非线性规划中的序列凸近似-自适应信赖域-梯度投影混合算法进阶题：处理高维、稀疏、非凸目标与约束的大规模优化问题
字数 3885 2025-12-23 21:19:42

非线性规划中的序列凸近似-自适应信赖域-梯度投影混合算法进阶题：处理高维、稀疏、非凸目标与约束的大规模优化问题

题目描述

考虑以下大规模、高维、稀疏、非凸约束优化问题：

\[\min_{x \in \mathbb{R}^n} f(x) \]

\[\text{s.t. } g_i(x) \leq 0, \quad i = 1, \dots, m \]

\[h_j(x) = 0, \quad j = 1, \dots, p \]

\[x_{\min} \leq x \leq x_{\max} \]

其中：

  • 目标函数 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是非凸、非光滑（但可能是可分或部分可分的），且 \(n\) 很大（例如 \(n \geq 10^5\)）。
  • 约束函数 \(g_i\) 和 \(h_j\) 是非线性、非凸的，但通常稀疏（即每个约束只涉及少数变量）。
  • 问题可能具有大量约束（\(m, p\) 也可能很大），但大多数约束是稀疏的。
  • 边界约束 \(x_{\min}, x_{\max}\) 是简单的上下界。

目标是在计算资源有限（例如内存和时间受限）的情况下，高效地找到一个可行的、近似局部最优解。

算法核心思路：
结合序列凸近似（SCA）将原问题转化为一系列凸子问题，自适应信赖域（Adaptive Trust Region, ATR）控制近似精度和步长，梯度投影法（Gradient Projection, GP）高效处理简单边界约束，形成混合策略以平衡计算效率和收敛可靠性。

解题过程循序渐进讲解

步骤1：问题重构与凸近似

由于原问题非凸且高维，直接求解困难。序列凸近似（SCA）的核心思想是：在当前迭代点 \(x^k\) 处，用凸函数近似 \(f, g_i, h_j\)，得到一个凸子问题，求解该子问题得到下一步迭代点。

  • 凸近似模型：对目标函数和约束在 \(x^k\) 处进行一阶展开，并添加一个二次正则项以控制近似误差：

\[\tilde{f}(x; x^k) = f(x^k) + \nabla f(x^k)^T (x - x^k) + \frac{1}{2} (x - x^k)^T H_f^k (x - x^k) \]

\[ \tilde{g}_i(x; x^k) = g_i(x^k) + \nabla g_i(x^k)^T (x - x^k) + \frac{1}{2} (x - x^k)^T H_{g_i}^k (x - x^k) \quad (\text{类似可定义 } \tilde{h}_j) \]

其中 \(H_f^k, H_{g_i}^k\) 是对称正定矩阵，用于保持凸性（例如，若原函数非凸，可对Hessian进行凸化处理，如取绝对值或添加对角占优项）。

  • 稀疏性利用：由于问题稀疏，梯度 \(\nabla f, \nabla g_i\) 和近似Hessian \(H_f^k\) 可存储为稀疏矩阵，大幅降低内存和计算成本。

子问题形式：

\[\min_x \tilde{f}(x; x^k) \]

\[ \text{s.t. } \tilde{g}_i(x; x^k) \leq 0, \quad \tilde{h}_j(x; x^k) = 0, \quad x_{\min} \leq x \leq x_{\max} \]

这是一个凸约束二次规划（或凸二次约束二次规划），理论上可用内点法等求解，但高维下可能仍昂贵。

步骤2：自适应信赖域（ATR）框架

为了控制凸近似的精度，引入信赖域约束：

\[\|x - x^k\| \leq \Delta^k \]

其中 \(\Delta^k > 0\) 是信赖域半径，在每步迭代中自适应调整。

  • 实际下降 vs. 预测下降：定义实际下降 \(Ared^k = f(x^k) - f(x^{k+1})\) 和预测下降 \(Pred^k = \tilde{f}(x^k; x^k) - \tilde{f}(x^{k+1}; x^k)\)。
  • 比值：\(\rho^k = \frac{Ared^k}{Pred^k}\) 衡量近似的准确性。
  • 自适应调整规则：
    • 若 \(\rho^k \geq \eta_1\)（例如 \(\eta_1 = 0.8\)），近似很好，接受步长，扩大信赖域：\(\Delta^{k+1} = \min(\gamma_1 \Delta^k, \Delta_{\max})\)。
    • 若 \(\eta_0 \leq \rho^k < \eta_1\)（例如 \(\eta_0 = 0.1\)），近似一般，接受步长，保持信赖域：\(\Delta^{k+1} = \Delta^k\)。
    • 若 \(\rho^k < \eta_0\)，近似差，拒绝步长，缩小信赖域：\(\Delta^{k+1} = \gamma_0 \Delta^k\)，并重新求解子问题。
      典型参数：\(\gamma_0=0.5, \gamma_1=2, \Delta_{\max}=10\)。

