排序算法之：基于“最小比较数排序”（Ford-Johnson Merge Insertion Sort）的算法实现与构造过程详解
字数 2939 2025-12-23 18:22:27

排序算法之：基于“最小比较数排序”（Ford-Johnson Merge Insertion Sort）的算法实现与构造过程详解

这是一个经典的理论性排序算法，其目标是在基于比较的排序中，最小化最坏情况下的比较次数。它比普通插入排序和归并排序在最坏比较次数上更优，尤其在小规模（n ≤ 15）时接近信息论下界。我将逐步讲解其描述、思路和构造过程。

1. 题目描述

我们有一个由 n 个不同元素 组成的数组，目标是将它们按升序排序。我们只关心元素之间的比较（<, >, =），不关心移动或赋值次数。Ford-Johnson 算法（也称 Merge Insertion Sort）旨在为给定的 n，设计一个确定性的比较序列，使得在最坏情况下，完成排序所需的比较次数最少。

输入：一个包含 n 个可比较元素的数组 A[0..n-1]。
输出：A 按升序排列。
核心目标：设计比较步骤，使得最坏情况比较次数 C(n) 尽可能小。

2. 算法核心思想

该算法是插入排序的优化，但它先对元素进行成对比较和排序，然后以特定顺序插入剩余元素，以此减少比较次数。其主要分为两个阶段：

  1. 配对与排序阶段：将元素两两比较，形成“优胜者”和“失败者”链。
  2. 二分插入阶段：将剩余元素按特定顺序插入到已排序序列中，利用二分查找定位，最小化比较。

3. 逐步构造与示例

我们以 n = 6 为例，数组为 [A, B, C, D, E, F]（初始顺序任意，值未知）。

步骤 1：两两配对比较

  • 将元素分成 ⌊n/2⌋ 对，如果 n 是奇数，则留出一个元素暂时不动。
  • 对每一对元素进行比较，将较大者放入一个序列（称为 Main Chain 或胜者链），较小者暂时记录为对应较大者的“伴侣”。
  • 例如，我们比较 (A, B), (C, D), (E, F)。假设结果为：
    • A < B → 胜者：B，伴侣：A
    • C < D → 胜者：D，伴侣：C
    • E < F → 胜者：F，伴侣：E
  • 此时，Main Chain 初始为 [B, D, F]（但顺序尚未确定）。

步骤 2：对 Main Chain 排序

  • 对 Main Chain 中的元素（即步骤1的胜者）进行递归排序（因为这也是一个排序问题，但规模减半）。
  • 对 [B, D, F] 进行排序（使用同样的 Ford-Johnson 方法，或对小规模使用最优比较网络）。
  • 假设排序后 Main Chain 变为 [B, D, F]（已按升序排列），其对应伴侣为 [A, C, E]。

此时状态：

  • Main Chain 已排序：B < D < F。
  • 每个 Main Chain 元素有一个伴侣：B←A, D←C, F←E，且伴侣一定小于对应的 Main Chain 元素。

步骤 3：插入伴侣元素到 Main Chain

这是算法最关键的一步。插入顺序不是随机的，而是按照特定的“Jacobsthal 数”顺序，以最小化最坏情况比较次数。

  • 首先，插入第一个伴侣 A（对应 B）。因为 A < B，直接将 A 插入到 B 之前。Main Chain 变为 [A, B, D, F]。

  • 接下来，我们需要决定插入哪个伴侣。顺序由Jacobsthal 数导出的一个序列决定。对于 n=6，伴侣为 [C, E]（对应 D 和 F）。顺序规则是：从第二个伴侣开始，按伴侣在 Main Chain 中对应位置的“伴侣组大小”递增顺序插入。但一个更简单的理解方式是：

    1. 将 Main Chain 位置（从1开始编号）对应的伴侣分组。
    2. 插入顺序使得每次插入时，用二分查找在 Main Chain 中定位所需的比较次数尽可能均衡。

    对于我们的例子，伴侣 C 对应 Main Chain 中的 D（位置3），伴侣 E 对应 F（位置4）。Ford-Johnson 给出的顺序是：先插入最后一个伴侣（E），再插入倒数第二个伴侣（C） 等等，但具体规则是：

    • 将伴侣按对应 Main Chain 位置分成块。
    • 插入顺序是：第一个块之后，按块大小递增的顺序插入后续块内的伴侣。

    标准顺序（对于 n=6）：Main Chain 初始为 [B, D, F]，伴侣 [A, C, E]。

    1. 插入 A（对应 B，位置1）→ Main Chain: [A, B, D, F]
    2. 插入 C（对应 D，位置3）→ 在 [A, B, D, F] 中二分查找插入位置（与 B、D 比较）。假设 C 在 B 和 D 之间 → Main Chain: [A, B, C, D, F]
    3. 插入 E（对应 F，位置5）→ 在 [A, B, C, D, F] 中二分查找（与 C、D、F 比较）。假设 E 在 D 和 F 之间 → Main Chain: [A, B, C, D, E, F]

