基于线性规划的“无线网络中基于能效最大化的多用户功率分配”建模与求解示例

字数 7957 2025-12-23 17:10:19

基于线性规划的“无线网络中基于能效最大化的多用户功率分配”建模与求解示例

我将为你讲解一个在无线通信网络中，以提高能效（Energy Efficiency）为目标的多用户下行链路功率分配问题的线性规划建模与求解过程。我们将聚焦于一个典型场景：一个基站同时为多个用户提供服务，目标是在满足每个用户最低数据速率要求的前提下，最大化整个系统的“比特/焦耳”能效。由于目标函数通常是分式形式，我们需要巧妙地将其转化为线性规划可处理的形式。

第一步：问题场景与定义

假设我们有一个蜂窝网络下行链路场景：

一个基站 (Base Station, BS)：位于小区中心，总发射功率上限为 \(P_{max}\)。
K 个用户设备 (User Equipment, UE)：分布在小区内，每个用户 \(k\) 有一个最低可接受的数据速率要求 \(R_k^{min}\) (bps)。
信道：基站到每个用户 \(k\) 的信道功率增益为 \(h_k\)。我们假设信道状态信息（CSI）是已知的。基站处的加性高斯白噪声功率为 \(N_0\)。
传输模型：基站采用正交多址接入（如OFDMA），为每个用户分配独立的、无干扰的频带或时隙。因此，用户间无同频干扰。
目标：为每个用户分配发射功率 \(p_k\)，在满足各用户最低速率和总功率约束的条件下，最大化系统的能效（EE）。能效定义为总数据速率与总发射功率之比。

第二步：建立数学模型（初始非线性形式）

首先，我们建立目标函数和约束条件的初始数学模型。

数据速率：根据香农公式，用户 \(k\) 的数据速率为：

\[ R_k(p_k) = B \cdot \log_2(1 + \frac{p_k h_k}{N_0 B}) \]

其中 $B$ 是分配给每个用户的带宽（为简化，假设均分且固定， 其影响可并入常数， 后续为简化符号， 我们常省略 $B$ 或将其归一化处理， 用信噪比 $SNR = p_k h_k / N_0$ 表示）。

能效目标函数：

\[ \text{EE}(\mathbf{p}) = \frac{\sum_{k=1}^{K} R_k(p_k)}{\sum_{k=1}^{K} p_k + P_c} \]

其中：
*   $\mathbf{p} = [p_1, p_2, ..., p_K]^T$ 是功率分配向量。
*   $P_c > 0$ 是基站电路的固定功耗（与发射功率无关的部分， 如射频电路、基带处理等）。这使得目标函数始终有定义（分母不为零）， 且更符合实际。

约束条件：
- 非负功率： \(p_k \ge 0, \quad \forall k\)。
- 总功率约束： \(\sum_{k=1}^{K} p_k \le P_{max}\)。
- 用户服务质量 (QoS) 约束： \(R_k(p_k) \ge R_k^{min}, \quad \forall k\)。
原问题 (非线性分式规划问题)：

\[ \begin{aligned} \max_{\mathbf{p}} \quad & \frac{\sum_{k=1}^{K} B \log_2(1 + \frac{p_k h_k}{N_0 B})}{\sum_{k=1}^{K} p_k + P_c} \\ \text{s.t.} \quad & \sum_{k=1}^{K} p_k \le P_{max}, \\ & B \log_2(1 + \frac{p_k h_k}{N_0 B}) \ge R_k^{min}, \quad \forall k, \\ & p_k \ge 0, \quad \forall k. \end{aligned} \]

这是一个**分式规划**（目标函数为两个函数之比）和**非线性规划**（约束中包含对数函数）问题， 无法直接用线性规划求解。

第三步：关键线性化变换（问题转化的核心）

为了将其转化为线性规划，我们需要两个关键的数学变换：

变换A：从功率变量 \(p_k\) 到速率变量 \(r_k\) 的转换
由于QoS约束和数据速率函数 \(R_k(p_k)\) 是严格单调递增的，我们可以进行变量替换。定义新的决策变量为用户的数据速率 \(r_k = R_k(p_k)\)。其反函数为：

\[p_k(r_k) = \frac{N_0 B}{h_k} (2^{r_k/B} - 1) \]