信赖域约束可转化为 \(\|x - x^k\|^2 \leq (\Delta^k)^2\)，加入子问题，确保迭代在局部近似可信区域内。

步骤3：梯度投影法（GP）处理边界约束

子问题带有简单边界约束 \(x_{\min} \leq x \leq x_{\max}\)，可用梯度投影法高效处理。基本思想是在每次迭代中，先沿负梯度方向（或牛顿方向）移动，然后投影到可行域：

  • 投影算子：\(\mathcal{P}_{[x_{\min}, x_{\max}]}(y) = \max(x_{\min}, \min(x_{\max}, y))\) 分量进行。
  • 在子问题求解中的应用：可对子问题的目标函数使用投影梯度法。例如，对子问题构建拉格朗日函数，然后对 \(x\) 进行梯度步更新：

\[x^{(l+1)} = \mathcal{P} \left( x^{(l)} - \alpha^{(l)} \nabla_x L(x^{(l)}, \lambda^{(l)}, \mu^{(l)}) \right) \]

其中 \(L\) 是子问题的拉格朗日函数，\(\alpha^{(l)}\) 是步长（可通过线搜索确定），\(\lambda, \mu\) 是约束的乘子。

  • 稀疏性利用：投影是分量操作，计算成本 \(O(n)\)，且可并行化。

步骤4：混合算法流程

将SCA、ATR、GP结合，形成以下迭代框架：

  1. 初始化：给定初始点 \(x^0\)，初始信赖域半径 \(\Delta^0 > 0\)，容许误差 \(\epsilon > 0\)，迭代计数 \(k=0\)。
  2. 构造凸子问题：在当前点 \(x^k\)，构建凸近似 \(\tilde{f}, \tilde{g}_i, \tilde{h}_j\) 并加入信赖域约束 \(\|x - x^k\|^2 \leq (\Delta^k)^2\)。
  3. 求解子问题：使用梯度投影法（结合内点法或有效集法处理不等式等式约束）求解该凸子问题，得试探点 \(\tilde{x}^{k+1}\)。
  4. 计算比值：计算 \(\rho^k = \frac{f(x^k) - f(\tilde{x}^{k+1})}{\tilde{f}(x^k; x^k) - \tilde{f}(\tilde{x}^{k+1}; x^k)}\)。
  5. 接受/拒绝步长：
    • 若 \(\rho^k \geq \eta_0\)，接受：\(x^{k+1} = \tilde{x}^{k+1}\)。
    • 否则拒绝：\(x^{k+1} = x^k\)。
  6. 更新信赖域半径：按前述规则更新 \(\Delta^{k+1}\)。
  7. 收敛检查：若 \(\|x^{k+1} - x^k\| < \epsilon\) 且约束违反度足够小，停止；否则 \(k := k+1\)，返回步骤2。

步骤5：算法特性与注意事项

  • 全局收敛：在适当条件下（如目标函数下有界，约束满足某种约束品性），该混合算法可收敛到稳定点（KKT点）。
  • 适应性：信赖域半径自适应调整避免了线性搜索，提高了鲁棒性。
  • 计算效率：利用稀疏结构，Hessian近似可选用对角或分块对角形式，梯度投影法仅需简单运算，适合大规模问题。
  • 挑战：非凸约束可能导致凸近似后子问题不可行，此时需引入松弛变量或调整信赖域。

示例简化说明

假设一个简化问题：\(\min f(x) = \sum_{i=1}^n \log(1 + x_i^2)\)，约束为 \(\sum a_i x_i \leq b\) 和边界 \(0 \leq x_i \leq 10\)，其中 \(n=1000\)，\(a_i\) 稀疏。

  • 在 \(x^k\) 处，凸近似目标为 \(\tilde{f}(x) = f(x^k) + \nabla f(x^k)^T (x - x^k) + \frac{1}{2} \tau \|x - x^k\|^2\)，其中 \(\tau > 0\) 保证凸性。
  • 子问题为凸二次规划，可用梯度投影法快速求解。
  • 根据实际/预测下降比值调整信赖域，直到满足收敛条件。

