合并相邻字符的最小操作次数问题（合并成目标串，带相邻相同合并与代价，求最小总代价）
字数 5818 2025-12-23 21:25:37

合并相邻字符的最小操作次数问题（合并成目标串，带相邻相同合并与代价，求最小总代价）

题目描述
给定一个初始字符串 init，长度为 n，以及一个目标字符串 target，长度为 m。每次操作允许你执行以下两种操作之一：

  1. 合并相邻相同字符：如果 init 中有两个相邻字符相同（设为字符 c），你可以将它们合并成一个新的字符 c，合并的代价为 mergeCost[c]（已知每个字符的合并代价）。
  2. 替换一个字符：你可以将 init 中的某个字符替换为任意其他字符，替换的代价为 replaceCost[原字符][新字符]（已知一个替换代价矩阵）。

你的目标是通过一系列操作，将 init 最终变成 target，且要求操作结束时字符串长度恰好等于 target 的长度，并保持字符顺序与 target 一致（即经过操作后，init 中的字符从左到右依次对应 target 的字符序列，但初始时它们可能分散、重复或需要合并）。问：完成这个转换所需的最小总代价是多少？
注意：每次合并操作会将两个相邻字符合并为一个，从而减少字符串长度；替换操作不改变长度。最终字符串必须严格等于 target。

解题过程

1. 问题理解与抽象

  • 初始字符串 init 长度可能大于、小于或等于目标长度 m，但最终长度必须等于 m。
  • 合并操作只能合并相邻相同字符，且每次合并有特定代价（取决于字符）。
  • 替换操作可以改变字符，但需付出对应代价。
  • 因为字符顺序必须匹配 target，我们可以将问题看作是将 init 的字符“分配”给 target 的每个位置，每个 target 位置对应一个或多个连续的 init 字符，并且这些字符最终必须合并成一个字符（如果对应多个字符）或替换成目标字符（如果对应单个字符）。
  • 这是一个典型的区间动态规划问题，因为对 init 的一个子区间，我们需要将其转换为 target 的某个子区间。

2. 定义状态
设 dp[i][j][len] 表示：将 init 的子串 init[i..i+len-1]（从索引 i 开始、长度为 len 的子串）转换为 target 的子串 target[j]（仅单个字符！）的最小代价。
注意：这里第三个维度 len 表示我们使用 init 中连续 len 个字符来生成 target 的一个字符。
但这样定义状态维度是 n * m * n，太大。我们优化：
更高效的方法是定义 dp[l][r][c]：将 init 的子串 init[l..r] 合并成单个字符 c 的最小代价（不要求与 target 匹配，只关注合并和替换的代价）。
然后，在此基础上，定义另一个 DP 表 f[j][k] 表示：将 init 的前 j 个字符转换为 target 的前 k 个字符的最小代价。
但更直接的方法是定义二维 DP：
dp[i][j] 表示：将 init 的前 i 个字符转换为 target 的前 j 个字符的最小代价。
但这样无法处理“多个初始字符合并成一个目标字符”的情况，所以我们需要中间状态来刻画合并过程。

3. 状态设计（关键）
我们分两步解决：
第一步：计算任意子区间合并成单个字符的最小代价。
定义 cost[l][r][c] 表示将子串 init[l..r] 通过合并和替换操作，最终变成单个字符 c 的最小代价。

  • 如果 l == r，则 cost[l][r][c] = replaceCost[init[l]][c]（只需替换）。
  • 如果 l < r，则我们需要将这个区间合并成一个字符。有两种方式：
    a) 先将 init[l..r-1] 合并成字符 c，然后与 init[r] 合并（需它们相同），但这样不灵活。
    更通用方法：枚举分割点 mid，将区间分成两部分分别合并，然后再合并结果。但合并要求两个字符相同。
    实际做法：区间 DP 思路，令 c1 为左部分合并成的字符，c2 为右部分合并成的字符，只有当 c1 == c2 时才能合并，代价为 mergeCost[c1]。
    但这样复杂度太高（字符集大小 S 可能 26）。