这个关系将功率 \(p_k\) 表示为速率 \(r_k\) 的函数。注意： \(p_k(r_k)\) 是 \(r_k\) 的凸函数（指数形式）。虽然这还不是线性的，但为我们下一步的线性化提供了基础。

变换B：对目标函数进行分式规划的经典处理——Dinkelbach变换
对于形如 \(\max_{\mathbf{x}} \frac{N(\mathbf{x})}{D(\mathbf{x})}\) 的分式规划问题（其中 \(D(\mathbf{x}) > 0\)）， Dinkelbach提出了一种迭代算法。其核心思想是：最优能效值 \(\eta^*\) 和最优功率分配 \(\mathbf{p}^*\) 满足如下非线性方程特征：

\[\max_{\mathbf{p} \in \mathcal{S}} \{ N(\mathbf{p}) - \eta^* D(\mathbf{p}) \} = 0 \]

其中 \(\mathcal{S}\) 是可行域。

基于此，我们可以构造一个参数化的辅助问题：对于一个给定的能效参数 \(\eta\)，求解：

\[F(\eta) = \max_{\mathbf{p} \in \mathcal{S}} \{ \sum_{k} R_k(p_k) - \eta (\sum_{k} p_k + P_c) \} \]

如果对于某个 \(\eta\)，我们能求得 \(F(\eta) = 0\)，那么这个 \(\eta\) 就是原分式规划问题的最优能效值 \(\eta^*\)。Dinkelbach算法通过迭代更新 \(\eta\) 来逼近这个点。

将变换A和B结合：
将 \(p_k(r_k)\) 的表达式代入辅助问题 \(F(\eta)\) 的目标函数和约束中：

新目标函数： \(F(\eta) = \max_{\mathbf{r}} \{ \sum_{k=1}^{K} r_k - \eta (\sum_{k=1}^{K} \underbrace{\frac{N_0 B}{h_k} (2^{r_k/B} - 1)}_{p_k(r_k)} + P_c) \}\)
新约束条件（用 \(r_k\) 表示）：
- \(r_k \ge R_k^{min}, \quad \forall k\)
- \(\sum_{k=1}^{K} \frac{N_0 B}{h_k} (2^{r_k/B} - 1) \le P_{max}\)
- \(r_k \ge 0, \quad \forall k\) (已被 \(r_k \ge R_k^{min} > 0\) 包含)

关键线性化步骤：
虽然目标函数和约束中仍有 \(2^{r_k/B}\) 项（非线性），但我们可以利用其凸性。在Dinkelbach算法的每一次迭代中， \(\eta\) 是固定的。此时，辅助问题的目标函数是凹函数（线性项 \(r_k\) 减去凸函数 \(\eta \cdot p_k(r_k)\) 仍为凹函数？我们需要小心验证。实际上， \(p_k(r_k)\) 是凸的，所以 \(-\eta p_k(r_k)\) 是凹的，加上线性的 \(r_k\)，整个目标是凹函数）。最大化一个凹函数在线性约束下是凸优化问题，但还不是线性规划。

为了得到线性规划，我们需要一个更强的简化假设，或者对信噪比（SNR）做近似。

实用的线性化技巧：高信噪比近似（或对数变换的线性近似）
在实际系统中，为了满足最低速率要求，信噪比通常不会极低。我们可以使用一个近似公式：
在高信噪比下， \(\log_2(1+SNR) \approx \log_2(SNR)\)。但这仍是非线性的。
一个更有效的线性化是采用“分贝（dB）域”的线性关系。定义发射功率为线性值，但注意到 \(p_k = \frac{N_0}{h_k}(2^{r_k} - 1)\)。当信噪比 \(2^{r_k} \gg 1\) 时，有 \(p_k \approx \frac{N_0}{h_k} 2^{r_k}\)。两边取以2为底的对数：

\[\log_2 p_k \approx \log_2(\frac{N_0}{h_k}) + r_k \]

即 \(r_k \approx \log_2 p_k - \log_2(\frac{N_0}{h_k})\)。这个关系在双对数坐标下是线性的，但在我们的原始变量中依然不是。

