基于线性规划的“有向无环图（DAG）最小路径覆盖”问题的多项式时间求解算法

字数 2975 2025-12-23 18:27:56

基于线性规划的“有向无环图（DAG）最小路径覆盖”问题的多项式时间求解算法

题目描述
考虑一个有向无环图（Directed Acyclic Graph, DAG）\(G = (V, E)\)，其中 \(|V| = n\)，\(|E| = m\)。一条“路径覆盖”是指一组顶点不相交的有向路径，使得图中每个顶点恰好出现在一条路径中。目标是找到包含路径数量最少的一个路径覆盖，即“最小路径覆盖”。

例如，在任务依赖图中，每个顶点代表一个任务，有向边表示依赖关系，最小路径覆盖对应将任务划分成最少的不冲突的执行序列（每条路径是一个顺序执行的任务链）。本问题要求基于线性规划与图论模型，设计一个多项式时间算法来求解最小路径覆盖。

解题过程

步骤1：问题转化与建模
直接求解最小路径覆盖较为困难，但可通过经典的“拆点法”转化为二分图最大匹配问题：

将每个顶点 \(v \in V\) 拆分为两个顶点：左部顶点 \(v_{\text{out}}\) 表示路径的起点或中间点的“出发”角色，右部顶点 \(v_{\text{in}}\) 表示路径的终点或中间点的“到达”角色。
构建二分图 \(B = (U, W, E')\)：
- \(U = \{ v_{\text{out}} \mid v \in V \}\)，
- \(W = \{ v_{\text{in}} \mid v \in V \}\)，
- 对于原图的有向边 \((u, v) \in E\)，在二分图中添加边 \((u_{\text{out}}, v_{\text{in}})\)。
关键结论：DAG的最小路径覆盖数 = \(n - \text{最大匹配数}\)。
这是因为每个匹配 \((u_{\text{out}}, v_{\text{in}})\) 表示在原图中将 \(u\) 和 \(v\) 连接在一条路径上，每个未匹配的左部顶点对应一条路径的起点，未匹配的右部顶点对应一条路径的终点，且起点与终点数量相等，故路径数 = 起点数 = \(n - \text{匹配数}\)。

步骤2：线性规划模型构建
二分图最大匹配可写为整数线性规划（ILP），其松弛后的线性规划（LP）如下：
变量：对每条边 \((u_{\text{out}}, v_{\text{in}}) \in E'\)，定义 \(x_{uv} \in [0, 1]\) 表示是否选择该匹配边。
目标：最大化匹配边数

\[\max \sum_{(u_{\text{out}}, v_{\text{in}}) \in E'} x_{uv} \]

约束：每个顶点最多与一条匹配边关联（因为路径不相交）

\[\begin{aligned} \sum_{v: (u_{\text{out}}, v_{\text{in}}) \in E'} x_{uv} &\le 1, \quad \forall u \in U \quad \text{(每个左顶点最多匹配一次)} \\ \sum_{u: (u_{\text{out}}, v_{\text{in}}) \in E'} x_{uv} &\le 1, \quad \forall v \in W \quad \text{(每个右顶点最多匹配一次)} \\ x_{uv} &\ge 0, \quad \forall (u_{\text{out}}, v_{\text{in}}) \in E' \end{aligned} \]

注意：此LP的系数矩阵是全幺模矩阵（因为二分图的关联矩阵是全幺模的），因此LP的最优解自动为整数解（0或1），无需整数约束。这使得我们可直接用多项式时间线性规划算法（如内点法）求解，但通常用更高效的特殊算法。

步骤3：多项式时间算法设计
虽然可直接解LP，但利用二分图特性有更优方法：

转换为最大流问题：在二分图 \(B\) 上添加源点 \(s\) 和汇点 \(t\)，从 \(s\) 到每个 \(u \in U\) 连容量1的边，从每个 \(v \in W\) 到 \(t\) 连容量1的边，原边 \((u_{\text{out}}, v_{\text{in}})\) 容量为1。该网络的最大流值即为最大匹配数。
使用Dinic算法求解：因为所有容量为整数且为1，Dinic算法的时间复杂度为 \(O(\sqrt{n} \cdot m)\)（在单位容量网络中），其中 \(n\) 和 \(m\) 是原DAG的顶点数和边数。这是多项式时间。

