基于线性规划的“广义指派问题”建模、分解与列生成算法求解示例
字数 4586 2025-12-23 14:48:00

基于线性规划的“广义指派问题”建模、分解与列生成算法求解示例

我将为您讲解一个尚未出现在列表中的线性规划算法题目。这次我们聚焦于广义指派问题，并介绍如何利用线性规划的Dantzig-Wolfe分解和列生成算法来高效求解大规模实例。与基本的指派问题（如一人一任务）不同，广义指派问题允许一个任务被多个工人（或机器）以不同的效率和成本部分完成，但每个工人的总工作量有限制，且每个任务必须被完全完成。这在实际的资源分配、生产调度中非常常见。

题目描述

假设我们有一组工人（或机器）集合 I = {1, 2, ..., m} 和一组任务集合 J = {1, 2, ..., n}。每个工人 i 拥有一个工作能力（如时间、产能）上限 b_i。将任务 j 分配给工人 i 来处理，会产生一个成本 c_{ij}（例如耗时、费用），并且会消耗工人 i 的 a_{ij} 单位能力。我们的目标是：为每一个任务 j 选择一个或多个工人来共同完成（即允许“拆分”任务），使得总成本最小，同时满足：

  1. 每个任务 j 必须被完全处理（需求量为1个单位）。
  2. 每个工人 i 处理所分配任务的总资源消耗不超过其能力上限 b_i。
  3. 任务 j 分配给工人 i 的比例（或数量）x_{ij} 是非负的。

这是一个经典的、可以建模为线性规划的问题，但直接求解大规模问题（m, n 很大）可能效率不高。列生成算法通过将问题分解，迭代地只生成“有潜力”的决策变量（列）来构建和求解一个简化模型，从而高效处理大规模问题。

解题过程循序渐进讲解

步骤1：建立标准线性规划模型

我们先建立问题的紧凑线性规划模型，称为紧凑公式。

  • 决策变量：令 x_{ij} ≥ 0 表示任务 j 分配给工人 i 的比例（或数量）。由于每个任务的总需求为1，这里的 x_{ij} 可以理解为工人 i 承担任务 j 的比例。
  • 目标函数：最小化总成本。Minimize: Σ_{i∈I} Σ_{j∈J} c_{ij} * x_{ij}
  • 约束条件：
    1. 任务覆盖约束：每个任务必须被完全分配。对于每个任务 j ∈ J: Σ_{i∈I} x_{ij} = 1
    2. 工人能力约束：每个工人的资源消耗不能超过上限。对于每个工人 i ∈ I: Σ_{j∈J} a_{ij} * x_{ij} ≤ b_i
    3. 非负约束：x_{ij} ≥ 0，对所有 i, j。

这个模型是一个线性规划，可以用单纯形法等直接求解。但当 m 和 n 都很大时，变量和约束的数量（m*n + m + n）会变得非常庞大，直接求解计算负担重。

步骤2：Dantzig-Wolfe分解——识别可分解结构

观察上述模型，约束可以被分成两组：

  • 耦合约束：任务覆盖约束（Σ_{i∈I} x_{ij} = 1）将所有工人联系在了一起，是“耦合”的。
  • 独立约束：工人能力约束（Σ_{j∈J} a_{ij} * x_{ij} ≤ b_i）是按工人分离的。每个工人的约束只涉及分配给该工人的变量 {x_{ij} | j ∈ J}。

这种结构是Dantzig-Wolfe分解的完美应用场景。我们可以将原问题重新表述。

核心思想：对于每个工人 i，考虑其所有可行的工作安排。一个工作安排是指为该工人 i 分配一组任务及其处理量 (x_{i1}, x_{i2}, ..., x_{in})，满足其自身的能力约束 Σ_j a_{ij} x_{ij} ≤ b_i 和 x_{ij} ≥ 0。这样的一个可行安排称为一个“模式”或“列”。

由于每个工人的可行安排集合（称为多面体 P_i）可能包含无穷多个点（因为 x_{ij} 是连续的），我们无法枚举所有模式。Dantzig-Wolfe分解告诉我们，原问题的最优解可以表示为各个工人可行多面体 P_i 中极点的凸组合。