为了严格得到线性规划，我们采用“分段线性近似”：
我们将每个用户的速率-功率函数 \(R_k(p_k)\) 用一组线性线段来近似。即，在功率区间 \([0, P_{max}]\) 上选择 \(M\) 个点 \(p_k^{(1)}, p_k^{(2)}, ..., p_k^{(M)}\)，计算出对应的速率点 \(r_k^{(m)} = B\log_2(1+p_k^{(m)}h_k/(N_0B))\)。那么，对于任意功率 \(p_k\)，其速率 \(r_k\) 可以近似表示为这些点的凸组合（即线性插值）。

引入新变量：设 \(w_{k,m} \ge 0\) 为权重，满足 \(\sum_{m=1}^{M} w_{k,m} = 1\)。则近似有：

\[p_k \approx \sum_{m=1}^{M} w_{k,m} \cdot p_k^{(m)}, \quad r_k \approx \sum_{m=1}^{M} w_{k,m} \cdot r_k^{(m)} \]

通过这种方式，我们成功地将非线性的 \(R_k(p_k)\) 关系，转换为了关于新权重变量 \(w_{k,m}\) 的线性关系。此时，原问题中的所有表达式（总功率、总速率、单个用户速率）都变成了 \(w_{k,m}\) 的线性函数。

第四步：构建最终的线性规划模型

假设我们已经为每个用户 \(k\) 准备好了一组分段线性化的点 \(\{ (p_k^{(m)}, r_k^{(m)}) \}_{m=1}^{M}\)。定义决策变量为权重 \(w_{k,m} \ge 0\)。

对于Dinkelbach算法中的某一次迭代（固定 \(\eta\)），其辅助问题可以写为如下线性规划：

\[\begin{aligned} \max_{w_{k,m}} \quad & \sum_{k=1}^{K} \left( \sum_{m=1}^{M} w_{k,m} r_k^{(m)} \right) - \eta \left[ \sum_{k=1}^{K} \left( \sum_{m=1}^{M} w_{k,m} p_k^{(m)} \right) + P_c \right] \\ \text{s.t.} \quad & \sum_{k=1}^{K} \left( \sum_{m=1}^{M} w_{k,m} p_k^{(m)} \right) \le P_{max} \quad &\text{(总功率约束线性化)} \\ & \sum_{m=1}^{M} w_{k,m} r_k^{(m)} \ge R_k^{min}, \quad \forall k \quad &\text{(QoS约束线性化)} \\ & \sum_{m=1}^{M} w_{k,m} = 1, \quad \forall k \quad &\text{(凸组合约束，保证每个用户的功率/速率落在分段点构成的凸包内)} \\ & w_{k,m} \ge 0, \quad \forall k, m \end{aligned} \]

目标函数简化：注意到目标函数是线性的，可以重写为：

\[\max_{w_{k,m}} \quad \sum_{k=1}^{K} \sum_{m=1}^{M} w_{k,m} \left( r_k^{(m)} - \eta p_k^{(m)} \right) - \eta P_c \]

由于 \(-\eta P_c\) 是常数，优化时可以忽略。因此，每次迭代求解的线性规划核心是：

\[\max_{w_{k,m}} \quad \sum_{k=1}^{K} \sum_{m=1}^{M} w_{k,m} \left( r_k^{(m)} - \eta p_k^{(m)} \right) \]

服从上述的线性约束。

第五步：求解算法流程

综合以上步骤，完整的求解算法如下：

初始化：
- 为每个用户 \(k\)，在其可能的功率范围 \([0, P_{max}]\) 内选择足够密的点 \(p_k^{(m)}\)，计算对应的 \(r_k^{(m)} = B\log_2(1+p_k^{(m)}h_k/(N_0B))\)。
- 初始化能效参数 \(\eta^{(0)} = 0\)。设置收敛容差 \(\epsilon > 0\) 和一个最大迭代次数。
Dinkelbach 迭代 (对于 \(t = 0, 1, 2, ...\))：
a. 求解线性规划：对于当前的 \(\eta^{(t)}\)，求解第四步中建立的线性规划模型，得到最优权重解 \(w_{k,m}^*\) 以及对应的最优总速率 \(R^{(t)} = \sum_{k,m} w_{k,m}^* r_k^{(m)}\) 和总功率 \(P_{total}^{(t)} = \sum_{k,m} w_{k,m}^* p_k^{(m)}\)。
b. 计算辅助函数值： \(F(\eta^{(t)}) = R^{(t)} - \eta^{(t)}(P_{total}^{(t)} + P_c)\)。
c. 判断收敛：如果 \(|F(\eta^{(t)})| < \epsilon\)，则算法收敛。令最优能效 \(\eta^* = \eta^{(t)}\)，最优功率分配 \(p_k^* = \sum_m w_{k,m}^* p_k^{(m)}\)。算法结束。
d. 更新能效参数：否则，更新 \(\eta^{(t+1)} = \frac{R^{(t)}}{P_{total}^{(t)} + P_c}\)。这是用当前解计算出的“实际能效”，它将比 \(\eta^{(t)}\) 更接近最优值 \(\eta^*\)。
e. 返回步骤 a，进行下一次迭代。
输出：算法收敛后，输出最大能效值 \(\eta^*\) 和对应的最优功率分配方案 \(\{p_k^*\}\)。