优化：观察到最终字符 c 要么来自替换最后一步，要么来自合并。
我们可以用区间 DP 计算 mergeCost 的影响：定义 g[l][r] 表示将 init[l..r] 合并成一个字符的最小代价（不指定最终字符），同时记录最终字符。
但为了后续匹配 target，我们需要知道最终字符是什么。

简化：直接使用区间 DP 计算 cost[l][r][c]：

  • 从 l 到 r 枚举分割点 k，将区间分成 [l, k] 和 [k+1, r]。
  • 对左部分，枚举其最终字符 c1，代价为 cost[l][k][c1]。
  • 对右部分，枚举其最终字符 c2，代价为 cost[k+1][r][c2]。
  • 如果 c1 == c2，则可以将它们合并成 c 的代价为：min(cost[l][k][c1] + cost[k+1][r][c1] + mergeCost[c1])，然后如果要变成不同字符 c，可以再替换，代价 replaceCost[c1][c]。
  • 但注意：合并后字符是 c1，若要得到 c，需替换，总代价 = 合并成 c1 的代价 + 替换 c1 为 c 的代价。

但这样仍涉及字符集枚举。
实际上，我们可以先计算将区间合并成任意字符的最小代价，然后加上替换代价。

4. 第一步 DP 的具体计算
定义 mergeDp[l][r] 为将 init[l..r] 合并成任意一个字符的最小代价，并记录最终字符是什么（如果有多种字符达到最小代价，则保留所有可能）。
但为了简化，我们直接计算 cost[l][r][c] 如下：

  1. 初始化：如果 l == r，则 cost[l][r][c] = replaceCost[init[l]][c]。
  2. 转移：对于 l < r，枚举分割点 k 从 l 到 r-1。
    左区间最终字符设为 a，右区间最终字符设为 b，合并代价为：
    • 如果 a == b，则合并成 a 的代价 = cost[l][k][a] + cost[k+1][r][a] + mergeCost[a]。
    • 如果 a != b，则不能直接合并，需要先将一边替换成另一边，但这样不如先合并成相同字符再替换。
      实际上，最优方案一定是在某个分割点将两边合并成相同字符，然后再替换成 c。
      因此，我们可以先计算将区间合并成某个字符 x 的最小代价，然后替换成 c。
      所以，cost[l][r][c] = min over x of (minCostToMergeToX[l][r][x] + replaceCost[x][c])，其中 minCostToMergeToX[l][r][x] 表示将区间合并成字符 x 的最小代价（允许合并操作）。
      而 minCostToMergeToX 的转移：
    • 如果 l == r，则 minCostToMergeToX[l][r][x] = replaceCost[init[l]][x]。
    • 如果 l < r，则枚举分割点 k，枚举左部分字符 a，右部分字符 b，如果 a == b，则合并成 a 的代价 = minCostToMergeToX[l][k][a] + minCostToMergeToX[k+1][r][a] + mergeCost[a]，然后如果 a != x，还需加上 replaceCost[a][x]。
      但这样复杂度高。

简化：我们直接在一个 DP 表中同时处理合并和替换。
状态定义：f[l][r][c] 表示将 init[l..r] 变成单个字符 c 的最小代价。
转移方程：

  1. 不合并，直接替换（l == r）：f[l][r][c] = replaceCost[init[l]][c]。
  2. 合并：枚举分割点 k，使得左部分 [l, k] 变成字符 c，右部分 [k+1, r] 也变成字符 c，然后合并（如果它们已经是 c，则只需合并代价；否则需要替换成 c 再合并，但注意合并要求两个字符相同，所以必须都是 c 才能合并）。
    所以：f[l][r][c] = min over k ( f[l][k][c] + f[k+1][r][c] + mergeCost[c] )。
    但这样忽略了一种情况：左右部分先合并成不同字符，再替换成 c，但这样不如直接让它们变成 c 再合并。
    所以上面转移正确。