该混合算法在工程优化、机器学习参数调优等大规模稀疏非凸问题中具有实用价值。

非线性规划中的序列凸近似-自适应信赖域-梯度投影混合算法进阶题：处理高维、稀疏、非凸目标与约束的大规模优化问题 题目描述 考虑以下大规模、高维、稀疏、非凸约束优化问题： \[\min_ {x \in \mathbb{R}^n} f(x)\] \[\text{s.t. } g_ i(x) \leq 0, \quad i = 1, \dots, m\] \[h_ j(x) = 0, \quad j = 1, \dots, p\] \[x_ {\min} \leq x \leq x_ {\max}\] 其中： 目标函数 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是非凸、非光滑（但可能是可分或部分可分的），且 \(n\) 很大（例如 \(n \geq 10^5\)）。 约束函数 \(g_ i\) 和 \(h_ j\) 是非线性、非凸的，但通常稀疏（即每个约束只涉及少数变量）。 问题可能具有大量约束（\(m, p\) 也可能很大），但大多数约束是稀疏的。 边界约束 \(x_ {\min}, x_ {\max}\) 是简单的上下界。 目标是在计算资源有限（例如内存和时间受限）的情况下，高效地找到一个可行的、近似局部最优解。 算法核心思路 ： 结合序列凸近似（SCA）将原问题转化为一系列凸子问题，自适应信赖域（Adaptive Trust Region, ATR）控制近似精度和步长，梯度投影法（Gradient Projection, GP）高效处理简单边界约束，形成混合策略以平衡计算效率和收敛可靠性。 解题过程循序渐进讲解 步骤1：问题重构与凸近似 由于原问题非凸且高维，直接求解困难。序列凸近似（SCA）的核心思想是：在当前迭代点 \(x^k\) 处，用凸函数近似 \(f, g_ i, h_ j\)，得到一个凸子问题，求解该子问题得到下一步迭代点。 凸近似模型 ：对目标函数和约束在 \(x^k\) 处进行一阶展开，并添加一个二次正则项以控制近似误差： \[ \tilde{f}(x; x^k) = f(x^k) + \nabla f(x^k)^T (x - x^k) + \frac{1}{2} (x - x^k)^T H_ f^k (x - x^k) \] \[ \tilde{g} i(x; x^k) = g_ i(x^k) + \nabla g_ i(x^k)^T (x - x^k) + \frac{1}{2} (x - x^k)^T H {g_ i}^k (x - x^k) \quad (\text{类似可定义 } \tilde{h} j) \] 其中 \(H_ f^k, H {g_ i}^k\) 是对称正定矩阵，用于保持凸性（例如，若原函数非凸，可对Hessian进行凸化处理，如取绝对值或添加对角占优项）。 稀疏性利用 ：由于问题稀疏，梯度 \(\nabla f, \nabla g_ i\) 和近似Hessian \(H_ f^k\) 可存储为稀疏矩阵，大幅降低内存和计算成本。 子问题形式 ： \[ \min_ x \tilde{f}(x; x^k) \] \[ \text{s.t. } \tilde{g} i(x; x^k) \leq 0, \quad \tilde{h} j(x; x^k) = 0, \quad x {\min} \leq x \leq x {\max} \] 这是一个凸约束二次规划（或凸二次约束二次规划），理论上可用内点法等求解，但高维下可能仍昂贵。 步骤2：自适应信赖域（ATR）框架 为了控制凸近似的精度，引入信赖域约束： \[ \|x - x^k\| \leq \Delta^k \] 其中 \(\Delta^k > 0\) 是信赖域半径，在每步迭代中自适应调整。 实际下降 vs. 预测下降 ：定义实际下降 \(Ared^k = f(x^k) - f(x^{k+1})\) 和预测下降 \(Pred^k = \tilde{f}(x^k; x^k) - \tilde{f}(x^{k+1}; x^k)\)。 比值 ：\(\rho^k = \frac{Ared^k}{Pred^k}\) 衡量近似的准确性。 自适应调整规则 ： 若 \(\rho^k \geq \eta_ 1\)（例如 \(\eta_ 1 = 0.8\)），近似很好，接受步长，扩大信赖域：\(\Delta^{k+1} = \min(\gamma_ 1 \Delta^k, \Delta_ {\max})\)。 