步骤3：构建主问题（Master Problem, MP）和定价子问题（Pricing Subproblem, PSP）

基于分解思想，我们构建一个等价的新模型：

  • 主问题（MP）决策变量：假设我们（暂时）知道工人 i 的所有可行模式的集合 S_i。设 λ_{ik} 是一个连续变量，表示在最终解中，工人 i 采用其第 k 个模式的程度（比例）。注意，对于一个工人，我们可以组合使用多个模式。
  • 主问题（MP）模型：
    • 设对于工人 i 的可行模式 k，其参数为：
      • c_{ik} = 该模式的成本 = Σ_j c_{ij} * x_{ij}^k
      • d_{jk}^i = 该模式处理任务 j 的量 = x_{ij}^k
    • 目标：Minimize Σ_{i∈I} Σ_{k∈S_i} c_{ik} * λ_{ik}
    • 约束：
      1. 任务覆盖约束：对于每个任务 j，所有工人所有模式对其的处理量总和必须为1。即：Σ_{i∈I} Σ_{k∈S_i} d_{jk}^i * λ_{ik} = 1, ∀ j ∈ J。
      2. 凸组合约束：对于每个工人 i，其使用的所有模式的程度之和为1（这意味着工人 i 的工作安排是它所有可行模式的一个凸组合）。即：Σ_{k∈S_i} λ_{ik} = 1, ∀ i ∈ I。
      3. 非负约束：λ_{ik} ≥ 0。
  • 这个MP模型与原问题等价，但变量是 λ_{ik}。如果我们能枚举所有 S_i，MP 可以直接求解。但 S_i 是无穷集，我们无法全部列出。

列生成算法的智慧在于：我们不需要一开始就知道所有 S_i。我们从每个工人 i 的一个很小的、初始的可行模式集合 S_i'（可能只是一个简单模式，比如不处理任何任务，即零模式）开始，求解一个限制主问题。

步骤4：初始限制主问题与对偶变量

  1. 初始化：为每个工人 i 构建一个或多个简单的可行模式，加入 S_i'。最常用的初始模式是“空模式”（所有 x_{ij}=0），其成本为0，不处理任何任务。这保证了限制主问题是可行的（虽然任务覆盖约束可能无法满足，可能需要引入人工变量或使用其他启发式方法生成更好的初始列，这里为简化，我们假设初始模式集合能使限制主问题可行）。
  2. 求解限制主问题：用线性规划求解器（如单纯形法）求解当前的限制主问题，得到当前最优解 λ* 和最重要的——对偶变量的值。
    • 设任务覆盖约束（Σ_i Σ_k d_{jk}^i * λ_{ik} = 1）对应的对偶变量为 π_j （每个任务 j 一个）。
    • 设凸组合约束（Σ_k λ_{ik} = 1）对应的对偶变量为 ω_i （每个工人 i 一个）。

步骤5：定价子问题——寻找“有负检验数”的新列

在单纯形法中，引入一个新变量（列）是否有利，取决于它的检验数（Reduced Cost）是否为负（对于最小化问题）。在我们的MP模型中，对于工人 i 的一个新模式（其决策变量为 λ_{i, new}），其检验数计算如下：

检验数 = c_{i, new} - Σ_j π_j * d_{j, new}^i - ω_i

其中，c_{i, new} = Σ_j c_{ij} * x_{ij}，d_{j, new}^i = x_{ij}。所以，
检验数 = Σ_j c_{ij} * x_{ij} - Σ_j π_j * x_{ij} - ω_i = Σ_j (c_{ij} - π_j) * x_{ij} - ω_i

我们的目标是：对于每个工人 i，尝试找到一个可行的新模式（即一组满足工人 i 自身能力约束的 x_{ij} ≥ 0），使得其检验数为负。 如果找到了，将这个新模式作为一列加入限制主问题，因为它有可能改进当前解。

这引导出 m 个独立的定价子问题，每个对应一个工人 i：

定价子问题 i（对工人 i）：
Minimize Σ_{j∈J} (c_{ij} - π_j) * x_{ij} - ω_i
Subject to:
Σ_{j∈J} a_{ij} * x_{ij} ≤ b_i
x_{ij} ≥ 0, ∀ j ∈ J

注意，ω_i 是一个常数。所以，子问题 i 等价于求解一个简单的线性规划（实际上是一个连续背包问题）：
Minimize Σ_{j∈J} (c_{ij} - π_j) * x_{ij}
Subject to:
Σ_{j∈J} a_{ij} * x_{ij} ≤ b_i
x_{ij} ≥ 0, ∀ j ∈ J

