排序算法之：循环不变式在 Stooge 排序（臭皮匠排序）中的正确性证明
字数 4000 2025-12-24 01:53:11

排序算法之：循环不变式在 Stooge 排序（臭皮匠排序）中的正确性证明

题目描述

我们探讨一个非典型的排序算法：Stooge 排序。这个算法以其不切实际的低效率和递归的、似乎违反直觉的设计而闻名。本题目要求你理解 Stooge 排序的工作原理，并运用循环不变式这个形式化工具，严谨地证明这个看似“儿戏”的算法确实能正确地对一个数组进行排序。

算法描述：
给定一个数组 A[0..n-1]，Stooge 排序的递归过程如下：

  1. 如果 A[0] > A[n-1]，则交换这两个元素。
  2. 如果当前子数组的长度 len >= 3，则：
    a. 令 t = floor(len / 3)。
    b. 递归排序前 2/3 的子数组：A[0 .. n-1-t]。
    c. 递归排序后 2/3 的子数组：A[t .. n-1]。
    d. 再次递归排序前 2/3 的子数组：A[0 .. n-1-t]。

这个算法的递归调用树非常庞大，导致其时间复杂度为 O(n^log_{1.5} 3) ≈ O(n^2.7095...)，远低于常见排序算法的效率。但我们的目标不是分析效率，而是证明其正确性。

目标：
为 Stooge 排序的递归过程定义一个清晰的循环不变式（更确切地说，是递归不变式），并分步证明该不变式在递归的每个步骤中得以保持，从而最终证明算法执行完毕后，整个数组 A 是非递减有序的。

解题过程

第一步：理解算法行为与递归结构

在尝试证明之前，我们必须先理解这个算法“在做什么”。一个直观的理解方式是：

  1. 边界处理：首先确保子数组的首尾元素是顺序正确的（A[0] <= A[n-1]）。
  2. 三分递归：当子数组长度 ≥ 3 时，算法对数组的“前2/3”和“后2/3”分别进行排序，并且中间有1/3的重叠部分。最后一步再次排序“前2/3”，是为了处理第一次递归后，中间重叠部分可能被“后2/3”排序打乱的情况。

可以这样想象：我们先大致把前2/3排好，再把后2/3排好，但中间1/3（即A[t .. n-1-t]）被两次排序覆盖了，最后一步重新整理前2/3，确保整个数组有序。

关键观察：经过步骤2b和2c后，数组的最后1/3（A[n-1-t+1 .. n-1]）已经是其最终的正确位置上的最大元素集合。而再次排序前2/3（步骤2d）是为了确保前2/3（包含中间1/3）也完全有序，并且与最后1/3衔接。

第二步：定义递归不变式

对于递归函数 StoogeSort(A, left, right)，它排序子数组 A[left..right]。我们需要定义一个关于子数组的递归不变式，它描述了在每次递归调用开始和结束时，子数组所满足的性质。

递归不变式 P(l, r)：

对于任何调用 StoogeSort(A, l, r)，在调用开始时，子数组 A[l..r] 中的元素是待排序的原始元素的一个排列。在调用结束后，子数组 A[l..r] 将按非递减顺序（升序）排列。

这个定义是递归正确性证明的标准目标。但为了更精细地证明递归步骤（2b, 2c, 2d）能保持这个性质，我们需要一个更强的归纳假设。

更强的递归不变式（归纳假设）：

假设对于所有长度小于 (r-l+1) 的子数组，StoogeSort 都能正确排序。那么，对于当前长度为 len = r-l+1 的子数组 A[l..r]：

  1. 边界条件：如果 len <= 2，通过直接比较和可能的交换，可以正确排序。
  2. 递归步骤：如果 len >= 3，令 t = floor(len/3)。执行以下步骤后，A[l..r] 将完全有序：
    a. 保证 A[l] <= A[r]。
    b. 递归排序 A[l .. r-t]（前2/3）。
    c. 递归排序 A[l+t .. r]（后2/3）。
    d. 再次递归排序 A[l .. r-t]（前2/3）。

我们的证明将围绕这个更强的归纳假设展开。

第三步：基础情况证明

基础情况是子数组长度 len = 1 或 len = 2。

  • len = 1：单个元素已经有序。不变式 P(l, l) 显然成立。
  • len = 2：算法比较 A[l] 和 A[r]，如果逆序则交换。这确保了 A[l] <= A[r]，子数组有序。不变式 P(l, r) 成立。

由于基础情况是显式正确的，归纳法的起点稳固。

第四步：归纳步骤证明

现在，假设对于所有长度小于 len 的子数组，StoogeSort 都能正确排序（归纳假设）。我们需要证明，对于一个长度为 len >= 3 的子数组 A[l..r]，执行算法步骤后，它也变得有序。