第六步：实例演算与结果解读

假设一个简单场景： \(K=2\) 个用户， \(P_{max}=10W\), \(P_c=1W\), \(B=1Hz\) (归一化), \(N_0=1\)。
用户1： \(h_1 = 1\), \(R_1^{min} = 1.5\) bps。
用户2： \(h_2 = 0.5\), \(R_2^{min} = 1.0\) bps。

我们为每个用户在功率区间 [0, 10] 上均匀取5个点： \(p_k^{(m)} \in \{0, 2.5, 5, 7.5, 10\}\)，计算出对应的 \(r_k^{(m)}\)。

执行Dinkelbach迭代：

\(\eta^{(0)} = 0\)。此时线性规划目标为最大化总速率 \(\sum r_k\)。求解线性规划得到：将所有功率分给信道条件更好的用户1，在满足用户2最低速率后，剩余功率给用户1。假设得到 \(R^{(0)} = 3.2\) bps, \(P_{total}^{(0)} = 8.0\) W。计算 \(F(0)=3.2\)，未收敛。
更新 \(\eta^{(1)} = 3.2 / (8.0+1) \approx 0.3556\)。
以 \(\eta^{(1)} = 0.3556\) 求解线性规划。目标函数变为最大化 \(\sum (r_k - 0.3556 p_k)\)。这会在速率收益和功率成本之间进行权衡。可能解是：用户1功率降低一些，用户2功率刚好满足最低速率。得到新解 \(R^{(1)} = 2.8\), \(P_{total}^{(1)} = 6.5\)。计算 \(F(0.3556) = 2.8 - 0.3556*(6.5+1) = 2.8 - 2.6667 = 0.1333 > \epsilon\)。
更新 \(\eta^{(2)} = 2.8 / (6.5+1) = 0.3733\)。
继续迭代，直至 \(|F(\eta^{(t)})| < 0.001\)。

最终结果解读：
假设收敛后 \(\eta^* \approx 0.38\) bps/W (或 bits/Joule)。对应的功率分配可能是：用户1获得较多功率以产生高数据速率（因为其信道好，能效高），用户2仅获得刚好满足最低速率的功率。总功率可能未用满 \(P_{max}\)，因为继续增加功率带来的速率收益（分子增量）可能抵不过能效分母的惩罚（\(\eta^*\) 乘以功率增量），使得目标函数 \(F(\eta)\) 不再增加。这体现了能效最大化和单纯速率最大化的本质区别： 能效优化倾向于“精打细算”地用功率，而不是挥霍所有功率去追逐微弱的速率提升。

总结

这个示例展示了如何将一个通信领域复杂的、非线性的能效最大化问题，通过分段线性近似和Dinkelbach变换，转化为一系列可以高效求解的线性规划问题。核心思路是：

处理分式目标：用Dinkelbach算法将分式规划转化为一系列参数化的子问题。
处理非线性函数：用分段线性化将用户的速率-功率函数近似为线性关系，从而将子问题的目标函数和所有约束都转化为决策变量（分段权重）的线性表达式。
迭代求解：外层循环更新能效参数 \(\eta\)，内层循环求解一个线性规划。最终收敛到原问题的最优能效解。

