发扩容？
   • 我们需要估计当前假阳性率。标准布隆过滤器的假阳性率公式为：

\[ p \approx \left(1 - e^{-kn/m}\right)^k \]

 其中 n 是已添加的元素数量。我们可以跟踪 n，并定期计算 p。当 p 超过预设阈值（例如 0.01）时，触发扩容。

2. 如何扩容？
   • 常见的策略是创建一个新的、更大的位数组（例如将 m 翻倍），然后遍历所有已添加的元素，用相同的哈希函数（但哈希值会取模新的大小）重新计算位置，并设置新数组中的位。
3. 如何记录所有历史元素？
   • 为了重新哈希，我们需要存储所有已添加的元素，或者存储足够的“签名”来重建。通常，存储所有原始元素会占用大量内存。一个替代方案是使用另一个布隆过滤器或列表来暂存元素，但这会增加复杂性。更实际的方法是：在扩容期间，我们可以遍历一个持久的元素列表（例如来自外部存储或数据流），如果不行，则考虑使用可扩展布隆过滤器（Scalable Bloom Filter）的思路，通过多个布隆过滤器层叠来实现扩容，但本题要求是单个过滤器动态扩容，因此我们假设可以访问所有历史元素（或从数据源重新读取）。

第三步：位集压缩的设计思路

标准位数组在内存中通常每个位用 1 个 bit 表示，但许多编程语言的最小内存单元是字节（8 bit）。当位数组很大且稀疏（大部分为0）时，我们可以使用压缩技术减少内存占用。

常见压缩方法：

1. 稀疏位图（Sparse Bitmap）：只存储为1的位的位置（例如使用有序数组或字典）。查询时，检查目标位置是否在这个集合中。这适合非常稀疏的情况，但查询效率可能降低。
2. 行程长度编码（Run-Length Encoding, RLE）：将连续的0或1的游程进行压缩。例如，位数组 000111000 可以编码为 (0,3), (1,3), (0,3)。这种方式对长游程效果好。
3. 压缩位集库（如 Java 的 EWAHBitmap 或 RoaringBitmap）：这些库在保持高效查询的同时，对稀疏位数组有很好的压缩率。

在本题中，我们可以选择一种现成的压缩位集实现作为底层存储，这样我们就不必自己实现压缩算法，而是专注于布隆过滤器的逻辑。

第四步：定义数据结构与接口

基于以上，我们定义以下结构：

class DynamicCompressedBloomFilter:
    def __init__(self, initial_size=1024, hash_func_count=3, false_positive_threshold=0.01):
        """
        初始化布隆过滤器。
        :param initial_size: 初始位数组大小（位数）
        :param hash_func_count: 哈希函数数量 k
        :param false_positive_threshold: 触发扩容的假阳性率阈值
        """
        self.m = initial_size
        self.k = hash_func_count
        self.threshold = false_positive_threshold
        # 使用一个压缩位集库（这里用 Python 的 `bitarray` 库模拟，实际中可用 `pyroaring` 等）
        # 为简化，这里用普通位数组，但你可以替换为压缩位集。
        self.bit_array = [0] * self.m
        self.n = 0  # 已添加元素数量
        self.hash_funcs = self._generate_hash_functions()
    
    def _generate_hash_functions(self):
        # 生成 k 个独立的哈希函数。实践中可以使用双重哈希或多个种子。
        import hashlib
        def hash_i(data, i):
            # 使用带种子的哈希模拟不同函数
            hash_obj = hashlib.sha256(f"{data}{i}".encode())
            return int(hash_obj.hexdigest(), 16) % self.m
        return [lambda x, i=i: hash_i(x, i) for i in range(self.k)]
    
    def add(self, item):
        # 添加元素
        for h in self.hash_funcs:
            self.bit_array[h(item)] = 1
        self.n += 1
        # 检查是否需要扩容
        if self._estimated_false_positive_rate() > self.threshold:
            self._resize()
    
    def contains(self, item):
        # 检查元素是否存在
        for h in self.hash_funcs:
            if self.bit_array[h(item)] == 0:
                return False
        return True  # 可能存在（有假阳性）
    
    def _estimated_false_positive_rate(self):
        # 计算当前估计的假阳性率
        import math
        return (1 - math.exp(-self.k * self.n / self.m)) ** self.k
    
