基于Krylov子空间的Faber多项式预处理在求解大型稀疏非对称线性方程组中的加速应用 题目描述 我们考虑求解大型稀疏非对称线性方程组 \[ Ax = b \] 其中 \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\) 是一个大型稀疏非对称矩阵，\(b \in \mathbb{R}^n\) 是已知向量。由于矩阵规模大且非对称，直接解法（如LU分解）可能因内存和计算成本过高而不适用，因此常采用基于Krylov子空间的迭代法（如GMRES）。然而，当矩阵 \(A\) 的条件数较差或特征值分布不利时，Krylov子空间方法的收敛速度可能很慢。预处理技术通过将原系统转化为等价但更易求解的系统来加速收敛。本题目探讨利用 Faber多项式 构造预处理子，其核心思想是：将预处理矩阵 \(M^{-1}\) 设计为矩阵 \(A\) 的Faber多项式函数，使得预处理后的矩阵 \(M^{-1}A\) 的特征值聚集在复平面上的一个紧集内，从而大幅提升Krylov子空间方法的收敛效率。 解题过程循序渐进讲解 下面我将逐步拆解这个算法的关键思想、构造步骤和实现细节，确保清晰易懂。 步骤1：理解Krylov子空间方法收敛性与特征值分布的关系 Krylov子空间方法（如GMRES）的收敛速度与矩阵 \(A\) 的特征值分布密切相关。直观来说，如果 \(A\) 的特征值紧密聚集在复平面上远离原点的某点附近，那么迭代法通常收敛很快；反之，如果特征值散布在复平面广大区域，收敛可能很慢。预处理的目标就是找到一个非奇异矩阵 \(M\)，使得预处理后的矩阵 \(M^{-1}A\) 的特征值分布更有利（例如聚集在1附近）。传统预处理子（如不完全LU分解）依赖于矩阵的稀疏近似，但对于高度非对称或强不定矩阵，效果可能有限。Faber多项式预处理则从函数逼近的角度，直接构造一个多项式 \(P_ m(A)\) 来近似 \(A^{-1}\)，使得 \(P_ m(A)A \approx I\)。 步骤2：Faber多项式的基本概念 Faber多项式是一组在复平面某个紧集 \(E\) 上正交的多项式，常用于复逼近论。给定复平面上的一个紧集 \(E\)（通常包含0），存在一列标准化的Faber多项式 \(\{F_ k(z)\} {k=0}^\infty\)，其中 \(F_ k(z)\) 是 \(k\) 次多项式，且在 \(E\) 的补集上具有最小最大模性质。对于矩阵函数，我们可以利用Faber多项式来逼近逆矩阵：如果矩阵 \(A\) 的谱包含在 \(E\) 内，那么 \(A^{-1}\) 可以用Faber多项式的线性组合来逼近。更具体地，存在系数使得 \[ A^{-1} \approx \sum {k=0}^{m} c_ k F_ k(A) \] 当 \(m\) 增加时，逼近误差呈指数衰减（若 \(E\) 为渐近一致收敛域）。预处理子就取为这个多项式矩阵： \[ M^{-1} = P_ m(A) = \sum_ {k=0}^{m} c_ k F_ k(A) \] 这样，预处理后的矩阵为 \(M^{-1}A = P_ m(A)A \approx I\)。 步骤3：确定紧集 \(E\) 和计算Faber多项式系数 这是算法的核心步骤，分为以下子步骤： 估计矩阵 \(A\) 的谱区域 ：由于计算全部特征值代价高，通常采用廉价估计，例如通过计算 \(A\) 的场值（field of values）或通过少量Arnoldi迭代得到Ritz值，近似得到包含谱的紧集 \(E\)。常见选择是将 \(E\) 取为椭圆、多边形或Cassini区域，以包围估计的谱。 生成Faber多项式 ：对于选定的 \(E\)，Faber多项式可以通过递推关系生成。例如，若 \(E\) 是单位圆盘，则Faber多项式就是单项式 \(z^k\)；若 \(E\) 是椭圆，则Faber多项式与Chebyshev多项式相关。