非线性规划中的自适应协方差矩阵调整演化策略（CMA-ES）进阶题：大规模、病态、非凸黑箱优化问题
字数 4122 2025-12-24 01:36:27

非线性规划中的自适应协方差矩阵调整演化策略（CMA-ES）进阶题：大规模、病态、非凸黑箱优化问题

题目描述

考虑一个大规模、病态（ill-conditioned）的黑箱优化问题：
目标函数 \(f(x)\) 是非凸的，且没有显式表达式或梯度信息，只能通过给定输入 \(x\) 获得函数值 \(f(x)\)（例如来自仿真或实验）。
该问题的维度 \(n\) 较高（例如 \(n \geq 100\)），且变量 \(x\) 通常有简单的边界约束：

\[l_i \leq x_i \leq u_i, \quad i = 1,\dots,n \]

由于函数曲面可能非常崎岖、存在多个局部极值点，且 Hessian 矩阵的条件数很大，传统的基于梯度的算法或基本随机搜索方法效率很低。
要求设计一种基于 自适应协方差矩阵调整演化策略（CMA-ES） 的改进算法，以高效、鲁棒地寻找该问题的全局近似最优解。

解题过程（循序渐进讲解）

1. 问题特点分析

  • 黑箱性：无法获取梯度或 Hessian，只能进行函数值评价。
  • 大规模：变量维度高，搜索空间巨大。
  • 病态：目标函数在不同方向上的曲率差异极大，导致等值面呈狭长的“山谷”或“山脊”状。
  • 非凸：存在多个局部极小点，算法需具备跳出局部最优的能力。
  • 边界约束：变量有上下界，需要在采样和更新时处理可行性。

2. CMA-ES 核心思想回顾

CMA-ES 是一种基于种群的随机优化算法，其核心是在迭代中自适应地调整搜索分布的协方差矩阵，使其逐渐对齐目标函数的等高线形状，从而在高维病态问题上实现高效搜索。
基本迭代步骤包括：

  1. 采样：从一个多元正态分布 \(\mathcal{N}(m^{(k)}, \sigma^{(k)2} C^{(k)})\) 中生成 \(\lambda\) 个子代个体。
  2. 选择与重组：根据函数值排序，选出 \(\mu\) 个最优个体，更新分布均值 \(m\)。
  3. 自适应更新：更新步长 \(\sigma\) 和协方差矩阵 \(C\)，以反映成功搜索方向的信息。

3. 针对本问题的改进设计

为处理大规模、病态、非凸黑箱问题，标准 CMA-ES 需在以下方面增强：

（1）降低计算与存储复杂度
标准 CMA-ES 的协方差矩阵 \(C \in \mathbb{R}^{n \times n}\)，更新和分解的复杂度为 \(O(n^3)\)，在大规模时不可行。

  • 改进方案：采用限内存 CMA-ES（LM-CMA-ES） 或 可分离 CMA-ES（sep-CMA-ES）。
    • sep-CMA-ES 假设变量间独立，只调整各维度的方差（即 \(C\) 为对角矩阵），复杂度降为 \(O(n)\)。
    • LM-CMA-ES 则通过存储前 \(m\) 个演化路径来近似协方差矩阵，复杂度为 \(O(mn)\)。

（2）处理边界约束
在采样时，若个体越界，可采用以下策略之一：

  • 反射：将越界分量反射回边界内，如 \(x_i' = 2l_i - x_i\)（若 \(x_i < l_i\)）。
  • 重新采样：丢弃越界个体，重新从分布中采样直到可行。
  • 惩罚函数：对越界个体赋予极差的函数值，使其在排序中被淘汰。

（3）增强全局探索能力
为防止陷入局部最优，引入：

  • 重启策略：当种群多样性过低或长时间无改进时，重新初始化分布均值、增大步长，并在搜索空间内随机重启。
  • 多起点并行运行：同时运行多个 CMA-ES 实例，交换优良个体信息。

（4）适应病态条件
病态问题要求分布能快速拉伸到有利方向。

  • 加速协方差学习：增大学习率 \(c_c\) 和 \(c_1\)，但需注意稳定性。
  • 初始协方差设置：若对问题有一定先验知识（如某些变量重要性不同），可设置初始 \(C\) 为对角矩阵，对角线元素反映各维度的预期缩放比例。

4. 算法步骤详述（以 sep-CMA-ES 为例）

步骤 0：初始化

  • 设置初始均值 \(m^{(0)}\)（通常为可行域中心或随机点）。
  • 初始步长 \(\sigma^{(0)}\) 约为变量范围的 1/3。
  • 初始协方差矩阵 \(C^{(0)} = I_n\)（单位矩阵，对角形式即为各维方差为 1）。
  • 设置种群大小 \(\lambda\)（通常取 \(4 + \lfloor 3 \ln n \rfloor\) 或更大以增强探索），父代数量 \(\mu = \lfloor \lambda/2 \rfloor\)。
  • 设置学习率参数：\(c_\sigma, c_c, c_1, c_\mu\)（标准 CMA-ES 参数，可参考 Hansen 的默认设置）。