步骤4：从匹配构造路径覆盖
设求得的最大匹配为 \(M \subseteq E'\)。

初始化：每个顶点 \(v \in V\) 自成一个单点路径。
对每条匹配边 \((u_{\text{out}}, v_{\text{in}}) \in M\)，将 \(u\) 所在的路径与 \(v\) 所在的路径合并（因为 \(u\) 的后继是 \(v\)）。由于DAG无环，合并不会形成环。
合并后得到一组顶点不相交的有向路径，覆盖所有顶点，且路径数 = \(n - |M|\)。

步骤5：算法复杂度与最优性证明

时间复杂度：主要由最大流算法决定，若用Dinic算法，为 \(O(\sqrt{n} \cdot m)\)。
最优性证明：
（1）任何路径覆盖对应一个匹配：对覆盖中每条路径上相邻的顶点对 \((u, v)\)，取匹配边 \((u_{\text{out}}, v_{\text{in}})\)，易见匹配数 = \(n - \text{路径数}\)。
（2）反之，任何匹配对应一个路径覆盖（通过步骤4的构造），路径数 = \(n - \text{匹配数}\)。
（3）因此最大化匹配数等价于最小化路径数。LP的解是全幺模矩阵的顶点解，即为整数最大匹配，故算法得到最优路径覆盖。

步骤6：示例演示
考虑DAG：顶点集 \(V = \{1, 2, 3, 4\}\)，边 \(E = \{(1,2), (1,3), (2,4), (3,4)\}\)。

拆点：左部 \(U = \{1_o, 2_o, 3_o, 4_o\}\)，右部 \(W = \{1_i, 2_i, 3_i, 4_i\}\)。
二分图边：\((1_o,2_i), (1_o,3_i), (2_o,4_i), (3_o,4_i)\)。
最大匹配：例如 \(M = \{(1_o,2_i), (3_o,4_i)\}\)，大小=2。
最小路径覆盖：路径数 = \(4 - 2 = 2\)。构造：从匹配得路径 \(1 \to 2\) 和 \(3 \to 4\)，覆盖所有顶点。

总结
本问题通过拆点转化为二分图最大匹配，利用其全幺模性质可用线性规划求解，并基于最大流算法得到多项式时间最优解。这是图论与线性规划结合解决组合优化问题的经典案例。