若 \(\eta_ 0 \leq \rho^k < \eta_ 1\)（例如 \(\eta_ 0 = 0.1\)），近似一般，接受步长，保持信赖域：\(\Delta^{k+1} = \Delta^k\)。 若 \(\rho^k < \eta_ 0\)，近似差，拒绝步长，缩小信赖域：\(\Delta^{k+1} = \gamma_ 0 \Delta^k\)，并重新求解子问题。 典型参数：\(\gamma_ 0=0.5, \gamma_ 1=2, \Delta_ {\max}=10\)。 信赖域约束可转化为 \(\|x - x^k\|^2 \leq (\Delta^k)^2\)，加入子问题，确保迭代在局部近似可信区域内。 步骤3：梯度投影法（GP）处理边界约束 子问题带有简单边界约束 \(x_ {\min} \leq x \leq x_ {\max}\)，可用梯度投影法高效处理。基本思想是在每次迭代中，先沿负梯度方向（或牛顿方向）移动，然后投影到可行域： 投影算子 ：\(\mathcal{P} {[ x {\min}, x_ {\max}]}(y) = \max(x_ {\min}, \min(x_ {\max}, y))\) 分量进行。 在子问题求解中的应用 ：可对子问题的目标函数使用投影梯度法。例如，对子问题构建拉格朗日函数，然后对 \(x\) 进行梯度步更新： \[ x^{(l+1)} = \mathcal{P} \left( x^{(l)} - \alpha^{(l)} \nabla_ x L(x^{(l)}, \lambda^{(l)}, \mu^{(l)}) \right) \] 其中 \(L\) 是子问题的拉格朗日函数，\(\alpha^{(l)}\) 是步长（可通过线搜索确定），\(\lambda, \mu\) 是约束的乘子。 稀疏性利用 ：投影是分量操作，计算成本 \(O(n)\)，且可并行化。 步骤4：混合算法流程 将SCA、ATR、GP结合，形成以下迭代框架： 初始化 ：给定初始点 \(x^0\)，初始信赖域半径 \(\Delta^0 > 0\)，容许误差 \(\epsilon > 0\)，迭代计数 \(k=0\)。 构造凸子问题 ：在当前点 \(x^k\)，构建凸近似 \(\tilde{f}, \tilde{g}_ i, \tilde{h}_ j\) 并加入信赖域约束 \(\|x - x^k\|^2 \leq (\Delta^k)^2\)。 求解子问题 ：使用梯度投影法（结合内点法或有效集法处理不等式等式约束）求解该凸子问题，得试探点 \(\tilde{x}^{k+1}\)。 计算比值 ：计算 \(\rho^k = \frac{f(x^k) - f(\tilde{x}^{k+1})}{\tilde{f}(x^k; x^k) - \tilde{f}(\tilde{x}^{k+1}; x^k)}\)。 接受/拒绝步长 ： 若 \(\rho^k \geq \eta_ 0\)，接受：\(x^{k+1} = \tilde{x}^{k+1}\)。 否则拒绝：\(x^{k+1} = x^k\)。 更新信赖域半径 ：按前述规则更新 \(\Delta^{k+1}\)。 收敛检查 ：若 \(\|x^{k+1} - x^k\| < \epsilon\) 且约束违反度足够小，停止；否则 \(k := k+1\)，返回步骤2。 步骤5：算法特性与注意事项 全局收敛 ：在适当条件下（如目标函数下有界，约束满足某种约束品性），该混合算法可收敛到稳定点（KKT点）。 适应性 ：信赖域半径自适应调整避免了线性搜索，提高了鲁棒性。 计算效率 ：利用稀疏结构，Hessian近似可选用对角或分块对角形式，梯度投影法仅需简单运算，适合大规模问题。 挑战 ：非凸约束可能导致凸近似后子问题不可行，此时需引入松弛变量或调整信赖域。 示例简化说明 假设一个简化问题：\(\min f(x) = \sum_ {i=1}^n \log(1 + x_ i^2)\)，约束为 \(\sum a_ i x_ i \leq b\) 和边界 \(0 \leq x_ i \leq 10\)，其中 \(n=1000\)，\(a_ i\) 稀疏。 在 \(x^k\) 处，凸近似目标为 \(\tilde{f}(x) = f(x^k) + \nabla f(x^k)^T (x - x^k) + \frac{1}{2} \tau \|x - x^k\|^2\)，其中 \(\tau > 0\) 保证凸性。 子问题为凸二次规划，可用梯度投影法快速求解。 根据实际/预测下降比值调整信赖域，直到满足收敛条件。 该混合算法在工程优化、机器学习参数调优等大规模稀疏非凸问题中具有实用价值。