步骤 1：采样与边界处理
在第 \(k\) 次迭代，生成 \(\lambda\) 个子代：

\[x_i^{(k)} = m^{(k)} + \sigma^{(k)} \cdot D^{(k)} z_i, \quad z_i \sim \mathcal{N}(0, I_n) \]

其中 \(D^{(k)} = \operatorname{diag}(\sqrt{C_{11}^{(k)}}, \dots, \sqrt{C_{nn}^{(k)}})\) 是对角标准差矩阵。
若某个 \(x_i\) 分量越界，则使用反射或重新采样处理，确保所有个体可行。

步骤 2：评价与排序
计算所有 \(\lambda\) 个个体的目标函数值 \(f(x_i)\)，并按升序排序：

\[f(x_{1:\lambda}) \leq f(x_{2:\lambda}) \leq \dots \leq f(x_{\lambda:\lambda}) \]

步骤 3：更新分布均值
计算加权平均：

\[m^{(k+1)} = \sum_{i=1}^{\mu} w_i x_{i:\lambda} \]

其中权重 \(w_i\) 通常取正且和为 1（如 \(w_i = \frac{\ln(\mu+1) - \ln i}{\sum_{j=1}^{\mu} (\ln(\mu+1) - \ln j)}\)）。

步骤 4：更新演化路径与步长 \(\sigma\)

  • 累积步长演化路径 \(p_\sigma\)：

\[ p_\sigma^{(k+1)} = (1 - c_\sigma) p_\sigma^{(k)} + \sqrt{c_\sigma(2 - c_\sigma) \mu_{\text{eff}}} \cdot \frac{m^{(k+1)} - m^{(k)}}{\sigma^{(k)} D^{(k)}} \]

  • 根据路径长度是否接近随机游动期望长度来调整步长：

\[ \sigma^{(k+1)} = \sigma^{(k)} \exp\left( \frac{c_\sigma}{d_\sigma} \left( \frac{\|p_\sigma^{(k+1)}\|}{\mathbb{E}\|\mathcal{N}(0,I)\|} - 1 \right) \right) \]

步骤 5：更新协方差矩阵（对角版本）

  • 累积协方差演化路径 \(p_c\)（用于学习成功方向的相关性）。
  • 更新对角元素 \(C_{jj}\)：

\[ C_{jj}^{(k+1)} = (1 - c_1 - c_\mu) C_{jj}^{(k)} + c_1 \cdot (p_{c,j}^{(k+1)})^2 + c_\mu \sum_{i=1}^{\mu} w_i \left( \frac{x_{i:\lambda,j} - m_j^{(k)}}{\sigma^{(k)} \sqrt{C_{jj}^{(k)}}} \right)^2 \]

这里仅更新对角线，忽略变量间的协方差，大幅降低了计算量。

步骤 6：重启与收敛判断

  • 如果步长 \(\sigma\) 变得极小（如 \(\sigma < 10^{-12} \sigma^{(0)}\)）或长时间（如 100 代）最优解无改进，则触发重启：将 \(m\) 重置为当前最优解附近随机点，增大 \(\sigma\)，重置演化路径。
  • 若达到最大评价次数或满足精度要求（如函数值变化小于 \(10^{-8}\)），则停止。

5. 关键改进点总结

  1. 可分离协方差假设：将复杂度从 \(O(n^3)\) 降至 \(O(n)\)，适用于大规模问题。
  2. 边界处理：通过反射或重新采样保证可行性。
  3. 重启策略：避免陷入局部最优，增强全局搜索能力。
  4. 参数自适应：步长和协方差学习率可依据问题特性微调，以更快适应病态地形。

6. 示例与结果预期

假设测试函数为高维 Rastrigin 函数（非凸、多峰）：

\[f(x) = 10n + \sum_{i=1}^{n} \left[ x_i^2 - 10 \cos(2\pi x_i) \right], \quad x_i \in [-5.12, 5.12] \]

  • 标准 CMA-ES 在大规模（如 \(n=100\)）时可能因计算量过大而缓慢。
  • 改进后的 sep-CMA-ES 配合重启策略，能够在可接受时间内找到近似全局最优（接近全零向量），且对初始点不敏感。

小结

本题目针对大规模、病态、非凸黑箱优化，通过改进 CMA-ES（采用可分离协方差、边界处理、重启策略等），实现了在无需梯度信息下的高效搜索。算法核心在于自适应调整搜索分布的形状与步长，使其能够沿着“山谷”方向快速下降，同时通过重启跳出局部最优。这种方法是处理复杂黑箱优化问题的有效工具，尤其适用于工程设计、参数调优等实际场景。