5. 第二步：匹配 target
有了 f[l][r][c]，我们可以定义另一个 DP：dp[i][j] 表示将 init 的前 i 个字符（0-indexed 到 i-1）转换为 target 的前 j 个字符的最小代价。
这里 i 从 0 到 n，j 从 0 到 m。
转移：
dp[i][j] = min over k < i, and over t ( dp[k][j-1] + f[k][i-1][target[j-1]] )，其中 k 表示前 j-1 个目标字符使用了 init 的前 k 个字符，剩下的 init[k..i-1] 这一段合并成单个字符 target[j-1]。
即，最后一个目标字符由一段连续的初始字符合并而成。
初始化：dp[0][0] = 0，其他为无穷大。
最终答案：dp[n][m]。

6. 复杂度优化

  • 计算 f[l][r][c]：区间长度从 1 到 n，字符集大小 S，分割点 k，复杂度 O(n^3 * S)。
  • 计算 dp[i][j]：状态 O(nm)，转移需要枚举 k 和 t，但 t 固定为 target[j-1]，所以只需枚举 k，复杂度 O(n^2 m)。
    可接受范围：n, m 约 200，S 约 26。

7. 边界条件

  • 如果 init 的长度小于 target 的长度，则不可能（因为合并只能减少长度，不能增加，除非替换能增加长度？但替换不改变长度，所以初始长度必须大于等于目标长度）。
  • 如果长度相等，则只能通过替换完成，无需合并。
  • 如果初始长度大于目标长度，则需要合并若干次。

8. 最终算法步骤

  1. 初始化 f[l][r][c] 为无穷大。
  2. 对于长度 1 的区间，设置 f[l][l][c] = replaceCost[init[l]][c]。
  3. 对于长度从 2 到 n 的区间，枚举分割点 k，枚举字符 c，计算：
    f[l][r][c] = min( f[l][r][c], f[l][k][c] + f[k+1][r][c] + mergeCost[c] )。
  4. 初始化 dp[0][0] = 0，其他为无穷大。
  5. 遍历 i 从 0 到 n，j 从 1 到 m，如果 j > i 则跳过（因为需要至少一个字符对应一个目标字符，但这里允许多个 init 字符合并成一个 target 字符，所以 i 必须 >= j）。
    枚举 k 从 j-1 到 i-1（因为前 j-1 个目标字符至少用 j-1 个 init 字符，最后一个目标字符至少用 1 个 init 字符）：
    dp[i][j] = min( dp[i][j], dp[k][j-1] + f[k][i-1][target[j-1]] )。
  6. 最终答案：dp[n][m] 如果有限，否则 -1（表示不可能）。

9. 例子验证
假设初始串 init = "aab"，目标串 target = "ab"，字符集 {a,b}。
合并代价：mergeCost[a]=1, mergeCost[b]=1。替换代价矩阵：replaceCost[a][b]=2，其他为 0（相同字符替换代价 0）。
计算 f[0][2][a]：区间 "aa" 合并成 a，代价为 f[0][0][a]+f[1][1][a]+mergeCost[a] = 0+0+1=1。
f[0][2][b]：先合并成 a 代价 1，再替换成 b 代价 2，总 3。
dp[3][2]：枚举 k=1，dp[1][1] + f[1][2][b]。
dp[1][1] = f[0][0][a] = 0。
f[1][2][b]：区间 "ab" 无法直接合并成 b，需分别替换：replaceCost[a][b]=2，replaceCost[b][b]=0，总 2，然后合并？但 a 和 b 不同，不能合并。所以需先替换成相同字符，比如都替换成 b，代价 2+0=2，然后合并 b 代价 1，总 3。
所以 dp[3][2] = 0+3=3。
另一选择 k=2：dp[2][1] + f[2][2][b]。
dp[2][1] = f[0][1][a]，区间 "aa" 合并成 a 代价 1。
f[2][2][b] = replaceCost[b][b]=0，总 1。
所以最小代价为 1。
实际方案：将前两个 "aa" 合并成 a（代价 1），得到 "ab"，与目标一致，总代价 1。

10. 总结
这个问题的核心是将初始串的若干连续段分别合并成目标串的每个字符，通过区间 DP 预处理每个子段合并成单个字符的代价，再用线性 DP 进行匹配。合并操作要求相邻相同字符才能合并，这通过区间 DP 中枚举分割点并强制最终字符相同来保证。

