基于张量低秩分解（Tensor Low-Rank Decomposition）的图像复原算法
题目描述
这是一个利用张量低秩分解从受损观测中恢复清晰图像的算法。图像复原是计算机视觉中一个重要问题，旨在从退化的图像（如噪声、模糊、遮挡、缺失像素等）中恢复出原始清晰图像。传统方法常将图像表示为矩阵并进行低秩分解，但矩阵表示会破坏图像内在的多维结构（如空间、通道、光谱等维度）。张量（多维数组）能更自然地表示图像的高维数据，张量低秩分解通过捕获图像不同维度间的全局相关性和结构性先验，可更有效地进行复原。典型应用包括图像去噪、去模糊、补全（修复缺失区域）、高光谱图像复原等。
详细解题步骤
步骤1：理解问题与张量表示
- 图像复原问题：给定观测到的退化图像 \(\mathcal{Y}\)，它由原始清晰图像 \(\mathcal{X}\) 经过退化过程（如加性噪声、模糊、下采样、遮挡等）得到，数学模型为：
\[ \mathcal{Y} = \mathcal{H}(\mathcal{X}) + \mathcal{N} \]
其中 \(\mathcal{H}\) 表示退化算子（如模糊卷积、掩码操作等），\(\mathcal{N}\) 表示噪声。目标是从 \(\mathcal{Y}\) 中估计出 \(\mathcal{X}\)。
- 张量表示：一幅彩色图像可视为三阶张量（高度×宽度×通道），视频为四阶张量（高度×宽度×通道×帧），高光谱图像为三阶张量（空间高度×空间宽度×光谱波段）。将图像数据组织为张量 \(\mathcal{X} \in \mathbb{R}^{I_1 \times I_2 \times \dots \times I_N}\)，其中 \(N\) 是阶数（维度数），可保留其多维结构。
步骤2：张量低秩先验的核心思想
- 低秩性：自然图像数据在不同维度间通常存在强相关性，导致其张量表示是近似低秩的，即可以用少量基张量线性组合来近似表示。低秩性可作为强先验约束，帮助从退化观测中恢复原始图像。
- 张量秩的定义：与矩阵秩（非零奇异值个数）不同，张量有多种秩定义。最常用的是基于Tucker分解的Tucker秩和基于张量奇异值分解（t-SVD） 的张量管秩（tubal rank）。
- Tucker秩：对 \(N\) 阶张量 \(\mathcal{X}\)，其Tucker秩是一个 \(N\) 维向量，每个元素是张量沿该维度展开矩阵的秩。低Tucker秩意味着所有模态展开矩阵都是低秩的。
- 管秩：基于t-SVD定义，适用于三阶张量，表示在傅里叶域中每个前向切片矩阵的秩的最大值。管秩低意味着张量在第三维度上具有低秩性。
步骤3：构建张量低秩复原模型
- 将图像复原问题转化为优化问题，目标是最小化数据保真项（观测与估计间的差异）和低秩正则项：
\[ \min_{\mathcal{X}} \frac{1}{2} \| \mathcal{Y} - \mathcal{H}(\mathcal{X}) \|_F^2 + \lambda \cdot \text{Rank}(\mathcal{X}) \]
其中 \(\| \cdot \|_F\) 是Frobenius范数，\(\lambda\) 是正则化参数，\(\text{Rank}(\cdot)\) 是张量秩函数。
- 由于秩函数非凸、离散，直接优化困难。通常采用凸松弛或非凸替代函数：
- Tucker秩松弛：使用张量核范数（Tucker秩的凸包络）。对三阶张量 \(\mathcal{X}\)，其核范数为各模态展开矩阵的核范数加权和：
\[ \| \mathcal{X} \|_* = \sum_{n=1}^{3} \alpha_n \| \mathbf{X}_{(n)} \|_* \]
其中 $ \mathbf{X}_{(n)} $ 是第 $ n $ 模态展开矩阵，$ \| \cdot \|_* $ 是矩阵核范数（奇异值之和），$ \alpha_n $ 是权重。
- 管秩松弛：使用张量核范数（基于t-SVD），定义为所有前向切片在傅里叶域中矩阵的核范数之和。
步骤4：选择优化算法求解
- 常用算法：交替方向乘子法（ADMM）或近端梯度下降（PGD），将问题分解为可处理的子问题。
- 以ADMM为例，引入辅助变量 \(\mathcal{Z}\) 将正则项分离，得到增广拉格朗日函数：
\[ L(\mathcal{X}, \mathcal{Z}, \mathcal{M}) = \frac{1}{2} \| \mathcal{Y} - \mathcal{H}(\mathcal{X}) \|_F^2 + \lambda \| \mathcal{Z} \|_* + \langle \mathcal{M}, \mathcal{X} - \mathcal{Z} \rangle + \frac{\rho}{2} \| \mathcal{X} - \mathcal{Z} \|_F^2 \]
其中 \(\mathcal{M}\) 是拉格朗日乘子，\(\rho > 0\) 是惩罚参数。
- 迭代更新：
- **更新 \(\mathcal{X}\)_：求解关于 \(\mathcal{X}\) 的子问题，通常是一个最小二乘问题。若 \(\mathcal{H}\) 是线性算子（如卷积、掩码），常可通过傅里叶变换快速求解。
- __更新 \(\mathcal{Z}\)_：求解 \(\min_{\mathcal{Z}} \lambda \| \mathcal{Z} \|_* + \frac{\rho}{2} \| \mathcal{Z} - (\mathcal{X} + \mathcal{M}/\rho) \|_F^2\)。这是一个近端算子，对矩阵核范数是奇异值阈值化（SVT），对张量核范数可类似在变换域中施加SVT。
- __更新 \(\mathcal{M}\)_：\(\mathcal{M} \leftarrow \mathcal{M} + \rho (\mathcal{X} - \mathcal{Z})\)。
- 检查收敛条件（如相对变化小于阈值或达到最大迭代次数）。
步骤5：算法实现细节
- 初始化：从观测 \(\mathcal{Y}\) 初始化 \(\mathcal{X}\)，\(\mathcal{Z}\) 和 \(\mathcal{M}\) 设为零张量。
- 参数设置：正则化参数 \(\lambda\) 权衡数据保真与低秩性，通常通过交叉验证选择；ADMM惩罚参数 \(\rho\) 影响收敛速度，可自适应调整。
- 快速计算：利用傅里叶变换加速，尤其当 \(\mathcal{H}\) 是卷积或张量变换可对角化时。
- 停止准则：当相对误差 \(\| \mathcal{X}^{k+1} - \mathcal{X}^{k} \|_F / \| \mathcal{X}^{k} \|_F\) 小于设定容差（如 \(10^{-4}\)）时停止。
步骤6：扩展与改进
- 非凸松弛：使用非凸替代函数（如对数行列式、Schatten-p范数）可得到更紧的秩近似，提高复原精度。
- 结合其他先验：将低秩性与稀疏性（如全变分TV）、非局部自相似性等结合，形成混合模型以处理更复杂退化。
- 深度学习方法：用神经网络学习低秩表示，如将张量分解集成到网络设计中，或使用展开迭代算法构建深度网络（即算法展开），可提高速度和鲁棒性。
总结
本算法通过张量表示保留图像多维结构，利用低秩先验捕捉全局相关性，构建正则化优化模型，并采用ADMM等优化算法求解。相比矩阵低秩方法，它能更好地利用高维信息，在图像去噪、补全、高光谱复原等任务中表现优异。后续发展融合了非凸优化和深度学习，进一步提升了性能。