步骤 4：处理奇数 n 时的剩余元素

如果 n 是奇数，最初会有一个未配对的元素（称为“单身元素”）。在 Main Chain 排序后，将这个单身元素插入 Main Chain 中，同样用二分查找定位。

在我们的 n=6 例子中，没有单身元素，所以完成。

4. 为什么这个顺序是最优的？

关键在于二分查找的成本：

  • 在已排序的 Main Chain 中插入一个伴侣时，使用二分查找，其比较次数为 ⌈log₂(k+1)⌉，其中 k 是当前 Main Chain 的长度（在插入该伴侣前）。
  • 通过精心安排伴侣插入顺序，可以使得每次二分查找的长度 k 尽可能小，从而降低总比较次数。
  • Jacobsthal 数序列恰好给出了这种顺序，使得最坏情况下，总比较次数 C(n) 是已知确定性算法中最小的。

5. 最坏情况比较次数

对于 n 个元素，Ford-Johnson 算法的最坏情况比较次数 C(n) 满足递推式：

  • C(0) = 0, C(1) = 0
  • 对于 n ≥ 2：
    • 配对阶段：⌊n/2⌋ 次比较。
    • 递归对 ⌈n/2⌉ 个胜者排序：C(⌈n/2⌉) 次比较。
    • 插入伴侣：每个伴侣用二分查找插入，总次数为各次二分查找比较之和，记为 I(n)。

近似公式：C(n) ≈ n * log₂n - 1.415n（当 n 较大时），这优于归并排序的 n log₂n - n + 1。

例如：

  • n=4: C(4)=5
  • n=5: C(5)=7
  • n=6: C(6)=10
  • n=7: C(7)=13

6. 总结与意义

Ford-Johnson 算法展示了：

  1. 理论最优性：在小规模（n ≤ 15）时，其最坏情况比较次数是已知确定性算法中最少的。
  2. 分治与插入结合：通过“配对排序”减少规模，再以最优顺序插入，将二分查找的优势最大化。
  3. 实际应用：虽然因实现复杂而较少用于普通排序，但它的思想影响了后续算法（如某些混合排序的最优比较序列设计）。

