无向图的最小费用最大循环流问题
字数 5001 2025-12-23 08:01:24

无向图的最小费用最大循环流问题

题目描述

给定一个无向连通图 \(G = (V, E)\)，其中每条边 \(e \in E\) 有两个属性：容量 \(c(e) > 0\)（表示该边最多能承载的流量）和单位费用 \(w(e)\)（可正可负，表示沿该边输送一单位流量所产生的成本）。图中没有源点和汇点，也不要求流量守恒。我们的目标是：在图中找到一个“循环流”（即每条边 \(e\) 有一个方向，我们为其分配一个非负流量 \(f(e)\)，且 \(f(e) \le c(e)\)），并最小化所有边上的总费用，即 \(\sum_{e \in E} w(e) \cdot f(e)\)。 由于没有流量守恒约束，此问题可以建模为在容量约束下，寻找一个使总费用最小的有向循环流。

解题过程

这个问题的关键是将无向图转化为一个有向图网络，使得我们能够利用现有算法（如负权环检测、最小费用流）来求解。下面分步骤讲解。

步骤1：问题转化——将无向边转化为两条有向边

在传统的有向图网络流问题中，每条有向边有明确的容量和费用。但这里我们的图是无向的。为了应用已知算法，我们将每条无向边 \(e = (u, v)\) 拆分为两条方向相反的有向边：

  • 一条从 \(u\) 到 \(v\) 的边 \(e_1\)，容量为 \(c(e)\)，费用为 \(w(e)\)。
  • 一条从 \(v\) 到 \(u\) 的边 \(e_2\)，容量为 \(c(e)\)，费用为 \(w(e)\)。

为什么这样做？因为在实际的循环流中，流量可以从 \(u\) 流向 \(v\)，也可以从 \(v\) 流向 \(u\)，但不能同时双向流动（因为我们最终要赋予每条边一个方向和一个流量值）。不过，我们暂时先允许两条方向边都承载流量，稍后会通过约束保证不会出现双向流动的情况。

现在，我们得到一个有向图 \(D = (V, A)\)，其中 \(|A| = 2|E|\)。每条弧 \(a \in A\) 有容量 \(c(a)\) 和费用 \(w(a)\)。目标是找到一个流 \(f: A \to \mathbb{R}_{\ge 0}\)，满足：

  1. \(0 \le f(a) \le c(a)\) 对每条弧 \(a \in A\)（容量约束）。
  2. 最小化总费用 \(\sum_{a \in A} w(a) \cdot f(a)\)。

注意：这个有向图仍然没有流量守恒约束（即节点的净流入不必为零），所以它是一个非常宽松的模型。

步骤2：引入“不允许双向流动”约束

在原问题中，每条无向边只能选择一个方向来承载流量。但在我们当前的有向图模型中，一条无向边对应的两条反向弧可能同时有正流量（即同时有从 \(u\) 到 \(v\) 和从 \(v\) 到 \(u\) 的流量），这相当于无向边内部有“循环”，会导致无意义的流量和增加不必要的费用。

我们需要添加约束：对于每条原无向边 \(e = (u, v)\) 对应的两条弧 \(a_{uv}\) 和 \(a_{vu}\)，必须满足 \(f(a_{uv}) \cdot f(a_{vu}) = 0\)，即至少有一个为0。这等价于说，这两条弧上的流量之和不能超过容量 \(c(e)\)，且不能两条同时为正。

一个巧妙的处理方法是：将容量约束改为：对于每条无向边 \(e\)，两条反向弧的流量之和不超过 \(c(e)\)，即 \(f(a_{uv}) + f(a_{vu}) \le c(e)\)。这样，如果两条弧都为正，其和不超过容量，但可能会违反“不能双向”的原则吗？实际上，如果费用为正，同时分配双向流量只会增加总费用，不是最优解；如果费用为负，同时分配双向流量会减少总费用，但我们可以通过检查是否存在负费用有向环来避免这种情况。

步骤3：最优解的结构与负环检测

在没有流量守恒约束、只有容量约束的流问题中，最优解的结构很简单：

  • 如果一条边的费用 \(w(e) > 0\)，我们尽量分配 0 流量 以最小化成本。
  • 如果一条边的费用 \(w(e) < 0\)，我们尽量分配 最大容量 \(c(e)\) 的流量，因为负费用意味着“输送流量能赚钱”，我们想尽可能多输送。
  • 但要注意：我们不能独立决定每条边，因为流量必须形成一个循环（即最终分配给每条边一个方向，并满足图作为一个整体是循环的）。实际上，我们可以证明：最优解一定可以表示为若干个有向环的叠加，每个环上的边方向一致，且环上每条边要么流量为0，要么为满容量。

更形式化地，我们可以将问题重述为：
寻找一个集合的有向环，每个环有一个流量值，环上的边方向一致，且每个环的流量乘以环上边的费用之和为负（否则加入该环会增加总费用）。我们想尽可能多地输送负费用环上的流量，直到某条边达到容量上限。