非线性规划中的自适应协方差矩阵调整演化策略（CMA-ES）进阶题：大规模、病态、非凸黑箱优化问题 题目描述 考虑一个大规模、病态（ill-conditioned）的黑箱优化问题： 目标函数 \( f(x) \) 是非凸的，且没有显式表达式或梯度信息，只能通过给定输入 \( x \) 获得函数值 \( f(x) \)（例如来自仿真或实验）。 该问题的维度 \( n \) 较高（例如 \( n \geq 100 \)），且变量 \( x \) 通常有简单的边界约束： \[ l_ i \leq x_ i \leq u_ i, \quad i = 1,\dots,n \] 由于函数曲面可能非常崎岖、存在多个局部极值点，且 Hessian 矩阵的条件数很大，传统的基于梯度的算法或基本随机搜索方法效率很低。 要求设计一种基于 自适应协方差矩阵调整演化策略（CMA-ES） 的改进算法，以高效、鲁棒地寻找该问题的全局近似最优解。 解题过程（循序渐进讲解） 1. 问题特点分析 黑箱性 ：无法获取梯度或 Hessian，只能进行函数值评价。 大规模 ：变量维度高，搜索空间巨大。 病态 ：目标函数在不同方向上的曲率差异极大，导致等值面呈狭长的“山谷”或“山脊”状。 非凸 ：存在多个局部极小点，算法需具备跳出局部最优的能力。 边界约束 ：变量有上下界，需要在采样和更新时处理可行性。 2. CMA-ES 核心思想回顾 CMA-ES 是一种基于种群的随机优化算法，其核心是 在迭代中自适应地调整搜索分布的协方差矩阵 ，使其逐渐对齐目标函数的等高线形状，从而在高维病态问题上实现高效搜索。 基本迭代步骤包括： 采样 ：从一个多元正态分布 \( \mathcal{N}(m^{(k)}, \sigma^{(k)2} C^{(k)}) \) 中生成 \( \lambda \) 个子代个体。 选择与重组 ：根据函数值排序，选出 \( \mu \) 个最优个体，更新分布均值 \( m \)。 自适应更新 ：更新步长 \( \sigma \) 和协方差矩阵 \( C \)，以反映成功搜索方向的信息。 3. 针对本问题的改进设计 为处理大规模、病态、非凸黑箱问题，标准 CMA-ES 需在以下方面增强： （1）降低计算与存储复杂度 标准 CMA-ES 的协方差矩阵 \( C \in \mathbb{R}^{n \times n} \)，更新和分解的复杂度为 \( O(n^3) \)，在大规模时不可行。 改进方案 ：采用 限内存 CMA-ES（LM-CMA-ES） 或 可分离 CMA-ES（sep-CMA-ES） 。 sep-CMA-ES 假设变量间独立，只调整各维度的方差（即 \( C \) 为对角矩阵），复杂度降为 \( O(n) \)。 LM-CMA-ES 则通过存储前 \( m \) 个演化路径来近似协方差矩阵，复杂度为 \( O(mn) \)。 （2）处理边界约束 在采样时，若个体越界，可采用以下策略之一： 反射 ：将越界分量反射回边界内，如 \( x_ i' = 2l_ i - x_ i \)（若 \( x_ i < l_ i \)）。 重新采样 ：丢弃越界个体，重新从分布中采样直到可行。 惩罚函数 ：对越界个体赋予极差的函数值，使其在排序中被淘汰。 （3）增强全局探索能力 为防止陷入局部最优，引入： 重启策略 ：当种群多样性过低或长时间无改进时，重新初始化分布均值、增大步长，并在搜索空间内随机重启。 多起点并行运行 ：同时运行多个 CMA-ES 实例，交换优良个体信息。 （4）适应病态条件 病态问题要求分布能快速拉伸到有利方向。 加速协方差学习 ：增大学习率 \( c_ c \) 和 \( c_ 1 \)，但需注意稳定性。 初始协方差设置 ：若对问题有一定先验知识（如某些变量重要性不同），可设置初始 \( C \) 为对角矩阵，对角线元素反映各维度的预期缩放比例。 4. 算法步骤详述（以 sep-CMA-ES 为例） 步骤 0：初始化 设置初始均值 \( m^{(0)} \)（通常为可行域中心或随机点）。 初始步长 \( \sigma^{(0)} \) 约为变量范围的 1/3。 初始协方差矩阵 \( C^{(0)} = I_ n \)（单位矩阵，对角形式即为各维方差为 1）。 设置种群大小 \( \lambda \)（通常取 \( 4 + \lfloor 3 \ln n \rfloor \) 或更大以增强探索），父代数量 \( \mu = \lfloor \lambda/2 \rfloor \)。 设置学习率参数：\( c_ \sigma, c_ c, c_ 1, c_ \mu \)（标准 CMA-ES 参数，可参考 Hansen 的默认设置）。 