SHA-3 (Keccak) 海绵结构中的 χ (Chi) 步骤详解
字数 2599 2025-12-23 15:27:39

SHA-3 (Keccak) 海绵结构中的 χ (Chi) 步骤详解

题目描述

在SHA-3 (Keccak) 哈希算法中，其核心是Keccak-f置换函数。这个函数对内部状态（一个5x5xw的比特矩阵，其中w是位宽，如SHA3-256中w=64）进行多轮迭代。每一轮置换包含5个步骤，分别用希腊字母表示：θ (Theta)、ρ (Rho)、π (Pi)、χ (Chi) 和 ι (Iota)。本次我们将深入讲解其中的 χ (Chi) 步骤。χ 是一个非线性、面向位的操作，它是Keccak-f置换中唯一的非线性来源，对于算法抵抗线性攻击和差分攻击等密码学攻击至关重要。你需要理解χ步骤如何定义，它如何对状态矩阵进行操作，以及它在整个Keccak算法中所扮演的角色。

解题过程（讲解）

  1. 背景与预备知识

    • 首先，我们回忆SHA-3 (Keccak) 的内部状态表示。它被定义为一个三维数组a[x][y][z]，其中x和y是0到4的整数，z是0到w-1的整数。这可以看作是一个5x5的“平面”，每个“单元格”不是一个比特，而是一个长度为w的“车道”。在讲解χ步骤时，我们通常将其视为对一个单独的、固定的z坐标切片（即一个5x5的比特平面） 进行独立的操作。理解这一点是理解χ的关键。
    • χ 步骤是Keccak-f轮函数中的第四步。在它之前，状态已经依次经过了θ（扩散）、ρ（行内循环移位）和π（平面置换）三个线性步骤的变换。χ 的引入是为了引入非线性混淆，这是现代密码算法中破坏输入与输出之间线性关系的关键。

  2. χ 步骤的数学定义

    • 对于给定的z坐标（即对于那个5x5比特平面中的每一行），χ 操作是独立进行的。它的操作单位是“行”。
    • 考虑5x5平面中的一行，它是一个由5个比特组成的向量，我们用(b0, b1, b2, b3, b4)来表示这一行在χ操作前的值。
    • χ 操作的定义是一个非线性、面向位的公式。它将这一行的每一个比特bi (i从0到4)，根据其自身以及同一行中“下一个”和“下下一个”比特的值，更新为新的比特b’i。
    • 其数学公式为：
      b'_i = b_i ⊕ ( (¬ b_{i+1}) ∧ b_{i+2} )
    • 公式中：
      • ⊕ 表示异或 (XOR) 操作。
      • ¬ 表示逻辑非 (NOT) 操作。
      • ∧ 表示逻辑与 (AND) 操作。
      • 下标计算是在模5（mod 5）的意义上进行的，例如：
        • 当i=4时，b_{i+1} 就是 b_0。
        • 当i=3时，b_{i+2} 就是 b_0。
        • 当i=4时，b_{i+2} 就是 b_1。
    • 这个公式对行内的每一个比特bi并行应用。也就是说，新行(b’0, b’1, b’2, b’3, b’4)的所有比特是同时计算出来的，计算它们时使用的是变换前的旧行比特(b0, b1, b2, b3, b4)。

  3. χ 步骤的计算示例

    • 让我们通过一个具体的例子来理解这个过程。假设某一行在χ操作前的比特值为：(b0, b1, b2, b3, b4) = (1, 0, 1, 0, 1)。
    • 根据公式计算新的比特值：
      • b'_0 = b0 ⊕ ( (¬ b1) ∧ b2 ) = 1 ⊕ ( (¬0) ∧ 1 ) = 1 ⊕ (1 ∧ 1) = 1 ⊕ 1 = 0
      • b'_1 = b1 ⊕ ( (¬ b2) ∧ b3 ) = 0 ⊕ ( (¬1) ∧ 0 ) = 0 ⊕ (0 ∧ 0) = 0 ⊕ 0 = 0
      • b'_2 = b2 ⊕ ( (¬ b3) ∧ b4 ) = 1 ⊕ ( (¬0) ∧ 1 ) = 1 ⊕ (1 ∧ 1) = 1 ⊕ 1 = 0
      • b'_3 = b3 ⊕ ( (¬ b4) ∧ b0 ) = 0 ⊕ ( (¬1) ∧ 1 ) = 0 ⊕ (0 ∧ 1) = 0 ⊕ 0 = 0
      • b'_4 = b4 ⊕ ( (¬ b0) ∧ b1 ) = 1 ⊕ ( (¬1) ∧ 0 ) = 1 ⊕ (0 ∧ 0) = 1 ⊕ 0 = 1
    • 所以，经过χ操作后，这一行的新比特值变为：(0, 0, 0, 0, 1)。你可以看到，原始比特值发生了显著变化，特别是多个比特位翻转了，这体现了它的混淆效果。