证明结构：
令 t = floor(len/3)。注意 t >= 1 因为 len >= 3。子数组分为三个部分（可能长度不完全相等，但 t 是下取整）：

  • 第一部分：A[l .. l+t-1]
  • 第二部分：A[l+t .. r-t]
  • 第三部分：A[r-t+1 .. r]

算法的递归操作如下：

  1. 步骤1：如果 A[l] > A[r]，则交换。这保证了整个子数组的最小值不会在末尾，最大值不会在开头，为后续递归提供了一个“好”的起点。但最关键的是，它确保了在递归开始前，A[l] <= A[r]。

  2. 步骤2b：递归排序前2/3，即 A[l .. r-t]。

    • 这个子数组的长度是 (r-t) - l + 1 = len - t。
    • 因为 len >= 3 且 t >= 1，所以 len - t <= len - 1，其长度严格小于 len。
    • 根据归纳假设，这次递归调用后，A[l .. r-t] 将变为有序。

  3. 步骤2c：递归排序后2/3，即 A[l+t .. r]。

    • 其长度为 r - (l+t) + 1 = len - t，同样严格小于 len。
    • 根据归纳假设，这次递归调用后，A[l+t .. r] 将变为有序。

此时的关键状态：
经过步骤2b和2c，我们有了两个各自有序但重叠的子数组：

  • 有序块1：A[l .. r-t]
  • 有序块2：A[l+t .. r]

它们的重叠部分是 A[l+t .. r-t]（中间部分）。但整个数组 A[l..r] 可能还不是完全有序的，因为最大的一些元素可能还位于中间或前部，而不是集中在最后。

  1. 步骤2d：再次递归排序前2/3，即 A[l .. r-t]。
    • 长度依然是 len - t，小于 len，归纳假设适用。
    • 这次排序将重新整理前2/3。为什么这是必要的？因为步骤2c（排序后2/3）可能将一些本应属于“前2/3”的较小元素，与“最后1/3”的较大元素进行了交换，但这些较大元素在第一次排序前2/3（步骤2b）时被放到了前2/3的靠后位置。步骤2d的作用，就是将那些“误入”前2/3区域的大元素“推”到后1/3去，同时确保前2/3自身有序。

最终正确性的逻辑论证：

  • 经过步骤2d后，A[l .. r-t] 是有序的。
  • 由于步骤2c后 A[l+t .. r] 是有序的，且步骤2d没有改动 A[r-t+1 .. r] 这个最后1/3的部分（因为步骤2d的排序范围是 A[l .. r-t]），所以 A[r-t+1 .. r] 保持有序，并且它们已经是整个子数组中最大的那些元素。
  • 现在，整个数组 A[l..r] 被有序的前2/3和有序的最后1/3拼接而成。要证明拼接后的整体有序，只需证明前2/3的最大值（即 A[r-t]）不大于后1/3的最小值（即 A[r-t+1]）。
  • 这个结论是由步骤2c保证的。步骤2c排序了 A[l+t .. r]，这个子数组包含了 A[r-t] 和 A[r-t+1]。在排序后的 A[l+t .. r] 中，A[r-t] 作为其倒数第 t 个元素，一定小于或等于其后的所有元素，包括 A[r-t+1]。因此，A[r-t] <= A[r-t+1] 成立。

因此，A[l..r] 整体有序。归纳步骤得证。

第五步：完成证明

由数学归纳法：

  1. 基础（len = 1, 2）：算法显式处理，结果正确。
  2. 归纳：假设算法对所有小于 len 的数组能正确排序，则证明其对长度为 len 的数组也能正确排序。

由于递归调用总是作用于更短的子数组（len - t < len），递归最终会到达基础情况。因此，对于任意长度的输入数组，Stooge 排序都能终止，并产生一个完全有序的数组。

循环不变式（递归不变式） P(l, r) 在算法的整个执行过程中得以保持：每次调用开始时，子数组包含原始元素；调用结束时，子数组有序。特别地，对于初始调用 StoogeSort(A, 0, n-1)，在调用结束时，整个数组 A[0..n-1] 有序。证毕。

总结

这个证明展示了如何为一个看似古怪的递归排序算法建立严谨的正确性论证。核心技巧是：

  1. 定义一个清晰的递归不变式（或归纳假设）。
  2. 利用数学归纳法，将大问题的正确性归结为更小规模子问题的正确性。
  3. 仔细分析递归步骤后数组各部分的状态，特别是重叠部分，并论证边界元素的顺序关系（本例中为 A[r-t] <= A[r-t+1]），从而推导出整体有序。