步骤6：列生成迭代过程

  1. 求解当前限制主问题，得到对偶变量 π 和 ω。
  2. 遍历所有工人 i，求解对应的定价子问题 i。
  3. 检查终止条件：如果对于所有工人 i，其定价子问题的最优值（即最小化的 Σ_j (c_{ij} - π_j) * x_{ij}）都大于等于 ω_i，那么意味着所有可能新列的检验数都 ≥ 0。根据线性规划的对偶理论，当前限制主问题的解就是原主问题（MP）的最优解，算法终止。
  4. 添加新列：如果存在某个工人 i’，其定价子问题的最优值 < ω_i’，那么我们就找到了一个检验数为负的新模式（由子问题的最优解 x_{ij}^* 定义）。将这个新模式添加到限制主问题中，对应工人 i’ 的新变量 λ_{i’, new}。其在该列中的系数为：
    • 在目标函数中的系数：c_{i’, new} = Σ_j c_{i’j} * x_{i’j}^*
    • 在任务覆盖约束 j 中的系数：d_{j, new}^{i’} = x_{i’j}^*
    • 在凸组合约束 i’ 中的系数：1
  5. 回到第1步，用新的列集合求解更新后的限制主问题。

步骤7：获取原问题解

当列生成算法终止时，我们得到了限制主问题（现在等价于完整MP）的最优解 λ*。我们需要将其“转换”回原问题的 x_{ij} 变量。

原问题的解为：对于每个工人 i 和任务 j，x*{ij} = Σ{k∈S_i} (x_{ij}^k * λ_{ik}^)，其中 x_{ij}^k 是模式 k 中工人 i 处理任务 j 的量，λ_{ik}^ 是主问题中该模式的使用程度。

总结与核心思路

这个算法的美妙之处在于，它将一个大规模线性规划（变量数为 m*n）分解为：

  1. 一个“主协调”问题：负责确保所有任务被覆盖，并协调各工人的模式选择。其规模只与任务数 n 和当前生成的列数有关，通常远小于 m*n。
  2. m 个“局部”子问题：每个子问题只关心一个工人，结构简单（一个资源约束的线性规划），可以并行高效求解。

通过迭代地在“主问题”和“子问题”之间交换对偶信息（π_j），算法能够“按需”生成有价值的决策模式，避免了对所有 m*n 种可能的分配组合进行显式枚举和存储，从而能够高效求解大规模的广义指派问题。这正是列生成和Dantzig-Wolfe分解在处理具有可分离结构的大规模线性规划时的威力所在。

