SHA-256哈希算法中的Ch和Maj位运算函数的定义、作用与计算过程
好的，这是一个非常具体且重要的算法细节。在SHA-256算法中，其压缩函数的核心是64轮的迭代运算，而Ch和Maj是其中两个关键的非线性逻辑函数。理解它们对于掌握SHA-256如何实现混淆和扩散至关重要。
题目描述
SHA-256算法在处理每一个512位的消息分组时，会将其与当前的哈希中间值（8个32位字，记作a, b, c, d, e, f, g, h）一起，通过一个包含64轮运算的压缩函数进行迭代。在每一轮中，算法会更新这8个字的状态。Ch 和 Maj 函数是更新状态时用于引入强非线性的核心布尔函数。请详细解释这两个函数的定义、它们在SHA-256压缩函数轮运算中的作用（即为什么需要它们），并逐步演示其计算过程。
解题过程
我们将循序渐进地分解这个问题，从背景、定义、作用，再到计算。
第一步：前置知识回顾
SHA-256压缩函数的一次轮运算（第t轮）可以概括为以下两步：
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计算中间变量：
T1 = h + Σ1(e) + Ch(e, f, g) + Kt + Wt
T2 = Σ0(a) + Maj(a, b, c) -
更新状态寄存器（向右旋转赋值）：
h = g
g = f
f = e
e = d + T1
d = c
c = b
b = a
a = T1 + T2
其中：
a到h是8个32位的状态变量。Σ0和Σ1是循环右移和位移的组合函数（这里不是重点，但知道它们提供线性扩散）。Kt是第t轮的常量。Wt是由当前消息分组扩展出来的第t个字。Ch和Maj就是我们要重点讲解的非线性函数。
第二步：Ch 函数的定义与计算
Ch 是“选择”函数的缩写，也常被描述为“条件”函数或“位复用”函数。
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定义：
Ch(x, y, z) = (x & y) ⊕ (~x & z)&表示按位与。~表示按位取反。⊕表示按位异或。
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直观含义：
这个函数的功能是：根据第一个输入x的每一位的值，来选择第二个输入y或第三个输入z的对应位。- 如果
x的某一位是1，则选择y的对应位。 - 如果
x的某一位是0，则选择z的对应位。
- 如果
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计算过程示例：
假设我们有三个4位数（为简化演示，实际是32位）：
x = 1100(二进制)
y = 1010
z = 0111我们按位计算
Ch(x, y, z)：- 从最高位（最左）开始：
x的最高位是1，所以选择y的对应位1。公式验证：(1 & 1) ⊕ (~1 & 0) = (1) ⊕ (0 & 0) = 1 ⊕ 0 = 1。
- 下一位：
x的位是1，选择y的位0。(1 & 0) ⊕ (0 & 1) = 0 ⊕ 0 = 0。
- 下一位：
x的位是0，选择z的位1。(0 & 1) ⊕ (1 & 1) = 0 ⊕ 1 = 1。
- 最低位：
x的位是0，选择z的位1。(0 & 0) ⊕ (1 & 1) = 0 ⊕ 1 = 1。
所以，
Ch(1100, 1010, 0111) = 1011。在SHA-256的实际轮运算中，
Ch(e, f, g)意味着：根据e的每一位，从f和g中选择一位。这有效地将e, f, g三个变量的信息非线性地混合在一起。 - 从最高位（最左）开始：
第三步：Maj 函数的定义与计算
Maj 是“多数”函数的缩写。
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定义：
Maj(x, y, z) = (x & y) ⊕ (x & z) ⊕ (y & z)- 也等价于：取
x, y, z三个输入中，在每一位上占多数的值（0或1）。
- 也等价于：取
-
直观含义：
这个函数实现了多数表决逻辑。对于三个输入x, y, z的每一个对应位，输出该位上出现次数较多的值（0或1）。由于是三个输入，不会出现平局。 -
计算过程示例：
同样使用：x = 1100,y = 1010,z = 0111- 最高位：
x=1, y=1, z=0。多数值是1。公式：(1&1)⊕(1&0)⊕(1&0)=1⊕0⊕0=1。 - 下一位：
x=1, y=0, z=1。多数值是1（1和1）。(1&0)⊕(1&1)⊕(0&1)=0⊕1⊕0=1。 - 下一位：
x=0, y=1, z=1。多数值是1。(0&1)⊕(0&1)⊕(1&1)=0⊕0⊕1=1。 - 最低位：
x=0, y=0, z=1。多数值是0。(0&0)⊕(0&1)⊕(0&1)=0⊕0⊕0=0。
所以，
Maj(1100, 1010, 0111) = 1110。在SHA-256中，
Maj(a, b, c)对a, b, c三个状态变量进行多数表决，这同样是一个非常高效的非线性混合操作。 - 最高位：
第四步：Ch 和 Maj 的作用与重要性
理解了它们是什么之后，我们来看它们为什么如此重要：
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非线性性的主要来源：哈希函数的安全性严重依赖于其非线性程度。线性运算（如单纯的异或、移位）很容易通过数学工具进行分析和攻击。
Ch和Maj是比特级的非线性布尔函数。它们确保输入比特的微小变化，会导致输出比特以不可预测的、复杂的方式变化。这是满足严格雪崩准则和抗碰撞性的基础。 -
不同的混合角色：
Ch函数：在SHA-256的轮函数中，Ch作用于e, f, g。它的“选择”特性，使得e的状态能够动态地控制f和g对最终结果的贡献比例。这创造了一种数据相关的混合，增强了算法对输入变化的敏感性。Maj函数：在SHA-256的轮函数中，Maj作用于a, b, c。它的“多数表决”特性，使得这三个状态变量的信息以一种稳健的、类似纠错码的方式合并。即使其中一个变量因之前的运算而“出错”（被恶意操纵），多数表决也能在一定程度上保持状态的稳定性，这有助于保证哈希过程的一致性，同时其非线性性又保证了安全性。
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与线性函数互补：压缩函数中的
Σ0和Σ1是线性函数（循环右移和异或），它们主要提供快速的位扩散（diffusion）。Ch和Maj则提供混淆（confusion）。两者结合，共同实现了香农提出的密码学安全设计的两个基本原则：混淆与扩散。混淆使得密钥（在这里是数据和状态）与密文（哈希值）之间的关系变得复杂；扩散使得明文的统计特性（在这里是输入消息的特性）消散在密文中。 -
计算效率高：尽管功能强大，但
Ch和Maj在硬件和软件上都只需要非常简单的位运算（与、或非、异或）即可实现，效率极高。这使得SHA-256在提供高安全性的同时，也能保持出色的性能。
总结
在SHA-256算法的核心——压缩函数的每一轮中：
Ch(e, f, g)是一个条件选择函数，它根据e的比特，在f和g之间进行选择，实现了数据依赖的非线性混合。Maj(a, b, c)是一个多数表决函数，它输出a, b, c中占多数的比特值，提供了稳健的非线性合并。
它们与线性扩散函数Σ0、Σ1以及轮常量Kt、消息字Wt相结合，在64轮迭代中，对状态变量进行极其复杂、不可逆的变换，最终使得输出的256位哈希值对输入消息的任何改动都极其敏感，从而满足了密码学哈希函数所需的各项安全属性。它们是理解SHA-256何以坚固耐用的关键内部构造之一。