这种方法在计算复杂度和求解精度之间取得了很好的平衡，是通信资源分配中处理能效优化问题的经典且实用的方法。

基于线性规划的“无线网络中基于能效最大化的多用户功率分配”建模与求解示例我将为你讲解一个在无线通信网络中，以提高能效（Energy Efficiency）为目标的多用户下行链路功率分配问题的线性规划建模与求解过程。我们将聚焦于一个典型场景：一个基站同时为多个用户提供服务，目标是在满足每个用户最低数据速率要求的前提下，最大化整个系统的“比特/焦耳”能效。由于目标函数通常是分式形式，我们需要巧妙地将其转化为线性规划可处理的形式。第一步：问题场景与定义假设我们有一个蜂窝网络下行链路场景：一个基站 (Base Station, BS) ：位于小区中心，总发射功率上限为 \(P_ {max}\)。 K 个用户设备 (User Equipment, UE) ：分布在小区内，每个用户 \(k\) 有一个最低可接受的数据速率要求 \(R_ k^{min}\) (bps)。信道：基站到每个用户 \(k\) 的信道功率增益为 \(h_ k\)。我们假设信道状态信息（CSI）是已知的。基站处的加性高斯白噪声功率为 \(N_ 0\)。传输模型：基站采用正交多址接入（如OFDMA），为每个用户分配独立的、无干扰的频带或时隙。因此，用户间无同频干扰。目标：为每个用户分配发射功率 \(p_ k\)，在满足各用户最低速率和总功率约束的条件下，最大化系统的能效（EE）。能效定义为总数据速率与总发射功率之比。第二步：建立数学模型（初始非线性形式）首先，我们建立目标函数和约束条件的初始数学模型。数据速率：根据香农公式，用户 \(k\) 的数据速率为： \[ R_ k(p_ k) = B \cdot \log_ 2(1 + \frac{p_ k h_ k}{N_ 0 B}) \] 其中 \(B\) 是分配给每个用户的带宽（为简化，假设均分且固定，其影响可并入常数，后续为简化符号，我们常省略 \(B\) 或将其归一化处理，用信噪比 \(SNR = p_ k h_ k / N_ 0\) 表示）。能效目标函数： \[ \text{EE}(\mathbf{p}) = \frac{\sum_ {k=1}^{K} R_ k(p_ k)}{\sum_ {k=1}^{K} p_ k + P_ c} \] 其中： \(\mathbf{p} = [ p_ 1, p_ 2, ..., p_ K ]^T\) 是功率分配向量。 \(P_ c > 0\) 是基站电路的固定功耗（与发射功率无关的部分，如射频电路、基带处理等）。这使得目标函数始终有定义（分母不为零），且更符合实际。约束条件：非负功率： \(p_ k \ge 0, \quad \forall k\)。总功率约束： \(\sum_ {k=1}^{K} p_ k \le P_ {max}\)。用户服务质量 (QoS) 约束： \(R_ k(p_ k) \ge R_ k^{min}, \quad \forall k\)。原问题 (非线性分式规划问题) ： \[ \begin{aligned} \max_ {\mathbf{p}} \quad & \frac{\sum_ {k=1}^{K} B \log_ 2(1 + \frac{p_ k h_ k}{N_ 0 B})}{\sum_ {k=1}^{K} p_ k + P_ c} \\ \text{s.t.} \quad & \sum_ {k=1}^{K} p_ k \le P_ {max}, \\ & B \log_ 2(1 + \frac{p_ k h_ k}{N_ 0 B}) \ge R_ k^{min}, \quad \forall k, \\ & p_ k \ge 0, \quad \forall k. \end{aligned} \] 这是一个分式规划（目标函数为两个函数之比）和非线性规划（约束中包含对数函数）问题，无法直接用线性规划求解。第三步：关键线性化变换（问题转化的核心）为了将其转化为线性规划，我们需要两个关键的数学变换：变换A：从功率变量 \(p_ k\) 到速率变量 \(r_ k\) 的转换由于QoS约束和数据速率函数 \(R_ k(p_ k)\) 是严格单调递增的，我们可以进行变量替换。定义新的决策变量为用户的数据速率 \(r_ k = R_ k(p_ k)\)。其反函数为： \[ p_ k(r_ k) = \frac{N_ 0 B}{h_ k} (2^{r_ k/B} - 1) \] 这个关系将功率 \(p_ k\) 表示为速率 \(r_ k\) 的函数。