合并相邻字符的最小操作次数问题（合并成目标串，带相邻相同合并与代价，求最小总代价） 题目描述 给定一个初始字符串 init ，长度为 n ，以及一个目标字符串 target ，长度为 m 。每次操作允许你执行以下两种操作之一： 合并相邻相同字符 ：如果 init 中有两个相邻字符相同（设为字符 c ），你可以将它们合并成一个新的字符 c ，合并的代价为 mergeCost[c] （已知每个字符的合并代价）。 替换一个字符 ：你可以将 init 中的某个字符替换为任意其他字符，替换的代价为 replaceCost[原字符][新字符] （已知一个替换代价矩阵）。 你的目标是通过一系列操作，将 init 最终变成 target ，且要求 操作结束时字符串长度恰好等于 target 的长度 ，并 保持字符顺序与 target 一致 （即经过操作后， init 中的字符从左到右依次对应 target 的字符序列，但初始时它们可能分散、重复或需要合并）。问：完成这个转换所需的最小总代价是多少？ 注意：每次合并操作会将两个相邻字符合并为一个，从而减少字符串长度；替换操作不改变长度。最终字符串必须严格等于 target 。 解题过程 1. 问题理解与抽象 初始字符串 init 长度可能大于、小于或等于目标长度 m ，但最终长度必须等于 m 。 合并操作只能合并相邻相同字符，且每次合并有特定代价（取决于字符）。 替换操作可以改变字符，但需付出对应代价。 因为字符顺序必须匹配 target ，我们可以将问题看作是将 init 的字符“分配”给 target 的每个位置，每个 target 位置对应一个或多个连续的 init 字符，并且这些字符最终必须合并成一个字符（如果对应多个字符）或替换成目标字符（如果对应单个字符）。 这是一个典型的区间动态规划问题，因为对 init 的一个子区间，我们需要将其转换为 target 的某个子区间。 2. 定义状态 设 dp[i][j][len] 表示：将 init 的子串 init[i..i+len-1] （从索引 i 开始、长度为 len 的子串）转换为 target 的子串 target[j] （仅单个字符！）的最小代价。 注意：这里第三个维度 len 表示我们使用 init 中连续 len 个字符来生成 target 的一个字符。 但这样定义状态维度是 n * m * n ，太大。我们优化： 更高效的方法是定义 dp[l][r][c] ：将 init 的子串 init[l..r] 合并成单个字符 c 的最小代价（不要求与 target 匹配，只关注合并和替换的代价）。 然后，在此基础上，定义另一个 DP 表 f[j][k] 表示：将 init 的前 j 个字符转换为 target 的前 k 个字符的最小代价。 但更直接的方法是定义二维 DP： dp[i][j] 表示：将 init 的前 i 个字符转换为 target 的前 j 个字符的最小代价。 但这样无法处理“多个初始字符合并成一个目标字符”的情况，所以我们需要中间状态来刻画合并过程。 3. 状态设计（关键） 我们分两步解决： 第一步 ：计算任意子区间合并成单个字符的最小代价。 定义 cost[l][r][c] 表示将子串 init[l..r] 通过合并和替换操作，最终变成单个字符 c 的最小代价。 如果 l == r ，则 cost[l][r][c] = replaceCost[init[l]][c] （只需替换）。 如果 l < r ，则我们需要将这个区间合并成一个字符。有两种方式： a) 先将 init[l..r-1] 合并成字符 c ，然后与 init[r] 合并（需它们相同），但这样不灵活。 更通用方法：枚举分割点 mid ，将区间分成两部分分别合并，然后再合并结果。但合并要求两个字符相同。 实际做法：区间 DP 思路，令 c1 为左部分合并成的字符， c2 为右部分合并成的字符，只有当 c1 == c2 时才能合并，代价为 mergeCost[c1] 。 但这样复杂度太高（字符集大小 S 可能 26）。 优化：观察到最终字符 c 要么来自替换最后一步，要么来自合并。 我们可以用区间 DP 计算 mergeCost 的影响：定义 g[l][r] 表示将 init[l..r] 合并成一个字符的最小代价（不指定最终字符），同时记录最终字符。 