一般地，通过共形映射从 \(E\) 的外部到单位圆外部的映射 \(\Phi\)，其 Laurent 展开为 \[ \Phi(w) = w + a_ 0 + a_ 1 w^{-1} + \cdots \] 则Faber多项式 \(F_ k(z)\) 由 \(\Phi^{-1}(z)^k\) 的解析部分给出，并有递推关系（参见复分析中的Faber多项式理论）。 计算系数 \(c_ k\) ：目标是使 \(P_ m(A)A\) 尽量接近单位阵。常用方法是最小化残差范数： \[ \min_ {c_ 0,\dots,c_ m} \| I - \sum_ {k=0}^{m} c_ k F_ k(A)A \| F \] 由于Frobenius范数最小化可转化为线性最小二乘问题。实际操作中，可在低维Krylov子空间中投影求解：先运行 \(m+1\) 步Arnoldi迭代得到 \(AV_ m = V {m+1} \underline{H}_ m\)，其中 \(V_ m\) 是正交基，\(\underline{H} m\) 是上Hessenberg矩阵。然后在该子空间中解 \[ \min {c} \| e_ 1 - \underline{H} m V_ m^T (\sum {k=0}^{m} c_ k F_ k(A) ) b \|_ 2 \] 得到系数 \(c_ k\)。这一步只需在小矩阵 \(\underline{H}_ m\) 上操作，计算量小。 步骤4：构造预处理子并嵌入迭代求解 得到系数 \(c_ k\) 后，预处理子定义为 \[ M^{-1} = P_ m(A) = \sum_ {k=0}^{m} c_ k F_ k(A) \] 在实际迭代中（如预处理GMRES），我们不需要显式形成矩阵 \(M^{-1}\)，只需计算其作用在向量上的结果：对任意向量 \(v\)，计算 \[ y = M^{-1} v = \sum_ {k=0}^{m} c_ k F_ k(A) v \] 这可以通过多项式求值算法高效完成，只需 \(m\) 次矩阵-向量乘法和一些线性组合。由于 \(A\) 稀疏，每次矩阵-向量乘法成本低，因此预处理子的应用成本可控。 步骤5：整体算法流程 综合以上步骤，求解 \(Ax=b\) 的完整流程如下： 估计谱区域 ：运行少量（如20步）Arnoldi迭代，得到Ritz值，并用其拟合一个紧集 \(E\)（例如最小包围椭圆）。 生成Faber多项式基 ：根据 \(E\) 的形状，确定Faber多项式递推关系，预先计算 \(F_ 0(A), F_ 1(A), \dots, F_ m(A)\) 作用于向量的规则（通常通过系数递推）。 计算最优系数 ：在Krylov子空间中求解最小二乘问题，得到系数 \(c_ 0, \dots, c_ m\)。 运行预处理Krylov迭代 ：采用右预处理GMRES(\(m_ {\text{restart}}\))，每次迭代中计算预处理步骤 \(z = M^{-1} v = \sum_ {k=0}^m c_ k (F_ k(A) v)\)，然后进行标准Arnoldi过程。重复直到残差满足容差。 步骤6：数值特性和优势 Faber多项式预处理的优势在于能针对非对称矩阵的复杂谱分布，自适应地构造多项式预处理子，使预处理后矩阵的特征值聚集在单位圆附近，从而显著减少迭代步数。与固定多项式预处理（如Neumann或Chebyshev多项式）相比，Faber多项式能更好适应非正规矩阵和不规则谱集。其主要代价在于初始设置需要估计谱和计算系数，但这部分开销相对于迭代求解本身通常可接受。 总结 本算法将复逼近论的Faber多项式与Krylov子空间方法结合，为大型稀疏非对称线性方程组提供了一种自适应多项式预处理技术。通过估计矩阵谱区域、构造适配的Faber多项式、优化系数，得到一个高效预处理子，大幅加速GMRES等迭代法的收敛。该方法的有效性依赖于谱估计的准确性和多项式次数 \(m\) 的选择，实践中可通过少量试验调整。