注意： \(p_ k(r_ k)\) 是 \(r_ k\) 的凸函数（指数形式）。虽然这还不是线性的，但为我们下一步的线性化提供了基础。变换B：对目标函数进行分式规划的经典处理——Dinkelbach变换对于形如 \(\max_ {\mathbf{x}} \frac{N(\mathbf{x})}{D(\mathbf{x})}\) 的分式规划问题（其中 \(D(\mathbf{x}) > 0\)）， Dinkelbach提出了一种迭代算法。其核心思想是：最优能效值 \(\eta^ \) 和最优功率分配 \(\mathbf{p}^ \) 满足如下非线性方程特征： \[ \max_ {\mathbf{p} \in \mathcal{S}} \{ N(\mathbf{p}) - \eta^* D(\mathbf{p}) \} = 0 \] 其中 \(\mathcal{S}\) 是可行域。基于此，我们可以构造一个参数化的辅助问题：对于一个给定的能效参数 \(\eta\)，求解： \[ F(\eta) = \max_ {\mathbf{p} \in \mathcal{S}} \{ \sum_ {k} R_ k(p_ k) - \eta (\sum_ {k} p_ k + P_ c) \} \] 如果对于某个 \(\eta\)，我们能求得 \(F(\eta) = 0\)，那么这个 \(\eta\) 就是原分式规划问题的最优能效值 \(\eta^* \)。Dinkelbach算法通过迭代更新 \(\eta\) 来逼近这个点。将变换A和B结合：将 \(p_ k(r_ k)\) 的表达式代入辅助问题 \(F(\eta)\) 的目标函数和约束中：新目标函数： \(F(\eta) = \max_ {\mathbf{r}} \{ \sum_ {k=1}^{K} r_ k - \eta (\sum_ {k=1}^{K} \underbrace{\frac{N_ 0 B}{h_ k} (2^{r_ k/B} - 1)}_ {p_ k(r_ k)} + P_ c) \}\) 新约束条件（用 \(r_ k\) 表示）： \(r_ k \ge R_ k^{min}, \quad \forall k\) \(\sum_ {k=1}^{K} \frac{N_ 0 B}{h_ k} (2^{r_ k/B} - 1) \le P_ {max}\) \(r_ k \ge 0, \quad \forall k\) (已被 \(r_ k \ge R_ k^{min} > 0\) 包含) 关键线性化步骤：虽然目标函数和约束中仍有 \(2^{r_ k/B}\) 项（非线性），但我们可以利用其凸性。在Dinkelbach算法的每一次迭代中， \(\eta\) 是固定的。此时，辅助问题的目标函数是凹函数（线性项 \(r_ k\) 减去凸函数 \(\eta \cdot p_ k(r_ k)\) 仍为凹函数？我们需要小心验证。实际上， \(p_ k(r_ k)\) 是凸的，所以 \(-\eta p_ k(r_ k)\) 是凹的，加上线性的 \(r_ k\)，整个目标是凹函数）。最大化一个凹函数在线性约束下是凸优化问题，但还不是线性规划。为了得到线性规划，我们需要一个更强的简化假设，或者对信噪比（SNR）做近似。实用的线性化技巧：高信噪比近似（或对数变换的线性近似）在实际系统中，为了满足最低速率要求，信噪比通常不会极低。我们可以使用一个近似公式：在高信噪比下， \(\log_ 2(1+SNR) \approx \log_ 2(SNR)\)。但这仍是非线性的。一个更有效的线性化是采用“分贝（dB）域”的线性关系。定义发射功率为线性值，但注意到 \(p_ k = \frac{N_ 0}{h_ k}(2^{r_ k} - 1)\)。当信噪比 \(2^{r_ k} \gg 1\) 时，有 \(p_ k \approx \frac{N_ 0}{h_ k} 2^{r_ k}\)。两边取以2为底的对数： \[ \log_ 2 p_ k \approx \log_ 2(\frac{N_ 0}{h_ k}) + r_ k \] 即 \(r_ k \approx \log_ 2 p_ k - \log_ 2(\frac{N_ 0}{h_ k})\)。这个关系在双对数坐标下是线性的，但在我们的原始变量中依然不是。为了严格得到线性规划，我们采用“分段线性近似” ：我们将每个用户的速率-功率函数 \(R_ k(p_ k)\) 用一组线性线段来近似。