基于线性规划的“广义指派问题”建模、分解与列生成算法求解示例 我将为您讲解一个尚未出现在列表中的线性规划算法题目。这次我们聚焦于 广义指派问题 ，并介绍如何利用线性规划的 Dantzig-Wolfe分解 和 列生成算法 来高效求解大规模实例。与基本的指派问题（如一人一任务）不同，广义指派问题允许一个任务被多个工人（或机器）以不同的效率和成本部分完成，但每个工人的总工作量有限制，且每个任务必须被完全完成。这在实际的资源分配、生产调度中非常常见。 题目描述 假设我们有一组工人（或机器）集合 I = {1, 2, ..., m} 和一组任务集合 J = {1, 2, ..., n}。每个工人 i 拥有一个工作能力（如时间、产能）上限 b_ i。将任务 j 分配给工人 i 来处理，会产生一个成本 c_ {ij}（例如耗时、费用），并且会消耗工人 i 的 a_ {ij} 单位能力。我们的目标是：为每一个任务 j 选择一个或多个工人来共同完成（即允许“拆分”任务），使得总成本最小，同时满足： 每个任务 j 必须被 完全 处理（需求量为1个单位）。 每个工人 i 处理所分配任务的总资源消耗不超过其能力上限 b_ i。 任务 j 分配给工人 i 的比例（或数量）x_ {ij} 是非负的。 这是一个经典的、可以建模为线性规划的问题，但直接求解大规模问题（m, n 很大）可能效率不高。列生成算法通过将问题分解，迭代地只生成“有潜力”的决策变量（列）来构建和求解一个简化模型，从而高效处理大规模问题。 解题过程循序渐进讲解 步骤1：建立标准线性规划模型 我们先建立问题的紧凑线性规划模型，称为 紧凑公式 。 决策变量 ：令 x_ {ij} ≥ 0 表示任务 j 分配给工人 i 的比例（或数量）。由于每个任务的总需求为1，这里的 x_ {ij} 可以理解为工人 i 承担任务 j 的比例。 目标函数 ：最小化总成本。Minimize: Σ_ {i∈I} Σ_ {j∈J} c_ {ij} * x_ {ij} 约束条件 ： 任务覆盖约束 ：每个任务必须被完全分配。对于每个任务 j ∈ J: Σ_ {i∈I} x_ {ij} = 1 工人能力约束 ：每个工人的资源消耗不能超过上限。对于每个工人 i ∈ I: Σ_ {j∈J} a_ {ij} * x_ {ij} ≤ b_ i 非负约束 ：x_ {ij} ≥ 0，对所有 i, j。 这个模型是一个线性规划，可以用单纯形法等直接求解。但当 m 和 n 都很大时，变量和约束的数量（m* n + m + n）会变得非常庞大，直接求解计算负担重。 步骤2：Dantzig-Wolfe分解——识别可分解结构 观察上述模型，约束可以被分成两组： 耦合约束 ：任务覆盖约束（Σ_ {i∈I} x_ {ij} = 1）将 所有工人 联系在了一起，是“耦合”的。 独立约束 ：工人能力约束（Σ_ {j∈J} a_ {ij} * x_ {ij} ≤ b_ i）是 按工人分离 的。每个工人的约束只涉及分配给该工人的变量 {x_ {ij} | j ∈ J}。 这种结构是Dantzig-Wolfe分解的完美应用场景。我们可以将原问题重新表述。 核心思想 ：对于每个工人 i，考虑其 所有可行的工作安排 。一个工作安排是指为该工人 i 分配一组任务及其处理量 (x_ {i1}, x_ {i2}, ..., x_ {in})，满足其自身的能力约束 Σ_ j a_ {ij} x_ {ij} ≤ b_ i 和 x_ {ij} ≥ 0。这样的一个可行安排称为一个“模式”或“列”。 由于每个工人的可行安排集合（称为 多面体 P_ i）可能包含无穷多个点（因为 x_ {ij} 是连续的），我们无法枚举所有模式。Dantzig-Wolfe分解告诉我们，原问题的最优解可以表示为各个工人可行多面体 P_ i 中 极点 的凸组合。 步骤3：构建主问题（Master Problem, MP）和定价子问题（Pricing Subproblem, PSP） 基于分解思想，我们构建一个等价的新模型： 主问题（MP）决策变量 ：假设我们（暂时）知道工人 i 的所有可行模式的集合 S_ i。设 λ_ {ik} 是一个连续变量，表示在最终解中，工人 i 采用其第 k 个模式的程度（比例）。注意，对于一个工人，我们可以组合使用多个模式。 主问题（MP）模型 ： 设对于工人 i 的可行模式 k，其参数为： c_ {ik} = 该模式的成本 = Σ_ j c_ {ij} * x_ {ij}^k d_ {jk}^i = 该模式处理任务 j 的量 = x_ {ij}^k 目标 ：Minimize Σ_ {i∈I} Σ_ {k∈S_ i} c_ {ik} * λ_ {ik} 约束 ： 任务覆盖约束 ：对于每个任务 j，所有工人所有模式对其的处理量总和必须为1。即：Σ_ {i∈I} Σ_ {k∈S_ i} d_ {jk}^i * λ_ {ik} = 1, ∀ j ∈ J。 凸组合约束 ：对于每个工人 i，其使用的所有模式的程度之和为1（这意味着工人 i 的工作安排是它所有可行模式的一个凸组合）。即：Σ_ {k∈S_ i} λ_ {ik} = 1, ∀ i ∈ I。 非负约束 ：λ_ {ik} ≥ 0。 这个MP模型与原问题等价，但变量是 λ_ {ik}。如果我们能枚举所有 S_ i，MP 可以直接求解。但 S_ i 是无穷集，我们无法全部列出。 