    def _resize(self):
        # 动态扩容：位数组大小翻倍，并重新哈希所有元素
        # 注意：为了重新哈希，我们需要知道所有历史元素。这里假设我们有一个存储所有元素的列表（实际场景可能需要外部存储）。
        # 为简化，我们假设可以访问 self.items（实际中需要额外存储）。
        # 由于代码示例不存储所有 items，这里我们跳过重新哈希的细节，仅展示扩容思路。
        new_m = self.m * 2
        new_bit_array = [0] * new_m
        # 重新哈希所有历史元素到新数组（需要存储所有 items，这里省略）
        # ...
        # 更新参数
        self.m = new_m
        self.bit_array = new_bit_array
        # 重新生成哈希函数（因为 m 变了）
        self.hash_funcs = self._generate_hash_functions()
        print(f"Resized to m={self.m}")

第五步：整合位集压缩

在实际实现中，我们可以将 self.bit_array 替换为一个压缩位集。例如，使用 pyroaring 库（一个高效的压缩位图库）：

import pyroaring

class DynamicCompressedBloomFilter:
    def __init__(self, initial_size=1024, hash_func_count=3, false_positive_threshold=0.01):
        self.m = initial_size
        self.k = hash_func_count
        self.threshold = false_positive_threshold
        # 使用 RoaringBitmap 作为压缩位集
        self.bitmap = pyroaring.BitMap()
        self.n = 0
        self.hash_funcs = self._generate_hash_functions()
    
    def _generate_hash_functions(self):
        import hashlib
        def hash_i(data, i):
            hash_obj = hashlib.sha256(f"{data}{i}".encode())
            return int(hash_obj.hexdigest(), 16) % self.m
        return [lambda x, i=i: hash_i(x, i) for i in range(self.k)]
    
    def add(self, item):
        for h in self.hash_funcs:
            self.bitmap.add(h(item))  # 添加位位置
        self.n += 1
        if self._estimated_false_positive_rate() > self.threshold:
            self._resize()
    
    def contains(self, item):
        for h in self.hash_funcs:
            if h(item) not in self.bitmap:
                return False
        return True
    
    def _estimated_false_positive_rate(self):
        import math
        return (1 - math.exp(-self.k * self.n / self.m)) ** self.k
    
    def _resize(self):
        new_m = self.m * 2
        # 我们需要重新哈希所有已设置的位到新大小
        # 由于我们没有存储原始元素，这里我们无法重新哈希，所以动态扩容需要存储元素列表。
        # 这是本设计的一个限制：动态扩容需要额外存储所有添加过的元素。
        # 一种解决方法是使用可扩展布隆过滤器（多个布隆过滤器序列）。
        # 为简化，我们这里仅示意扩容过程，实际实现需要更复杂的处理。
        print(f"Resizing required to m={new_m}, but need to rehash elements.")
        self.m = new_m
        self.hash_funcs = self._generate_hash_functions()

第六步：优化与注意事项

1. 动态扩容的挑战：重新哈希需要原始元素列表，这可能使内存占用翻倍。解决方案包括：
   • 使用可扩展布隆过滤器，通过添加新的布隆过滤器（每个有独立的大小）来避免重新哈希。
   • 如果数据源可以重新遍历（例如来自文件流），则可以在扩容时重新读取数据。
2. 压缩位集选择：RoaringBitmap 在稀疏和密集情况下都有良好性能，是一个推荐选择。
3. 哈希函数生成：可以使用双重哈希（h_i(x) = (h1(x) + i * h2(x)) mod m）来生成多个哈希函数，减少计算开销。
4. 性能权衡：压缩位集可能降低查询速度（但仍接近 O(k)），而动态扩容可能导致偶发的延迟。需要根据应用场景调整阈值。

第七步：总结

这个设计融合了标准布隆过滤器、动态扩容和位集压缩：

• 基础：使用 k 个哈希函数和位数组。
• 动态扩容：监控假阳性率，超过阈值时扩容位数组并重新哈希。
• 位集压缩：使用压缩位图（如 RoaringBitmap）节省内存。
• 局限：动态扩容需要存储或重新访问所有元素，增加了复杂性。在实际中，可扩展布隆过滤器可能是更好的动态扩容方案。