  4. χ 步骤的图形化与全局操作

    • 上面我们讲解了χ对一个固定z坐标的5x5比特平面中一行的操作。实际上，χ步骤独立、并行地对所有的w个这样的5x5比特平面（每一个z坐标对应一个平面）进行处理。 也就是说，它对内部状态的所有5 * w行（w是位宽，SHA3-256中w=64，所以共有5 * 64 = 320行）都应用上述相同的行变换公式。
    • 由于每个平面内部的操作是独立的，并且对每一行的处理也是独立并行的，这非常适合硬件实现，具有很高的效率。

  5. χ 步骤的密码学意义

    • 非线性来源：θ, ρ, π 三个步骤都是线性变换（它们可以表示为比特的线性组合和重排）。χ 是Keccak-f轮函数中唯一的非线性步骤。非线性是抵抗线性密码分析和差分密码分析等强大攻击手段的基础。没有χ，整个置换的安全性将大大降低。
    • 代数次数：χ 操作是一个二次布尔函数（因为公式中包含一个AND操作，这是二次的）。这使得整个轮函数的代数次数得以增加，有助于抵抗基于代数复杂度的攻击。
    • 可逆性：χ 操作是可逆的。这意味着给定一个新的行比特值，可以唯一地计算出原来的行比特值。这个性质对于Keccak-f作为一个置换（双向可计算的函数）是必要的，保证了状态变换的一一对应关系，尽管在哈希模式下我们只使用单向的“吸收-挤压”过程。
    • 扩散贡献：虽然θ步骤主要负责长距离的比特扩散，但χ在行内结合了邻接比特，也参与了比特的局部扩散和混合，与π（重排平面）和ρ（行内移位）协同工作，确保在几轮之后，输入的微小变化能够迅速传播到整个状态。

总结
χ (Chi) 步骤是Keccak-f置换函数的核心非线性组件。它独立地对状态矩阵每一个z切片的每一行，应用一个简单的、基于位运算的公式 b’_i = b_i ⊕ ( (¬ b_{i+1}) ∧ b_{i+2} )。这个过程并行、高效，并为整个SHA-3算法提供了抵抗线性攻击和差分攻击所需的关键非线性混淆特性，是保证其密码学安全性的基石之一。

