该求和满足：  

 具体地，当 $ m $ 是 $ 2n $ 的整数倍时，和不为零。  
 因此：  

 注意：当 $ m=2nl $ 时，$ T_m(x_k) = \cos(2nl \theta_k) = \cos(2l\pi \cdot \frac{2k-1}{4n}) $ 需具体计算，但结果是和为 $ n $，故 $ I_n(T_m)=\pi $。

高斯-切比雪夫求积公式的误差分析 题目描述 高斯-切比雪夫求积公式用于计算形如 \( I = \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \) 的积分，其节点为切比雪夫多项式 \( T_ n(x) \) 的零点，权重为常数。已知该公式对不超过 \( 2n-1 \) 次的多项式能精确积分。本题要求分析其截断误差，并推导误差项的显式表达式。 解题过程 公式回顾 高斯-切比雪夫求积公式的节点为： \[ x_ k = \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right), \quad k=1,2,\dots,n \] 权重为常数： \[ w_ k = \frac{\pi}{n} \] 求积公式为： \[ I_ n(f) = \sum_ {k=1}^n w_ k f(x_ k) = \frac{\pi}{n} \sum_ {k=1}^n f(x_ k) \] 该公式对任意次数不超过 \( 2n-1 \) 的多项式精确成立。 误差分析思路 误差定义为： \[ E_ n(f) = I(f) - I_ n(f) = \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx - \frac{\pi}{n} \sum_ {k=1}^n f(x_ k) \] 由于公式对高次多项式精确，误差与函数 \( f(x) \) 的 \( 2n \) 阶导数相关。通过将 \( f(x) \) 用切比雪夫多项式展开，可推导误差的显式形式。 切比雪夫多项式展开 函数 \( f(x) \) 可展开为切比雪夫级数： \[ f(x) = \frac{a_ 0}{2} + \sum_ {m=1}^\infty a_ m T_ m(x) \] 其中系数为： \[ a_ m = \frac{2}{\pi} \int_ {-1}^{1} \frac{f(x) T_ m(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \] 切比雪夫多项式满足正交性： \[ \int_ {-1}^{1} \frac{T_ m(x) T_ k(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \begin{cases} 0 & m \neq k \\ \pi & m=k=0 \\ \pi/2 & m=k \geq 1 \end{cases} \] 积分与求积公式对展开项的作用 精确积分 \( I(T_ m) \)： 由正交性，当 \( m=0 \) 时 \( T_ 0(x)=1 \)，有 \( I(T_ 0) = \pi \)；当 \( m\geq1 \) 时，若 \( m \) 为偶数且 \( m>0 \)，积分可能非零，但这里需注意权重函数 \( 1/\sqrt{1-x^2} \) 下，只有 \( m=0 \) 的积分直接对应常数项。 实际上，更关键的是：求积公式 \( I_ n(T_ m) \) 对 \( m \) 的取值敏感。 求积公式 \( I_ n(T_ m) \) 的计算： 利用切比雪夫多项式在节点 \( x_ k \) 上的性质 \( T_ m(x_ k) = \cos(m \theta_ k) \)，其中 \( \theta_ k = \frac{2k-1}{2n}\pi \)。 求和： \[ \sum_ {k=1}^n T_ m(x_ k) = \sum_ {k=1}^n \cos\left( m \cdot \frac{2k-1}{2n}\pi \right) \] 该求和满足： \[ \sum_ {k=1}^n \cos\left( \frac{m(2k-1)\pi}{2n} \right) = \begin{cases} n & m=0 \\ 0 & m \not\equiv 0 \ (\text{mod} \ 2n) \\ \text{特定值} & \text{其他情况} \end{cases} \] 具体地，当 \( m \) 是 \( 2n \) 的整数倍时，和不为零。 因此： \[ I_ n(T_ m) = \frac{\pi}{n} \sum_ {k=1}^n T_ m(x_ k) = \begin{cases} \pi & m=0 \\ 0 & 0 < m < 2n \ \text{且} \ m \neq 2nl \\ \pi & m=2nl \ (l \in \mathbb{Z}^+) \end{cases} \] 注意：当 \( m=2nl \) 时，\( T_ m(x_ k) = \cos(2nl \theta_ k) = \cos(2l\pi \cdot \frac{2k-1}{4n}) \) 需具体计算，但结果是和为 \( n \)，故 \( I_ n(T_ m)=\pi \)。 误差项的推导 将 \( f(x) \) 的展开式代入误差表达式： \[ E_ n(f) = I(f) - I_ n(f) = \sum_ {m=0}^\infty a_ m \left[ I(T_ m) - I_ n(T_ m) \right ] \] 由于 \( I(T_ m) = 0 \) 对于 \( m \geq 1 \)（因为正交性，\( T_ m \) 与 \( T_ 0 \) 正交），但需修正： 实际上，\( I(T_ m) = \int_ {-1}^{1} \frac{T_ m(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx = \begin{cases} \pi & m=0 \\ 0 & m \geq 1 \end{cases} \)。 而 \( I_ n(T_ m) \) 在 \( m=0 \) 时为 \( \pi \)，在 \( 1 \leq m \leq 2n-1 \) 时为 0，在 \( m=2n, 4n, \dots \) 时为 \( \pi \)。 因此误差中仅当 \( m \) 是 \( 2n \) 的整数倍时非零： \[ E_ n(f) = \sum_ {l=1}^\infty a_ {2nl} \left[ I(T_ {2nl}) - I_ n(T_ {2nl}) \right] = \sum_ {l=1}^\infty a_ {2nl} \left[ 0 - \pi \right] = -\pi \sum_ {l=1}^\infty a_ {2nl} \] 最终误差公式为： \[ E_ n(f) = -\frac{\pi}{2^{2n-1}} \cdot \frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n) !}, \quad \xi \in (-1,1) \] 其中系数 \( \frac{\pi}{2^{2n-1}} \) 来自切比雪夫多项式首项系数的比例关系。 结论 高斯-切比雪夫公式的误差与函数在区间内的 \( 2n \) 阶导数相关，且随 \( n \) 增大而快速衰减（因分母阶乘）。对于光滑函数，该公式具有指数级收敛速度。