即，在功率区间 \([ 0, P_ {max}]\) 上选择 \(M\) 个点 \(p_ k^{(1)}, p_ k^{(2)}, ..., p_ k^{(M)}\)，计算出对应的速率点 \(r_ k^{(m)} = B\log_ 2(1+p_ k^{(m)}h_ k/(N_ 0B))\)。那么，对于任意功率 \(p_ k\)，其速率 \(r_ k\) 可以近似表示为这些点的凸组合（即线性插值）。引入新变量：设 \(w_ {k,m} \ge 0\) 为权重，满足 \(\sum_ {m=1}^{M} w_ {k,m} = 1\)。则近似有： \[ p_ k \approx \sum_ {m=1}^{M} w_ {k,m} \cdot p_ k^{(m)}, \quad r_ k \approx \sum_ {m=1}^{M} w_ {k,m} \cdot r_ k^{(m)} \] 通过这种方式，我们成功地将非线性的 \(R_ k(p_ k)\) 关系，转换为了关于新权重变量 \(w_ {k,m}\) 的线性关系。此时，原问题中的所有表达式（总功率、总速率、单个用户速率）都变成了 \(w_ {k,m}\) 的线性函数。第四步：构建最终的线性规划模型假设我们已经为每个用户 \(k\) 准备好了一组分段线性化的点 \(\{ (p_ k^{(m)}, r_ k^{(m)}) \} {m=1}^{M}\)。定义决策变量为权重 \(w {k,m} \ge 0\)。对于Dinkelbach算法中的某一次迭代（固定 \(\eta\)），其辅助问题可以写为如下线性规划： \[ \begin{aligned} \max_ {w_ {k,m}} \quad & \sum_ {k=1}^{K} \left( \sum_ {m=1}^{M} w_ {k,m} r_ k^{(m)} \right) - \eta \left[ \sum_ {k=1}^{K} \left( \sum_ {m=1}^{M} w_ {k,m} p_ k^{(m)} \right) + P_ c \right ] \\ \text{s.t.} \quad & \sum_ {k=1}^{K} \left( \sum_ {m=1}^{M} w_ {k,m} p_ k^{(m)} \right) \le P_ {max} \quad &\text{(总功率约束线性化)} \\ & \sum_ {m=1}^{M} w_ {k,m} r_ k^{(m)} \ge R_ k^{min}, \quad \forall k \quad &\text{(QoS约束线性化)} \\ & \sum_ {m=1}^{M} w_ {k,m} = 1, \quad \forall k \quad &\text{(凸组合约束，保证每个用户的功率/速率落在分段点构成的凸包内)} \\ & w_ {k,m} \ge 0, \quad \forall k, m \end{aligned} \] 目标函数简化：注意到目标函数是线性的，可以重写为： \[ \max_ {w_ {k,m}} \quad \sum_ {k=1}^{K} \sum_ {m=1}^{M} w_ {k,m} \left( r_ k^{(m)} - \eta p_ k^{(m)} \right) - \eta P_ c \] 由于 \(-\eta P_ c\) 是常数，优化时可以忽略。因此，每次迭代求解的线性规划核心是： \[ \max_ {w_ {k,m}} \quad \sum_ {k=1}^{K} \sum_ {m=1}^{M} w_ {k,m} \left( r_ k^{(m)} - \eta p_ k^{(m)} \right) \] 服从上述的线性约束。第五步：求解算法流程综合以上步骤，完整的求解算法如下：初始化：为每个用户 \(k\)，在其可能的功率范围 \([ 0, P_ {max}]\) 内选择足够密的点 \(p_ k^{(m)}\)，计算对应的 \(r_ k^{(m)} = B\log_ 2(1+p_ k^{(m)}h_ k/(N_ 0B))\)。初始化能效参数 \(\eta^{(0)} = 0\)。设置收敛容差 \(\epsilon > 0\) 和一个最大迭代次数。 Dinkelbach 迭代 (对于 \(t = 0, 1, 2, ...\))： a. 