基于线性规划的“有向无环图（DAG）最小路径覆盖”问题的多项式时间求解算法题目描述考虑一个有向无环图（Directed Acyclic Graph, DAG）\( G = (V, E) \)，其中 \( |V| = n \)，\( |E| = m \)。一条“路径覆盖”是指一组顶点不相交的有向路径，使得图中每个顶点恰好出现在一条路径中。目标是找到包含路径数量最少的一个路径覆盖，即“最小路径覆盖”。例如，在任务依赖图中，每个顶点代表一个任务，有向边表示依赖关系，最小路径覆盖对应将任务划分成最少的不冲突的执行序列（每条路径是一个顺序执行的任务链）。本问题要求基于线性规划与图论模型，设计一个多项式时间算法来求解最小路径覆盖。解题过程步骤1：问题转化与建模直接求解最小路径覆盖较为困难，但可通过经典的“拆点法”转化为二分图最大匹配问题：将每个顶点 \( v \in V \) 拆分为两个顶点：左部顶点 \( v_ {\text{out}} \) 表示路径的起点或中间点的“出发”角色，右部顶点 \( v_ {\text{in}} \) 表示路径的终点或中间点的“到达”角色。构建二分图 \( B = (U, W, E') \)： \( U = \{ v_ {\text{out}} \mid v \in V \} \)， \( W = \{ v_ {\text{in}} \mid v \in V \} \)，对于原图的有向边 \( (u, v) \in E \)，在二分图中添加边 \( (u_ {\text{out}}, v_ {\text{in}}) \)。关键结论：DAG的最小路径覆盖数 = \( n - \text{最大匹配数} \)。这是因为每个匹配 \( (u_ {\text{out}}, v_ {\text{in}}) \) 表示在原图中将 \( u \) 和 \( v \) 连接在一条路径上，每个未匹配的左部顶点对应一条路径的起点，未匹配的右部顶点对应一条路径的终点，且起点与终点数量相等，故路径数 = 起点数 = \( n - \text{匹配数} \)。步骤2：线性规划模型构建二分图最大匹配可写为整数线性规划（ILP），其松弛后的线性规划（LP）如下：变量：对每条边 \( (u_ {\text{out}}, v_ {\text{in}}) \in E' \)，定义 \( x_ {uv} \in [ 0, 1 ] \) 表示是否选择该匹配边。目标：最大化匹配边数 \[ \max \sum_ {(u_ {\text{out}}, v_ {\text{in}}) \in E'} x_ {uv} \] 约束：每个顶点最多与一条匹配边关联（因为路径不相交） \[ \begin{aligned} \sum_ {v: (u_ {\text{out}}, v_ {\text{in}}) \in E'} x_ {uv} &\le 1, \quad \forall u \in U \quad \text{(每个左顶点最多匹配一次)} \\ \sum_ {u: (u_ {\text{out}}, v_ {\text{in}}) \in E'} x_ {uv} &\le 1, \quad \forall v \in W \quad \text{(每个右顶点最多匹配一次)} \\ x_ {uv} &\ge 0, \quad \forall (u_ {\text{out}}, v_ {\text{in}}) \in E' \end{aligned} \] 注意：此LP的系数矩阵是全幺模矩阵（因为二分图的关联矩阵是全幺模的），因此LP的最优解自动为整数解（0或1），无需整数约束。这使得我们可直接用多项式时间线性规划算法（如内点法）求解，但通常用更高效的特殊算法。步骤3：多项式时间算法设计虽然可直接解LP，但利用二分图特性有更优方法：转换为最大流问题：在二分图 \( B \) 上添加源点 \( s \) 和汇点 \( t \)，从 \( s \) 到每个 \( u \in U \) 连容量1的边，从每个 \( v \in W \) 到 \( t \) 连容量1的边，原边 \( (u_ {\text{out}}, v_ {\text{in}}) \) 容量为1。该网络的最大流值即为最大匹配数。使用Dinic算法求解：因为所有容量为整数且为1，Dinic算法的时间复杂度为 \( O(\sqrt{n} \cdot m) \)（在单位容量网络中），其中 \( n \) 和 \( m \) 是原DAG的顶点数和边数。这是多项式时间。步骤4：从匹配构造路径覆盖设求得的最大匹配为 \( M \subseteq E' \)。初始化：每个顶点 \( v \in V \) 自成一个单点路径。对每条匹配边 \( (u_ {\text{out}}, v_ {\text{in}}) \in M \)，将 \( u \) 所在的路径与 \( v \) 所在的路径合并（因为 \( u \) 的后继是 \( v \)）。由于DAG无环，合并不会形成环。合并后得到一组顶点不相交的有向路径，覆盖所有顶点，且路径数 = \( n - |M| \)。步骤5：算法复杂度与最优性证明时间复杂度：主要由最大流算法决定，若用Dinic算法，为 \( O(\sqrt{n} \cdot m) \)。最优性证明：（1）任何路径覆盖对应一个匹配：对覆盖中每条路径上相邻的顶点对 \( (u, v) \)，取匹配边 \( (u_ {\text{out}}, v_ {\text{in}}) \)，易见匹配数 = \( n - \text{路径数} \)。（2）反之，任何匹配对应一个路径覆盖（通过步骤4的构造），路径数 = \( n - \text{匹配数} \)。（3）因此最大化匹配数等价于最小化路径数。LP的解是全幺模矩阵的顶点解，即为整数最大匹配，故算法得到最优路径覆盖。步骤6：示例演示考虑DAG：顶点集 \( V = \{1, 2, 3, 4\} \)，边 \( E = \{(1,2), (1,3), (2,4), (3,4)\} \)。拆点：左部 \( U = \{1_ o, 2_ o, 3_ o, 4_ o\} \)，右部 \( W = \{1_ i, 2_ i, 3_ i, 4_ i\} \)。二分图边：\( (1_ o,2_ i), (1_ o,3_ i), (2_ o,4_ i), (3_ o,4_ i) \)。最大匹配：例如 \( M = \{(1_ o,2_ i), (3_ o,4_ i)\} \)，大小=2。最小路径覆盖：路径数 = \( 4 - 2 = 2 \)。构造：从匹配得路径 \( 1 \to 2 \) 和 \( 3 \to 4 \)，覆盖所有顶点。总结本问题通过拆点转化为二分图最大匹配，利用其全幺模性质可用线性规划求解，并基于最大流算法得到多项式时间最优解。这是图论与线性规划结合解决组合优化问题的经典案例。