因此，算法思路是：

  1. 从零流开始。
  2. 在有向图 \(D\) 中，寻找一个负费用有向环（即环上所有边的费用之和为负）。
  3. 如果能找到这样的环，就尽可能多地增加该环上的流量（增加量受环上最小剩余容量限制）。
  4. 重复步骤2-3，直到找不到负费用有向环为止。此时得到最小费用循环流。

为什么？因为增加一个负费用环的流量会降低总费用，而无法再找到负费用环时，说明已达到局部最优（实际上也是全局最优，类似于最小费用流中的“负环最优性定理”）。

步骤4：算法实现细节

我们可以用 Bellman-Ford 算法（或其改进版本）来检测负环。但需要注意：我们的图允许负权边，且没有源点，所以不能直接运行单源最短路径算法。常用的方法是：

  1. 在图中添加一个超级源点 \(s\)，从 \(s\) 向所有其他节点连一条费用为0、容量为无穷大的边。
  2. 以 \(s\) 为源点，用 SPFA（Shortest Path Faster Algorithm）或带负环检测的 Bellman-Ford 计算最短路径距离 \(dist[v]\)。
  3. 根据距离 \(dist[v]\) 调整边的费用（类似于最小费用流中的“势能”方法），得到非负费用的图，然后在此图上找负环？ 等等，这里有点微妙。

实际上，更直接的方法是：

  • 我们维护当前流 \(f\)。
  • 根据 \(f\) 定义残量网络：每条弧 \(a\) 如果 \(f(a) < c(a)\)，则保留其原有方向，剩余容量为 \(c(a) - f(a)\)，费用为 \(w(a)\)；如果 \(f(a) > 0\)，则添加一条反向弧，容量为 \(f(a)\)，费用为 \(-w(a)\)（表示退流可减少费用）。
  • 在残量网络中找负费用有向环。若找到，则沿环增广。

步骤5：具体步骤举例

假设有一个无向三角形图，顶点 \(\{1, 2, 3\}\)，三条边：

  • \((1,2): c=3, w=2\)（正费用）
  • \((2,3): c=4, w=-1\)（负费用）
  • \((3,1): c=2, w=1\)（正费用）

步骤5.1 转化为有向图：
每条无向边变成两条有向弧，共6条弧，容量分别为3,3,4,4,2,2，费用分别为2,2,-1,-1,1,1。

步骤5.2 初始流 \(f = 0\)。

步骤5.3 构建初始残量网络：就是原图的所有弧，剩余容量等于原容量，费用不变。

步骤5.4 找负费用环：
环 \(2 \to 3 \to 1 \to 2\)（对应弧 \((2,3)\), \((3,1)\), \((1,2)\) 方向）费用和为 \((-1) + 1 + 2 = 2 > 0\)，不是负环。
环 \(2 \to 1 \to 3 \to 2\)（对应弧 \((2,1)\), \((1,3)\), \((3,2)\) 方向）费用和为 \(2 + 1 + (-1) = 2 > 0\)，也不是负环。
环 \(1 \to 3 \to 2 \to 1\)（对应弧 \((1,3)\), \((3,2)\), \((2,1)\) 方向）费用和为 \(1 + (-1) + 2 = 2 > 0\)。
看起来没有负环？等等，我们忽略了一个简单环： \(2 \to 3\) 和 \(3 \to 2\) 是一个长度为2的环，但它们是同一条无向边的反向弧，在原问题中不允许同时为正。不过，在我们的残量网络中，允许这样的“双向”环吗？如果我们尝试增加 \((2,3)\) 和 \((3,2)\) 上的流量，实际上相当于在原无向边 \((2,3)\) 上同时分配双向流量，这虽然可能降低总费用（因为费用为负），但违反原问题约束。所以，我们必须在构建残量网络时，避免出现这种“同一条无向边两条弧都在环中”的情况。

因此，我们需要修改残量网络的定义：对于每条无向边 \(e = (u,v)\) 对应的两条弧 \(a_{uv}\) 和 \(a_{vu}\)，如果当前 \(f(a_{uv}) + f(a_{vu}) < c(e)\)，则可以选择其中一条弧增加流量（但不能同时选择两条）。这可以通过在找环时添加约束来实现，但实现起来较复杂。

实际上，更常见的做法是：将无向边看作两个节点之间的一条“可双向流动”的边，但流量净值为 \(f_{uv} - f_{vu}\)，且要求 \(|f_{uv} - f_{vu}| \le c(e)\)。这样，我们可以将问题转化为一个带上下界的网络流问题，但这里不展开。

对于本例，直观最优解是：在负费用边 \((2,3)\) 上尽可能多输送流量，但由于需要形成循环，它必须和另外两条边一起构成环。实际上，环 \(1 \to 2 \to 3 \to 1\) 上，边 \((1,2)\) 和 \((3,1)\) 费用为正，所以输送流量会增加成本；因此，最优解可能就是零流，总费用为0。

