分解算法在随机规划问题中的应用示例 我将为您讲解分解算法在随机规划问题中的应用。随机规划是处理不确定性的重要工具，而分解算法能有效解决大规模随机规划问题。 问题描述 考虑一个两阶段生产计划问题： 第一阶段：工厂需要决定产品A和B的生产量（x₁, x₂），已知生产成本分别为3和2元/件 第二阶段：需求d是不确定的，有两种可能情景（概率各50%）：情景1需求为(4,3)，情景2需求为(6,4) 如果产量不足，需要紧急生产，成本为5和4元/件；如果产量过剩，库存成本为1和0.5元/件 目标是最小化总期望成本 数学模型 设y₁⁺, y₂⁺为情景s下的缺货量，y₁⁻, y₂⁻为过剩量，数学模型为： min 3x₁ + 2x₂ + 0.5(5y₁₁⁺ + 4y₂₁⁺ + y₁₁⁻ + 0.5y₂₁⁻) + 0.5(5y₁₂⁺ + 4y₂₂⁺ + y₁₂⁻ + 0.5y₂₂⁻) 约束条件： 第一阶段：x₁, x₂ ≥ 0 第二阶段（每个情景s）： x₁ + y₁s⁺ - y₁s⁻ = d₁s (情景1：d₁₁=4, d₂₁=3; 情景2：d₁₂=6, d₂₂=4) x₂ + y₂s⁺ - y₂s⁻ = d₂s y₁s⁺, y₂s⁺, y₁s⁻, y₂s⁻ ≥ 0 分解算法求解过程 第一步：问题重构 将原问题分解为： 主问题：决定第一阶段变量x₁, x₂ 子问题：对每个情景s，给定x值后求解第二阶段成本 主问题形式： min cᵀx + θ s.t. x ≥ 0, θ无约束 第二步：Benders分解迭代 迭代1： 初始化：设x₁=0, x₂=0 子问题求解： 情景1：目标值=5×4+4×3=32 情景2：目标值=5×6+4×4=46 期望成本=0.5×(32+46)=39 生成最优割：θ ≥ 39 - π₁x₁ - π₂x₂ 其中π₁, π₂为对偶变量 迭代2： 主问题更新：加入最优割，求解得x₁=5, x₂=4, θ=39 子问题重新求解： 情景1：过剩(1,1)，成本=1×1+0.5×1=1.5 情景2：缺货(1,0)，成本=5×1=5 期望成本=0.5×(1.5+5)=3.25 生成最优割：θ ≥ 3.25 - 0.5x₁ - 0.25x₂ 迭代3： 主问题加入新割，求解得x₁=4.5, x₂=3.75, θ=3.25 验证收敛：实际期望成本与θ相等，算法终止 最终解 最优生产计划：x₁=4.5, x₂=3.75 最小期望成本：3×4.5 + 2×3.75 + 3.25 = 13.5 + 7.5 + 3.25 = 24.25 算法优势 分解算法将大规模随机规划分解为多个易解的子问题，显著降低计算复杂度，特别适合场景数众多的随机规划问题。