通过这个过程，我们不仅证明了 Stooge 排序的正确性，也加深了对递归算法设计和循环不变式这一强大证明工具的理解。

排序算法之：循环不变式在 Stooge 排序（臭皮匠排序）中的正确性证明 题目描述 我们探讨一个非典型的排序算法： Stooge 排序 。这个算法以其不切实际的低效率和递归的、似乎违反直觉的设计而闻名。本题目要求你理解 Stooge 排序的工作原理，并运用 循环不变式 这个形式化工具，严谨地证明这个看似“儿戏”的算法确实能正确地对一个数组进行排序。 算法描述 ： 给定一个数组 A[0..n-1] ，Stooge 排序的递归过程如下： 如果 A[0] > A[n-1] ，则交换这两个元素。 如果当前子数组的长度 len >= 3 ，则： a. 令 t = floor(len / 3) 。 b. 递归排序前 2/3 的子数组： A[0 .. n-1-t] 。 c. 递归排序后 2/3 的子数组： A[t .. n-1] 。 d. 再次递归排序前 2/3 的子数组： A[0 .. n-1-t] 。 这个算法的递归调用树非常庞大，导致其时间复杂度为 O(n^log_ {1.5} 3) ≈ O(n^2.7095...)，远低于常见排序算法的效率。但我们的目标不是分析效率，而是证明其正确性。 目标 ： 为 Stooge 排序的递归过程定义一个清晰的 循环不变式 （更确切地说，是 递归不变式 ），并分步证明该不变式在递归的每个步骤中得以保持，从而最终证明算法执行完毕后，整个数组 A 是非递减有序的。 解题过程 第一步：理解算法行为与递归结构 在尝试证明之前，我们必须先理解这个算法“在做什么”。一个直观的理解方式是： 边界处理 ：首先确保子数组的首尾元素是顺序正确的（ A[0] <= A[n-1] ）。 三分递归 ：当子数组长度 ≥ 3 时，算法对数组的“前2/3”和“后2/3”分别进行排序，并且中间有1/3的重叠部分。最后一步再次排序“前2/3”，是为了处理第一次递归后，中间重叠部分可能被“后2/3”排序打乱的情况。 可以这样想象：我们先大致把前2/3排好，再把后2/3排好，但中间1/3（即 A[t .. n-1-t] ）被两次排序覆盖了，最后一步重新整理前2/3，确保整个数组有序。 关键观察 ：经过步骤2b和2c后，数组的 最后1/3 （ A[n-1-t+1 .. n-1] ）已经是其最终的正确位置上的最大元素集合。而再次排序前2/3（步骤2d）是为了确保前2/3（包含中间1/3）也完全有序，并且与最后1/3衔接。 第二步：定义递归不变式 对于递归函数 StoogeSort(A, left, right) ，它排序子数组 A[left..right] 。我们需要定义一个关于子数组的 递归不变式 ，它描述了在每次递归调用开始和结束时，子数组所满足的性质。 递归不变式 P(l, r) ： 对于任何调用 StoogeSort(A, l, r) ，在调用 开始时 ，子数组 A[l..r] 中的元素是待排序的原始元素的一个排列。在调用 结束后 ，子数组 A[l..r] 将按非递减顺序（升序）排列。 这个定义是递归正确性证明的标准目标。但为了更精细地证明递归步骤（2b, 2c, 2d）能保持这个性质，我们需要一个 更强的归纳假设 。 更强的递归不变式（归纳假设） ： 假设对于 所有长度小于 (r-l+1) 的子数组 ， StoogeSort 都能正确排序。那么，对于当前长度为 len = r-l+1 的子数组 A[l..r] ： 边界条件 ：如果 len <= 2 ，通过直接比较和可能的交换，可以正确排序。 递归步骤 ：如果 len >= 3 ，令 t = floor(len/3) 。执行以下步骤后， A[l..r] 将完全有序： a. 保证 A[l] <= A[r] 。 b. 递归排序 A[l .. r-t] （前2/3）。 c. 递归排序 A[l+t .. r] （后2/3）。 d. 再次递归排序 A[l .. r-t] （前2/3）。 我们的证明将围绕这个更强的归纳假设展开。 第三步：基础情况证明 基础情况是子数组长度 len = 1 或 len = 2 。 len = 1 ：单个元素已经有序。不变式 P(l, l) 显然成立。 len = 2 ：算法比较 A[l] 和 A[r] ，如果逆序则交换。这确保了 A[l] <= A[r] ，子数组有序。不变式 P(l, r) 成立。 由于基础情况是显式正确的，归纳法的起点稳固。 第四步：归纳步骤证明 现在，假设对于 所有长度小于 len 的子数组， StoogeSort 都能正确排序（归纳假设）。