但为了后续匹配 target ，我们需要知道最终字符是什么。 简化：直接使用区间 DP 计算 cost[l][r][c] ： 从 l 到 r 枚举分割点 k ，将区间分成 [l, k] 和 [k+1, r] 。 对左部分，枚举其最终字符 c1 ，代价为 cost[l][k][c1] 。 对右部分，枚举其最终字符 c2 ，代价为 cost[k+1][r][c2] 。 如果 c1 == c2 ，则可以将它们合并成 c 的代价为： min(cost[l][k][c1] + cost[k+1][r][c1] + mergeCost[c1]) ，然后如果要变成不同字符 c ，可以再替换，代价 replaceCost[c1][c] 。 但注意：合并后字符是 c1 ，若要得到 c ，需替换，总代价 = 合并成 c1 的代价 + 替换 c1 为 c 的代价。 但这样仍涉及字符集枚举。 实际上，我们可以先计算将区间合并成任意字符的最小代价，然后加上替换代价。 4. 第一步 DP 的具体计算 定义 mergeDp[l][r] 为将 init[l..r] 合并成 任意一个字符 的最小代价，并记录最终字符是什么（如果有多种字符达到最小代价，则保留所有可能）。 但为了简化，我们直接计算 cost[l][r][c] 如下： 初始化：如果 l == r ，则 cost[l][r][c] = replaceCost[init[l]][c] 。 转移：对于 l < r ，枚举分割点 k 从 l 到 r-1 。 左区间最终字符设为 a ，右区间最终字符设为 b ，合并代价为： 如果 a == b ，则合并成 a 的代价 = cost[l][k][a] + cost[k+1][r][a] + mergeCost[a] 。 如果 a != b ，则不能直接合并，需要先将一边替换成另一边，但这样不如先合并成相同字符再替换。 实际上，最优方案一定是在某个分割点将两边合并成相同字符，然后再替换成 c 。 因此，我们可以先计算将区间合并成某个字符 x 的最小代价，然后替换成 c 。 所以， cost[l][r][c] = min over x of (minCostToMergeToX[l][r][x] + replaceCost[x][c]) ，其中 minCostToMergeToX[l][r][x] 表示将区间合并成字符 x 的最小代价（允许合并操作）。 而 minCostToMergeToX 的转移： 如果 l == r ，则 minCostToMergeToX[l][r][x] = replaceCost[init[l]][x] 。 如果 l < r ，则枚举分割点 k ，枚举左部分字符 a ，右部分字符 b ，如果 a == b ，则合并成 a 的代价 = minCostToMergeToX[l][k][a] + minCostToMergeToX[k+1][r][a] + mergeCost[a] ，然后如果 a != x ，还需加上 replaceCost[a][x] 。 但这样复杂度高。 简化：我们直接在一个 DP 表中同时处理合并和替换。 状态定义： f[l][r][c] 表示将 init[l..r] 变成单个字符 c 的最小代价。 转移方程： 不合并，直接替换（ l == r ）： f[l][r][c] = replaceCost[init[l]][c] 。 合并：枚举分割点 k ，使得左部分 [l, k] 变成字符 c ，右部分 [k+1, r] 也变成字符 c ，然后合并（如果它们已经是 c ，则只需合并代价；否则需要替换成 c 再合并，但注意合并要求两个字符相同，所以必须都是 c 才能合并）。 所以： f[l][r][c] = min over k ( f[l][k][c] + f[k+1][r][c] + mergeCost[c] ) 。 但这样忽略了一种情况：左右部分先合并成不同字符，再替换成 c ，但这样不如直接让它们变成 c 再合并。 所以上面转移正确。 5. 第二步：匹配 target 有了 f[l][r][c] ，我们可以定义另一个 DP： dp[i][j] 表示将 init 的前 i 个字符（0-indexed 到 i-1）转换为 target 的前 j 个字符的最小代价。 这里 i 从 0 到 n ， j 从 0 到 m 。 