列生成算法 的智慧在于： 我们不需要一开始就知道所有 S_ i 。我们从每个工人 i 的一个很小的、初始的可行模式集合 S_ i'（可能只是一个简单模式，比如不处理任何任务，即零模式）开始，求解一个 限制主问题 。 步骤4：初始限制主问题与对偶变量 初始化 ：为每个工人 i 构建一个或多个简单的可行模式，加入 S_ i'。最常用的初始模式是“空模式”（所有 x_ {ij}=0），其成本为0，不处理任何任务。这保证了限制主问题是可行的（虽然任务覆盖约束可能无法满足，可能需要引入人工变量或使用其他启发式方法生成更好的初始列，这里为简化，我们假设初始模式集合能使限制主问题可行）。 求解限制主问题 ：用线性规划求解器（如单纯形法）求解当前的限制主问题，得到当前最优解 λ* 和最重要的—— 对偶变量 的值。 设任务覆盖约束（Σ_ i Σ_ k d_ {jk}^i * λ_ {ik} = 1）对应的 对偶变量 为 π_ j （每个任务 j 一个）。 设凸组合约束（Σ_ k λ_ {ik} = 1）对应的 对偶变量 为 ω_ i （每个工人 i 一个）。 步骤5：定价子问题——寻找“有负检验数”的新列 在单纯形法中，引入一个新变量（列）是否有利，取决于它的 检验数 （Reduced Cost）是否为负（对于最小化问题）。在我们的MP模型中，对于工人 i 的一个新模式（其决策变量为 λ_ {i, new}），其检验数计算如下： 检验数 = c_ {i, new} - Σ_ j π_ j * d_ {j, new}^i - ω_ i 其中，c_ {i, new} = Σ_ j c_ {ij} * x_ {ij}，d_ {j, new}^i = x_ {ij}。所以， 检验数 = Σ_ j c_ {ij} * x_ {ij} - Σ_ j π_ j * x_ {ij} - ω_ i = Σ_ j (c_ {ij} - π_ j) * x_ {ij} - ω_ i 我们的目标是：对于每个工人 i，尝试找到一个可行的新模式（即一组满足工人 i 自身能力约束的 x_ {ij} ≥ 0），使得其检验数为负。 如果找到了，将这个新模式作为一列加入限制主问题，因为它有可能改进当前解。 这引导出 m 个独立的 定价子问题 ，每个对应一个工人 i： 定价子问题 i（对工人 i） ： Minimize Σ_ {j∈J} (c_ {ij} - π_ j) * x_ {ij} - ω_ i Subject to: Σ_ {j∈J} a_ {ij} * x_ {ij} ≤ b_ i x_ {ij} ≥ 0, ∀ j ∈ J 注意，ω_ i 是一个常数。所以， 子问题 i 等价于求解一个简单的线性规划（实际上是一个连续背包问题） ： Minimize Σ_ {j∈J} (c_ {ij} - π_ j) * x_ {ij} Subject to: Σ_ {j∈J} a_ {ij} * x_ {ij} ≤ b_ i x_ {ij} ≥ 0, ∀ j ∈ J 步骤6：列生成迭代过程 求解当前限制主问题 ，得到对偶变量 π 和 ω。 遍历所有工人 i ，求解对应的定价子问题 i。 检查终止条件 ：如果对于 所有 工人 i，其定价子问题的最优值（即最小化的 Σ_ j (c_ {ij} - π_ j) * x_ {ij}）都 大于等于 ω_ i ，那么意味着所有可能新列的检验数都 ≥ 0。根据线性规划的对偶理论，当前限制主问题的解就是 原主问题（MP）的最优解 ，算法终止。 添加新列 ：如果存在某个工人 i’，其定价子问题的最优值 < ω_ i’，那么我们就找到了一个检验数为负的新模式（由子问题的最优解 x_ {ij}^* 定义）。将这个新模式添加到限制主问题中，对应工人 i’ 的新变量 λ_ {i’, new}。其在该列中的系数为： 在目标函数中的系数：c_ {i’, new} = Σ_ j c_ {i’j} * x_ {i’j}^* 在任务覆盖约束 j 中的系数：d_ {j, new}^{i’} = x_ {i’j}^* 在凸组合约束 i’ 中的系数：1 回到第1步，用新的列集合求解更新后的限制主问题。 步骤7：获取原问题解 当列生成算法终止时，我们得到了限制主问题（现在等价于完整MP）的最优解 λ* 。我们需要将其“转换”回原问题的 x_ {ij} 变量。 原问题的解为：对于每个工人 i 和任务 j，x* {ij} = Σ {k∈S_ i} (x_ {ij}^k * λ_ {ik}^ )，其中 x_ {ij}^k 是模式 k 中工人 i 处理任务 j 的量，λ_ {ik}^ 是主问题中该模式的使用程度。 总结与核心思路 这个算法的美妙之处在于，它将一个大规模线性规划（变量数为 m* n）分解为： 一个“主协调”问题 ：负责确保所有任务被覆盖，并协调各工人的模式选择。其规模只与任务数 n 和当前生成的列数有关，通常远小于 m* n。 m 个“局部”子问题 ：每个子问题只关心一个工人，结构简单（一个资源约束的线性规划），可以 并行高效求解 。 通过迭代地在“主问题”和“子问题”之间交换对偶信息（π_ j），算法能够“按需”生成有价值的决策模式，避免了对所有 m* n 种可能的分配组合进行显式枚举和存储，从而能够高效求解大规模的广义指派问题。这正是列生成和Dantzig-Wolfe分解在处理具有可分离结构的大规模线性规划时的威力所在。