步骤 1：采样与边界处理 在第 \( k \) 次迭代，生成 \( \lambda \) 个子代： \[ x_ i^{(k)} = m^{(k)} + \sigma^{(k)} \cdot D^{(k)} z_ i, \quad z_ i \sim \mathcal{N}(0, I_ n) \] 其中 \( D^{(k)} = \operatorname{diag}(\sqrt{C_ {11}^{(k)}}, \dots, \sqrt{C_ {nn}^{(k)}}) \) 是对角标准差矩阵。 若某个 \( x_ i \) 分量越界，则使用反射或重新采样处理，确保所有个体可行。 步骤 2：评价与排序 计算所有 \( \lambda \) 个个体的目标函数值 \( f(x_ i) \)，并按升序排序： \[ f(x_ {1:\lambda}) \leq f(x_ {2:\lambda}) \leq \dots \leq f(x_ {\lambda:\lambda}) \] 步骤 3：更新分布均值 计算加权平均： \[ m^{(k+1)} = \sum_ {i=1}^{\mu} w_ i x_ {i:\lambda} \] 其中权重 \( w_ i \) 通常取正且和为 1（如 \( w_ i = \frac{\ln(\mu+1) - \ln i}{\sum_ {j=1}^{\mu} (\ln(\mu+1) - \ln j)} \)）。 步骤 4：更新演化路径与步长 \( \sigma \) 累积步长演化路径 \( p_ \sigma \)： \[ p_ \sigma^{(k+1)} = (1 - c_ \sigma) p_ \sigma^{(k)} + \sqrt{c_ \sigma(2 - c_ \sigma) \mu_ {\text{eff}}} \cdot \frac{m^{(k+1)} - m^{(k)}}{\sigma^{(k)} D^{(k)}} \] 根据路径长度是否接近随机游动期望长度来调整步长： \[ \sigma^{(k+1)} = \sigma^{(k)} \exp\left( \frac{c_ \sigma}{d_ \sigma} \left( \frac{\|p_ \sigma^{(k+1)}\|}{\mathbb{E}\|\mathcal{N}(0,I)\|} - 1 \right) \right) \] 步骤 5：更新协方差矩阵（对角版本） 累积协方差演化路径 \( p_ c \)（用于学习成功方向的相关性）。 更新对角元素 \( C_ {jj} \)： \[ C_ {jj}^{(k+1)} = (1 - c_ 1 - c_ \mu) C_ {jj}^{(k)} + c_ 1 \cdot (p_ {c,j}^{(k+1)})^2 + c_ \mu \sum_ {i=1}^{\mu} w_ i \left( \frac{x_ {i:\lambda,j} - m_ j^{(k)}}{\sigma^{(k)} \sqrt{C_ {jj}^{(k)}}} \right)^2 \] 这里仅更新对角线，忽略变量间的协方差，大幅降低了计算量。 步骤 6：重启与收敛判断 如果步长 \( \sigma \) 变得极小（如 \( \sigma < 10^{-12} \sigma^{(0)} \)）或长时间（如 100 代）最优解无改进，则触发重启：将 \( m \) 重置为当前最优解附近随机点，增大 \( \sigma \)，重置演化路径。 若达到最大评价次数或满足精度要求（如函数值变化小于 \( 10^{-8} \)），则停止。 5. 关键改进点总结 可分离协方差假设 ：将复杂度从 \( O(n^3) \) 降至 \( O(n) \)，适用于大规模问题。 边界处理 ：通过反射或重新采样保证可行性。 重启策略 ：避免陷入局部最优，增强全局搜索能力。 参数自适应 ：步长和协方差学习率可依据问题特性微调，以更快适应病态地形。 6. 示例与结果预期 假设测试函数为高维 Rastrigin 函数（非凸、多峰）： \[ f(x) = 10n + \sum_ {i=1}^{n} \left[ x_ i^2 - 10 \cos(2\pi x_ i) \right], \quad x_ i \in [ -5.12, 5.12 ] \] 标准 CMA-ES 在大规模（如 \( n=100 \)）时可能因计算量过大而缓慢。 改进后的 sep-CMA-ES 配合重启策略，能够在可接受时间内找到近似全局最优（接近全零向量），且对初始点不敏感。 小结 本题目针对大规模、病态、非凸黑箱优化，通过改进 CMA-ES（采用可分离协方差、边界处理、重启策略等），实现了在无需梯度信息下的高效搜索。算法核心在于 自适应调整搜索分布的形状与步长 ，使其能够沿着“山谷”方向快速下降，同时通过重启跳出局部最优。这种方法是处理复杂黑箱优化问题的有效工具，尤其适用于工程设计、参数调优等实际场景。