我们需要证明，对于一个长度为 len >= 3 的子数组 A[l..r] ，执行算法步骤后，它也变得有序。 证明结构 ： 令 t = floor(len/3) 。注意 t >= 1 因为 len >= 3 。子数组分为三个部分（可能长度不完全相等，但 t 是下取整）： 第一部分： A[l .. l+t-1] 第二部分： A[l+t .. r-t] 第三部分： A[r-t+1 .. r] 算法的递归操作如下： 步骤1 ：如果 A[l] > A[r] ，则交换。这保证了 整个子数组的最小值不会在末尾，最大值不会在开头 ，为后续递归提供了一个“好”的起点。但最关键的是，它确保了在递归开始前， A[l] <= A[r] 。 步骤2b ：递归排序前2/3，即 A[l .. r-t] 。 这个子数组的长度是 (r-t) - l + 1 = len - t 。 因为 len >= 3 且 t >= 1 ，所以 len - t <= len - 1 ，其长度 严格小于 len 。 根据归纳假设，这次递归调用后， A[l .. r-t] 将变为有序。 步骤2c ：递归排序后2/3，即 A[l+t .. r] 。 其长度为 r - (l+t) + 1 = len - t ，同样严格小于 len 。 根据归纳假设，这次递归调用后， A[l+t .. r] 将变为有序。 此时的关键状态 ： 经过步骤2b和2c，我们有了两个 各自有序 但 重叠 的子数组： 有序块1： A[l .. r-t] 有序块2： A[l+t .. r] 它们的重叠部分是 A[l+t .. r-t] （中间部分）。但整个数组 A[l..r] 可能还不是完全有序的，因为最大的一些元素可能还位于中间或前部，而不是集中在最后。 步骤2d ：再次递归排序前2/3，即 A[l .. r-t] 。 长度依然是 len - t ，小于 len ，归纳假设适用。 这次排序将 重新整理 前2/3。为什么这是必要的？因为步骤2c（排序后2/3）可能将一些本应属于“前2/3”的较小元素，与“最后1/3”的较大元素进行了交换，但这些较大元素在第一次排序前2/3（步骤2b）时被放到了前2/3的靠后位置。步骤2d的作用，就是将那些“误入”前2/3区域的大元素“推”到后1/3去，同时确保前2/3自身有序。 最终正确性的逻辑论证 ： 经过步骤2d后， A[l .. r-t] 是有序的。 由于步骤2c后 A[l+t .. r] 是有序的，且步骤2d 没有改动 A[r-t+1 .. r] 这个最后1/3的部分（因为步骤2d的排序范围是 A[l .. r-t] ），所以 A[r-t+1 .. r] 保持有序，并且它们已经是整个子数组中最大的那些元素。 现在，整个数组 A[l..r] 被有序的前2/3和有序的最后1/3拼接而成。要证明拼接后的整体有序，只需证明 前2/3的最大值 （即 A[r-t] ） 不大于 后1/3的最小值（即 A[r-t+1] ）。 这个结论是由步骤2c保证的。步骤2c排序了 A[l+t .. r] ，这个子数组包含了 A[r-t] 和 A[r-t+1] 。在排序后的 A[l+t .. r] 中， A[r-t] 作为其倒数第 t 个元素，一定小于或等于其后的所有元素，包括 A[r-t+1] 。因此， A[r-t] <= A[r-t+1] 成立。 因此， A[l..r] 整体有序。归纳步骤得证。 第五步：完成证明 由数学归纳法： 基础 （ len = 1, 2 ）：算法显式处理，结果正确。 归纳 ：假设算法对所有小于 len 的数组能正确排序，则证明其对长度为 len 的数组也能正确排序。 由于递归调用总是作用于更短的子数组（ len - t < len ），递归最终会到达基础情况。因此，对于任意长度的输入数组，Stooge 排序都能终止，并产生一个完全有序的数组。 循环不变式（递归不变式） P(l, r) 在算法的整个执行过程中得以保持：每次调用开始时，子数组包含原始元素；调用结束时，子数组有序。特别地，对于初始调用 StoogeSort(A, 0, n-1) ，在调用结束时，整个数组 A[0..n-1] 有序。 证毕 。 总结 这个证明展示了如何为一个看似古怪的递归排序算法建立严谨的正确性论证。核心技巧是： 定义一个清晰的递归不变式（或归纳假设）。 利用数学归纳法，将大问题的正确性归结为更小规模子问题的正确性。 仔细分析递归步骤后数组各部分的状态，特别是重叠部分，并论证边界元素的顺序关系（本例中为 A[r-t] <= A[r-t+1] ），从而推导出整体有序。 通过这个过程，我们不仅证明了 Stooge 排序的正确性，也加深了对递归算法设计和循环不变式这一强大证明工具的理解。