非线性规划中的改进差分进化算法（Improved Differential Evolution, IDE）进阶题：带等式约束与不等式约束的工程优化问题
1. 题目描述
考虑一个工程优化问题，其目标是在满足一系列非线性等式与不等式约束的前提下，最小化某个非线性目标函数。例如，优化一个弹簧系统的设计，其设计变量为弹簧的直径 \(d\)、平均线圈直径 \(D\)、有效圈数 \(N\)，目标是最小化弹簧质量（或体积），同时满足以下约束：
- 应力约束：弹簧的剪切应力不得超过材料的许用应力（非线性不等式约束）。
- 挠度约束：弹簧的变形量需在指定范围内（非线性等式或不等式约束）。
- 几何约束：设计变量需满足制造限制（如上下界约束）。
- 频率约束：弹簧的固有频率需避开工作频率范围（非线性不等式约束）。
这类问题通常具有非凸、多模态、强非线性的特点，且约束条件复杂，传统梯度类算法可能陷入局部最优或难以处理不可微约束。改进差分进化算法（IDE）通过引入自适应参数调整、局部搜索策略和约束处理机制，能够有效求解此类问题。
2. 解题思路
IDE 是标准差分进化算法（DE）的增强版本，核心改进包括：
- 自适应参数控制：根据搜索进度动态调整变异因子 \(F\) 和交叉概率 \(CR\)。
- 局部搜索增强：在种群陷入停滞时，采用局部搜索（如拟牛顿步）加速收敛。
- 约束处理：采用罚函数法或可行性优先规则处理等式与不等式约束。
- 种群多样性保持：引入多种群策略或归档机制避免早熟收敛。
3. 解题步骤
步骤1：问题建模
将工程问题转化为标准非线性规划形式：
\[\min f(\mathbf{x}), \quad \mathbf{x} = [d, D, N]^T \]
满足：
\[g_i(\mathbf{x}) \leq 0, \quad i = 1, \dots, m \quad \text{（不等式约束）} \]
\[ h_j(\mathbf{x}) = 0, \quad j = 1, \dots, p \quad \text{（等式约束）} \]
\[ \mathbf{x}_L \leq \mathbf{x} \leq \mathbf{x}_U \quad \text{（边界约束）} \]
其中 \(f\) 为弹簧质量函数，\(g_i\) 包括应力、频率约束，\(h_j\) 为挠度等式约束。
步骤2：改进差分进化算法框架
IDE 迭代过程如下：
- 初始化：在搜索空间内随机生成初始种群 \(P = \{\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \dots, \mathbf{x}_{NP}\}\)。
- 变异：对每个个体 \(\mathbf{x}_i\)，生成变异向量 \(\mathbf{v}_i\)：
\[ \mathbf{v}_i = \mathbf{x}_{r1} + F \cdot (\mathbf{x}_{r2} - \mathbf{x}_{r3}) \]
其中 \(r1, r2, r3\) 为随机索引，\(F\) 为自适应变异因子，初始值较大（如 0.9），随着迭代逐步减小以平衡全局探索与局部开发。
3. 交叉：通过交叉操作生成试验向量 \(\mathbf{u}_i\)：
\[ u_{i,j} = \begin{cases} v_{i,j} & \text{if } \text{rand} \leq CR \text{ or } j = j_{\text{rand}} \\ x_{i,j} & \text{otherwise} \end{cases} \]
其中 \(CR\) 为自适应交叉概率，初始值较小（如 0.1），逐渐增加以提升收敛速度。
4. 选择：比较试验向量 \(\mathbf{u}_i\) 与目标向量 \(\mathbf{x}_i\) 的适应度（考虑约束违反度），选择更优者进入下一代种群。
5. 局部搜索：若种群最优解连续多代未改进，则在当前最优解附近执行局部搜索（如用拟牛顿法求解一个近似子问题），将结果并入种群。
6. 约束处理：采用可行性优先规则：
- 若两个解均可行，选择目标值更小的解。
- 若一个可行、一个不可行，选择可行解。
- 若均不可行，选择约束违反度更小的解。
- 终止条件：达到最大迭代次数或解的质量满足预设容差。
步骤3：自适应参数调整策略
- \(F\) 和 \(CR\) 根据迭代次数 \(t\) 动态更新：
\[ F(t) = F_{\max} - (F_{\max} - F_{\min}) \times \frac{t}{T_{\max}} \]
\[ CR(t) = CR_{\min} + (CR_{\max} - CR_{\min}) \times \frac{t}{T_{\max}} \]
其中 \(T_{\max}\) 为最大迭代次数，\(F_{\max}=0.9, F_{\min}=0.5, CR_{\min}=0.1, CR_{\max}=0.9\)。
- 进一步可根据种群多样性（如解的标准差）微调参数，避免早熟。
步骤4：局部搜索增强
当种群最优解在 \(K\) 代内无改进时，以当前最优解 \(\mathbf{x}_{\text{best}}\) 为起点，执行有限步的拟牛顿法（如 BFGS）求解局部子问题：
\[\min f(\mathbf{x}) + \mu \sum_{i=1}^m \max(0, g_i(\mathbf{x}))^2 + \mu \sum_{j=1}^p h_j(\mathbf{x})^2 \]
其中 \(\mu\) 为罚因子。将得到的新解与种群最差解比较，替换以提升种群质量。
步骤5：数值示例
假设弹簧优化问题具体形式为：
- 目标函数：\(f = 0.25\pi^2 d^2 D (N+2)\)（质量近似）。
- 应力约束：\(g_1 = \frac{8FD}{\pi d^3} - \tau_{\max} \leq 0\)，其中 \(F\) 为载荷，\(\tau_{\max}\) 为许用应力。
- 挠度约束：\(h_1 = \frac{8FD^3N}{Gd^4} - \delta_0 = 0\)，其中 \(\delta_0\) 为设计挠度，\(G\) 为剪切模量。
- 频率约束：\(g_2 = \omega_0 - \frac{d}{2\pi D^2 N} \sqrt{\frac{G}{2\rho}} \leq 0\)，其中 \(\omega_0\) 为工作频率下限，\(\rho\) 为密度。
- 边界：\(0.05 \leq d \leq 0.2, 0.25 \leq D \leq 1.3, 2 \leq N \leq 15\)。
算法运行过程：
- 初始化 50 个随机解，计算每个解的目标值及约束违反度。
- 进行变异、交叉、选择操作，更新 \(F\) 和 \(CR\)。
- 每 20 代检查收敛停滞情况，若停滞则执行局部搜索。
- 经过 500 代迭代后，算法收敛到一个可行解：\(d \approx 0.12, D \approx 0.8, N \approx 10\)，满足所有约束且质量接近理论最优。
4. 关键改进点总结
- 自适应参数：平衡全局探索与局部开发。
- 局部搜索：增强局部收敛能力，避免陷入低质量局部最优。
- 约束处理：可行性优先规则确保搜索向可行域推进。
- 多样性保持：通过多种群或归档策略避免早熟。
5. 适用场景
IDE 适用于目标或约束不可微、非凸、多模态的工程优化问题，如机械设计、参数辨识、结构优化等，尤其当传统梯度类算法因需要梯度信息或凸性假设而失效时。