求解线性规划：对于当前的 \(\eta^{(t)}\)，求解第四步中建立的线性规划模型，得到最优权重解 \(w_ {k,m}^ \) 以及对应的最优总速率 \(R^{(t)} = \sum_ {k,m} w_ {k,m}^ r_ k^{(m)}\) 和总功率 \(P_ {total}^{(t)} = \sum_ {k,m} w_ {k,m}^* p_ k^{(m)}\)。 b. 计算辅助函数值： \(F(\eta^{(t)}) = R^{(t)} - \eta^{(t)}(P_ {total}^{(t)} + P_ c)\)。 c. 判断收敛：如果 \(|F(\eta^{(t)})| < \epsilon\)，则算法收敛。令最优能效 \(\eta^* = \eta^{(t)}\)，最优功率分配 \(p_ k^* = \sum_ m w_ {k,m}^* p_ k^{(m)}\)。算法结束。 d. 更新能效参数：否则，更新 \(\eta^{(t+1)} = \frac{R^{(t)}}{P_ {total}^{(t)} + P_ c}\)。这是用当前解计算出的“实际能效”，它将比 \(\eta^{(t)}\) 更接近最优值 \(\eta^* \)。 e. 返回步骤 a，进行下一次迭代。输出：算法收敛后，输出最大能效值 \(\eta^ \) 和对应的最优功率分配方案 \(\{p_ k^ \}\)。第六步：实例演算与结果解读假设一个简单场景： \(K=2\) 个用户， \(P_ {max}=10W\), \(P_ c=1W\), \(B=1Hz\) (归一化), \(N_ 0=1\)。用户1： \(h_ 1 = 1\), \(R_ 1^{min} = 1.5\) bps。用户2： \(h_ 2 = 0.5\), \(R_ 2^{min} = 1.0\) bps。我们为每个用户在功率区间 [ 0, 10] 上均匀取5个点： \(p_ k^{(m)} \in \{0, 2.5, 5, 7.5, 10\}\)，计算出对应的 \(r_ k^{(m)}\)。执行Dinkelbach迭代： \(\eta^{(0)} = 0\)。此时线性规划目标为最大化总速率 \(\sum r_ k\)。求解线性规划得到：将所有功率分给信道条件更好的用户1，在满足用户2最低速率后，剩余功率给用户1。假设得到 \(R^{(0)} = 3.2\) bps, \(P_ {total}^{(0)} = 8.0\) W。计算 \(F(0)=3.2\)，未收敛。更新 \(\eta^{(1)} = 3.2 / (8.0+1) \approx 0.3556\)。以 \(\eta^{(1)} = 0.3556\) 求解线性规划。目标函数变为最大化 \(\sum (r_ k - 0.3556 p_ k)\)。这会在速率收益和功率成本之间进行权衡。可能解是：用户1功率降低一些，用户2功率刚好满足最低速率。得到新解 \(R^{(1)} = 2.8\), \(P_ {total}^{(1)} = 6.5\)。计算 \(F(0.3556) = 2.8 - 0.3556* (6.5+1) = 2.8 - 2.6667 = 0.1333 > \epsilon\)。更新 \(\eta^{(2)} = 2.8 / (6.5+1) = 0.3733\)。继续迭代，直至 \(|F(\eta^{(t)})| < 0.001\)。最终结果解读：假设收敛后 \(\eta^* \approx 0.38\) bps/W (或 bits/Joule)。对应的功率分配可能是：用户1获得较多功率以产生高数据速率（因为其信道好，能效高），用户2仅获得刚好满足最低速率的功率。总功率可能未用满 \(P_ {max}\)，因为继续增加功率带来的速率收益（分子增量）可能抵不过能效分母的惩罚（\(\eta^* \) 乘以功率增量），使得目标函数 \(F(\eta)\) 不再增加。这体现了能效最大化和单纯速率最大化的本质区别：能效优化倾向于“精打细算”地用功率，而不是挥霍所有功率去追逐微弱的速率提升。总结这个示例展示了如何将一个通信领域复杂的、非线性的能效最大化问题，通过分段线性近似和 Dinkelbach变换，转化为一系列可以高效求解的线性规划问题。核心思路是：处理分式目标：用Dinkelbach算法将分式规划转化为一系列参数化的子问题。处理非线性函数：用分段线性化将用户的速率-功率函数近似为线性关系，从而将子问题的目标函数和所有约束都转化为决策变量（分段权重）的线性表达式。迭代求解：外层循环更新能效参数 \(\eta\)，内层循环求解一个线性规划。最终收敛到原问题的最优能效解。这种方法在计算复杂度和求解精度之间取得了很好的平衡，是通信资源分配中处理能效优化问题的经典且实用的方法。