这个算法的核心在于构造确定的比较顺序，以最坏情况比较次数最小化为目标，是一种理论价值很高的排序策略。

排序算法之：基于“最小比较数排序”（Ford-Johnson Merge Insertion Sort）的算法实现与构造过程详解 这是一个经典的理论性排序算法，其目标是 在基于比较的排序中，最小化最坏情况下的比较次数 。它比普通插入排序和归并排序在最坏比较次数上更优，尤其在小规模（n ≤ 15）时接近信息论下界。我将逐步讲解其描述、思路和构造过程。 1. 题目描述 我们有一个由 n 个不同元素 组成的数组，目标是将它们按升序排序。我们只关心 元素之间的比较 （ < , > , = ），不关心移动或赋值次数。 Ford-Johnson 算法 （也称 Merge Insertion Sort）旨在为给定的 n，设计一个 确定性的比较序列 ，使得在 最坏情况 下，完成排序所需的 比较次数最少 。 输入 ：一个包含 n 个可比较元素的数组 A[ 0..n-1 ]。 输出 ：A 按升序排列。 核心目标 ：设计比较步骤，使得 最坏情况比较次数 C(n) 尽可能小 。 2. 算法核心思想 该算法是 插入排序 的优化，但它 先对元素进行成对比较和排序，然后以特定顺序插入剩余元素 ，以此减少比较次数。其主要分为两个阶段： 配对与排序阶段 ：将元素两两比较，形成“优胜者”和“失败者”链。 二分插入阶段 ：将剩余元素按特定顺序插入到已排序序列中，利用二分查找定位，最小化比较。 3. 逐步构造与示例 我们以 n = 6 为例，数组为 [A, B, C, D, E, F] （初始顺序任意，值未知）。 步骤 1：两两配对比较 将元素分成 ⌊n/2⌋ 对，如果 n 是奇数，则留出一个元素暂时不动。 对每一对元素进行比较，将 较大者 放入一个序列（称为 Main Chain 或胜者链），较小者暂时记录为对应较大者的“伴侣”。 例如，我们比较 (A, B) , (C, D) , (E, F) 。假设结果为： A < B → 胜者：B，伴侣：A C < D → 胜者：D，伴侣：C E < F → 胜者：F，伴侣：E 此时， Main Chain 初始为 [B, D, F] （但顺序尚未确定）。 步骤 2：对 Main Chain 排序 对 Main Chain 中的元素（即步骤1的胜者）进行 递归排序 （因为这也是一个排序问题，但规模减半）。 对 [B, D, F] 进行排序（使用同样的 Ford-Johnson 方法，或对小规模使用最优比较网络）。 假设排序后 Main Chain 变为 [B, D, F] （已按升序排列），其对应伴侣为 [A, C, E] 。 此时状态 ： Main Chain 已排序： B < D < F 。 每个 Main Chain 元素有一个伴侣：B←A, D←C, F←E，且 伴侣一定小于对应的 Main Chain 元素 。 步骤 3：插入伴侣元素到 Main Chain 这是算法最关键的一步。插入顺序不是随机的，而是按照 特定的“Jacobsthal 数”顺序 ，以最小化最坏情况比较次数。 首先，插入第一个伴侣 A（对应 B）。因为 A < B，直接将 A 插入到 B 之前。Main Chain 变为 [A, B, D, F] 。 接下来，我们需要决定插入哪个伴侣。顺序由 Jacobsthal 数 导出的一个序列决定。对于 n=6，伴侣为 [C, E] （对应 D 和 F）。顺序规则是：从第二个伴侣开始，按 伴侣在 Main Chain 中对应位置的“伴侣组大小”递增 顺序插入。但一个更简单的理解方式是： 将 Main Chain 位置（从1开始编号）对应的伴侣分组。 插入顺序使得每次插入时，用二分查找在 Main Chain 中定位所需的比较次数尽可能均衡。 对于我们的例子，伴侣 C 对应 Main Chain 中的 D（位置3），伴侣 E 对应 F（位置4）。Ford-Johnson 给出的顺序是： 先插入最后一个伴侣（E），再插入倒数第二个伴侣（C） 等等，但具体规则是： 将伴侣按对应 Main Chain 位置分成块。 插入顺序是：第一个块之后，按块大小递增的顺序插入后续块内的伴侣。 标准顺序（对于 n=6）：Main Chain 初始为 [B, D, F] ，伴侣 [A, C, E] 。 插入 A（对应 B，位置1）→ Main Chain: [A, B, D, F] 插入 C（对应 D，位置3）→ 在 [A, B, D, F] 中二分查找插入位置（与 B、D 比较）。假设 C 在 B 和 D 之间 → Main Chain: [A, B, C, D, F] 插入 E（对应 F，位置5）→ 在 [A, B, C, D, F] 中二分查找（与 C、D、F 比较）。假设 E 在 D 和 F 之间 → Main Chain: [A, B, C, D, E, F] 步骤 4：处理奇数 n 时的剩余元素 如果 n 是奇数，最初会有一个未配对的元素（称为“单身元素”）。在 Main Chain 排序后，将这个单身元素插入 Main Chain 中，同样用二分查找定位。 在我们的 n=6 例子中，没有单身元素，所以完成。 4. 为什么这个顺序是最优的？ 关键在于 二分查找的成本 ： 在已排序的 Main Chain 中插入一个伴侣时，使用二分查找，其比较次数为 ⌈log₂(k+1)⌉ ，其中 k 是当前 Main Chain 的长度（在插入该伴侣前）。 通过精心安排伴侣插入顺序，可以使得 每次二分查找的长度 k 尽可能小 ，从而降低总比较次数。 Jacobsthal 数序列恰好给出了这种顺序，使得最坏情况下，总比较次数 C(n) 是已知确定性算法中最小的。 5. 最坏情况比较次数 对于 n 个元素，Ford-Johnson 算法的最坏情况比较次数 C(n) 满足递推式： C(0) = 0, C(1) = 0 对于 n ≥ 2： 配对阶段： ⌊n/2⌋ 次比较。 递归对 ⌈n/2⌉ 个胜者排序： C(⌈n/2⌉) 次比较。 插入伴侣：每个伴侣用二分查找插入，总次数为各次二分查找比较之和，记为 I(n)。 近似公式 ： C(n) ≈ n * log₂n - 1.415n （当 n 较大时），这优于归并排序的 n log₂n - n + 1 。 例如： n=4: C(4)=5 n=5: C(5)=7 n=6: C(6)=10 n=7: C(7)=13 6. 总结与意义 Ford-Johnson 算法展示了： 理论最优性 ：在小规模（n ≤ 15）时，其最坏情况比较次数是已知确定性算法中最少的。 分治与插入结合 ：通过“配对排序”减少规模，再以最优顺序插入，将二分查找的优势最大化。 实际应用 ：虽然因实现复杂而较少用于普通排序，但它的思想影响了后续算法（如某些混合排序的最优比较序列设计）。 这个算法的核心在于 构造确定的比较顺序 ，以 最坏情况比较次数最小化 为目标，是一种理论价值很高的排序策略。