SHA-3 (Keccak) 海绵结构中的 χ (Chi) 步骤详解 题目描述 在SHA-3 (Keccak) 哈希算法中，其核心是Keccak-f置换函数。这个函数对内部状态（一个5x5xw的比特矩阵，其中w是位宽，如SHA3-256中w=64）进行多轮迭代。每一轮置换包含5个步骤，分别用希腊字母表示：θ (Theta)、ρ (Rho)、π (Pi)、χ (Chi) 和 ι (Iota)。本次我们将深入讲解其中的 χ (Chi) 步骤。χ 是一个非线性、面向位的操作，它是Keccak-f置换中唯一的非线性来源，对于算法抵抗线性攻击和差分攻击等密码学攻击至关重要。你需要理解χ步骤如何定义，它如何对状态矩阵进行操作，以及它在整个Keccak算法中所扮演的角色。 解题过程（讲解） 背景与预备知识 首先，我们回忆SHA-3 (Keccak) 的内部状态表示。它被定义为一个三维数组 a[x][y][z] ，其中 x 和 y 是0到4的整数， z 是0到 w-1 的整数。这可以看作是一个5x5的“平面”，每个“单元格”不是一个比特，而是一个长度为 w 的“车道”。在讲解χ步骤时，我们通常将其视为 对一个单独的、固定的z坐标切片（即一个5x5的比特平面） 进行独立的操作。理解这一点是理解χ的关键。 χ 步骤是Keccak-f轮函数中的第四步。在它之前，状态已经依次经过了θ（扩散）、ρ（行内循环移位）和π（平面置换）三个线性步骤的变换。χ 的引入是为了 引入非线性混淆 ，这是现代密码算法中破坏输入与输出之间线性关系的关键。 χ 步骤的数学定义 对于给定的z坐标（即对于那个5x5比特平面中的每一行），χ 操作是独立进行的。它的操作单位是“行”。 考虑5x5平面中的一行，它是一个由5个比特组成的向量，我们用 (b0, b1, b2, b3, b4) 来表示这一行在χ操作前的值。 χ 操作的定义是一个 非线性、面向位的公式 。它将这一行的每一个比特 bi (i从0到4)，根据其自身以及同一行中“下一个”和“下下一个”比特的值，更新为新的比特 b’i 。 其数学公式为： b'_i = b_i ⊕ ( (¬ b_{i+1}) ∧ b_{i+2} ) 公式中： ⊕ 表示异或 (XOR) 操作。 ¬ 表示逻辑非 (NOT) 操作。 ∧ 表示逻辑与 (AND) 操作。 下标计算是在模5（mod 5）的意义上进行的，例如： 当 i=4 时， b_{i+1} 就是 b_0 。 当 i=3 时， b_{i+2} 就是 b_0 。 当 i=4 时， b_{i+2} 就是 b_1 。 这个公式对行内的每一个比特 bi 并行应用。也就是说，新行 (b’0, b’1, b’2, b’3, b’4) 的所有比特是同时计算出来的，计算它们时使用的是 变换前 的旧行比特 (b0, b1, b2, b3, b4) 。 χ 步骤的计算示例 让我们通过一个具体的例子来理解这个过程。假设某一行在χ操作前的比特值为： (b0, b1, b2, b3, b4) = (1, 0, 1, 0, 1) 。 根据公式计算新的比特值： b'_0 = b0 ⊕ ( (¬ b1) ∧ b2 ) = 1 ⊕ ( (¬0) ∧ 1 ) = 1 ⊕ (1 ∧ 1) = 1 ⊕ 1 = 0 b'_1 = b1 ⊕ ( (¬ b2) ∧ b3 ) = 0 ⊕ ( (¬1) ∧ 0 ) = 0 ⊕ (0 ∧ 0) = 0 ⊕ 0 = 0 b'_2 = b2 ⊕ ( (¬ b3) ∧ b4 ) = 1 ⊕ ( (¬0) ∧ 1 ) = 1 ⊕ (1 ∧ 1) = 1 ⊕ 1 = 0 b'_3 = b3 ⊕ ( (¬ b4) ∧ b0 ) = 0 ⊕ ( (¬1) ∧ 1 ) = 0 ⊕ (0 ∧ 1) = 0 ⊕ 0 = 0 b'_4 = b4 ⊕ ( (¬ b0) ∧ b1 ) = 1 ⊕ ( (¬1) ∧ 0 ) = 1 ⊕ (0 ∧ 0) = 1 ⊕ 0 = 1 所以，经过χ操作后，这一行的新比特值变为： (0, 0, 0, 0, 1) 。你可以看到，原始比特值发生了显著变化，特别是多个比特位翻转了，这体现了它的混淆效果。 χ 步骤的图形化与全局操作 上面我们讲解了χ对一个固定z坐标的5x5比特平面中一行的操作。 实际上，χ步骤独立、并行地对所有的w个这样的5x5比特平面（每一个z坐标对应一个平面）进行处理。 也就是说，它对内部状态的所有 5 * w 行（w是位宽，SHA3-256中w=64，所以共有 5 * 64 = 320 行）都应用上述相同的行变换公式。 由于每个平面内部的操作是独立的，并且对每一行的处理也是独立并行的，这非常适合硬件实现，具有很高的效率。 χ 步骤的密码学意义 非线性来源 ：θ, ρ, π 三个步骤都是线性变换（它们可以表示为比特的线性组合和重排）。χ 是Keccak-f轮函数中 唯一 的非线性步骤。非线性是抵抗线性密码分析和差分密码分析等强大攻击手段的基础。没有χ，整个置换的安全性将大大降低。 代数次数 ：χ 操作是一个二次布尔函数（因为公式中包含一个AND操作，这是二次的）。这使得整个轮函数的代数次数得以增加，有助于抵抗基于代数复杂度的攻击。 可逆性 ：χ 操作是可逆的。这意味着给定一个新的行比特值，可以唯一地计算出原来的行比特值。这个性质对于Keccak-f作为一个置换（双向可计算的函数）是必要的，保证了状态变换的一一对应关系，尽管在哈希模式下我们只使用单向的“吸收-挤压”过程。 扩散贡献 ：虽然θ步骤主要负责长距离的比特扩散，但χ在行内结合了邻接比特，也参与了比特的局部扩散和混合，与π（重排平面）和ρ（行内移位）协同工作，确保在几轮之后，输入的微小变化能够迅速传播到整个状态。 总结 χ (Chi) 步骤是Keccak-f置换函数的核心非线性组件。它独立地对状态矩阵每一个z切片的每一行，应用一个简单的、基于位运算的公式 b’_i = b_i ⊕ ( (¬ b_{i+1}) ∧ b_{i+2} ) 。这个过程并行、高效，并为整个SHA-3算法提供了抵抗线性攻击和差分攻击所需的关键非线性混淆特性，是保证其密码学安全性的基石之一。