转移： dp[i][j] = min over k < i, and over t ( dp[k][j-1] + f[k][i-1][target[j-1]] ) ，其中 k 表示前 j-1 个目标字符使用了 init 的前 k 个字符，剩下的 init[k..i-1] 这一段合并成单个字符 target[j-1] 。 即，最后一个目标字符由一段连续的初始字符合并而成。 初始化： dp[0][0] = 0 ，其他为无穷大。 最终答案： dp[n][m] 。 6. 复杂度优化 计算 f[l][r][c] ：区间长度从 1 到 n，字符集大小 S，分割点 k，复杂度 O(n^3 * S)。 计算 dp[i][j] ：状态 O(n m)，转移需要枚举 k 和 t，但 t 固定为 target[j-1] ，所以只需枚举 k，复杂度 O(n^2 m)。 可接受范围：n, m 约 200，S 约 26。 7. 边界条件 如果 init 的长度小于 target 的长度，则不可能（因为合并只能减少长度，不能增加，除非替换能增加长度？但替换不改变长度，所以初始长度必须大于等于目标长度）。 如果长度相等，则只能通过替换完成，无需合并。 如果初始长度大于目标长度，则需要合并若干次。 8. 最终算法步骤 初始化 f[l][r][c] 为无穷大。 对于长度 1 的区间，设置 f[l][l][c] = replaceCost[init[l]][c] 。 对于长度从 2 到 n 的区间，枚举分割点 k，枚举字符 c，计算： f[l][r][c] = min( f[l][r][c], f[l][k][c] + f[k+1][r][c] + mergeCost[c] ) 。 初始化 dp[0][0] = 0 ，其他为无穷大。 遍历 i 从 0 到 n，j 从 1 到 m，如果 j > i 则跳过（因为需要至少一个字符对应一个目标字符，但这里允许多个 init 字符合并成一个 target 字符，所以 i 必须 >= j）。 枚举 k 从 j-1 到 i-1（因为前 j-1 个目标字符至少用 j-1 个 init 字符，最后一个目标字符至少用 1 个 init 字符）： dp[i][j] = min( dp[i][j], dp[k][j-1] + f[k][i-1][target[j-1]] ) 。 最终答案： dp[n][m] 如果有限，否则 -1（表示不可能）。 9. 例子验证 假设初始串 init = "aab" ，目标串 target = "ab" ，字符集 {a,b}。 合并代价： mergeCost[a]=1 , mergeCost[b]=1 。替换代价矩阵： replaceCost[a][b]=2 ，其他为 0（相同字符替换代价 0）。 计算 f[0][2][a] ：区间 "aa" 合并成 a ，代价为 f[0][0][a]+f[1][1][a]+mergeCost[a] = 0+0+1=1 。 f[0][2][b] ：先合并成 a 代价 1，再替换成 b 代价 2，总 3。 dp[3][2] ：枚举 k=1， dp[1][1] + f[1][2][b] 。 dp[1][1] = f[0][0][a] = 0 。 f[1][2][b] ：区间 "ab" 无法直接合并成 b，需分别替换： replaceCost[a][b]=2 ， replaceCost[b][b]=0 ，总 2，然后合并？但 a 和 b 不同，不能合并。所以需先替换成相同字符，比如都替换成 b，代价 2+0=2，然后合并 b 代价 1，总 3。 所以 dp[3][2] = 0+3=3 。 另一选择 k=2： dp[2][1] + f[2][2][b] 。 dp[2][1] = f[0][1][a] ，区间 "aa" 合并成 a 代价 1。 f[2][2][b] = replaceCost[b][b]=0 ，总 1。 所以最小代价为 1。 实际方案：将前两个 "aa" 合并成 a （代价 1），得到 "ab" ，与目标一致，总代价 1。 10. 总结 这个问题的核心是将初始串的若干连续段分别合并成目标串的每个字符，通过区间 DP 预处理每个子段合并成单个字符的代价，再用线性 DP 进行匹配。合并操作要求相邻相同字符才能合并，这通过区间 DP 中枚举分割点并强制最终字符相同来保证。