步骤6：算法总结

  1. 输入：无向图 \(G=(V,E)\)，每条边容量 \(c(e)\)，费用 \(w(e)\)。
  2. 转化：构建有向图 \(D=(V,A)\)，每条无向边对应两条反向弧，容量均为 \(c(e)\)，费用均为 \(w(e)\)。
  3. 初始化：流 \(f = 0\)。
  4. 重复：
    • 构建残量网络：对每条弧 \(a \in A\)，如果 \(f(a) < c(a)\)，则保留正向弧，剩余容量 \(c(a)-f(a)\)，费用 \(w(a)\)；如果 \(f(a) > 0\)，则添加反向弧，容量 \(f(a)\)，费用 \(-w(a)\)。
    • 在残量网络中，运行 Bellman-Ford 或 SPFA 检测是否存在负费用有向环（注意：要避免检测到长度为2的“双向弧环”，这可通过标记每条无向边，确保环中不会同时包含同一无向边的两条弧）。
    • 如果找到负费用环 \(C\)，则计算环上最小剩余容量 \(\Delta = \min_{a \in C} residual\_capacity(a)\)。然后，沿环增加流量 \(\Delta\)（正向弧流量增加 \(\Delta\)，反向弧流量减少 \(\Delta\)）。
  5. 直到残量网络中无负费用环。
  6. 输出：最终流 \(f\)，总费用 \(\sum_{a \in A} w(a) \cdot f(a)\)。

复杂度：每次找负环需 \(O(|V||A|)\) 时间，最多增广 \(O(|V| \cdot \max c(e))\) 次（如果容量为整数），但通常用 scaling 技术优化。实践中，该算法在中小规模图上可行。

通过以上步骤，我们逐步将无向图的最小费用最大循环流问题，转化为有向图的负环检测与增广问题，从而得到最优解。

无向图的最小费用最大循环流问题 题目描述 给定一个无向连通图 \( G = (V, E) \)，其中每条边 \( e \in E \) 有两个属性：容量 \( c(e) > 0 \)（表示该边最多能承载的流量）和单位费用 \( w(e) \)（可正可负，表示沿该边输送一单位流量所产生的成本）。图中没有源点和汇点， 也不要求流量守恒 。我们的目标是：在图中找到一个“循环流”（即每条边 \( e \) 有一个方向，我们为其分配一个非负流量 \( f(e) \)，且 \( f(e) \le c(e) \)），并 最小化所有边上的总费用 ，即 \( \sum_ {e \in E} w(e) \cdot f(e) \)。 由于没有流量守恒约束，此问题可以建模为在容量约束下，寻找一个使总费用最小的 有向循环流 。 解题过程 这个问题的关键是将无向图转化为一个有向图网络，使得我们能够利用现有算法（如负权环检测、最小费用流）来求解。下面分步骤讲解。 步骤1：问题转化——将无向边转化为两条有向边 在传统的有向图网络流问题中，每条有向边有明确的容量和费用。但这里我们的图是无向的。为了应用已知算法，我们将每条无向边 \( e = (u, v) \) 拆分为 两条方向相反的有向边 ： 一条从 \( u \) 到 \( v \) 的边 \( e_ 1 \)，容量为 \( c(e) \)，费用为 \( w(e) \)。 一条从 \( v \) 到 \( u \) 的边 \( e_ 2 \)，容量为 \( c(e) \)，费用为 \( w(e) \)。 为什么这样做？因为在实际的循环流中，流量可以从 \( u \) 流向 \( v \)，也可以从 \( v \) 流向 \( u \)，但 不能同时双向流动 （因为我们最终要赋予每条边一个方向和一个流量值）。不过，我们暂时先允许两条方向边都承载流量，稍后会通过约束保证不会出现双向流动的情况。 现在，我们得到一个有向图 \( D = (V, A) \)，其中 \( |A| = 2|E| \)。每条弧 \( a \in A \) 有容量 \( c(a) \) 和费用 \( w(a) \)。目标是找到一个流 \( f: A \to \mathbb{R}_ {\ge 0} \)，满足： \( 0 \le f(a) \le c(a) \) 对每条弧 \( a \in A \)（容量约束）。 最小化总费用 \( \sum_ {a \in A} w(a) \cdot f(a) \)。 注意：这个有向图仍然 没有流量守恒约束 （即节点的净流入不必为零），所以它是一个非常宽松的模型。 步骤2：引入“不允许双向流动”约束 在原问题中，每条无向边只能选择一个方向来承载流量。但在我们当前的有向图模型中，一条无向边对应的两条反向弧可能同时有正流量（即同时有从 \( u \) 到 \( v \) 和从 \( v \) 到 \( u \) 的流量），这相当于无向边内部有“循环”，会导致无意义的流量和增加不必要的费用。 我们需要添加约束：对于每条原无向边 \( e = (u, v) \) 对应的两条弧 \( a_ {uv} \) 和 \( a_ {vu} \)，必须满足 \( f(a_ {uv}) \cdot f(a_ {vu}) = 0 \)，即至少有一个为0。这等价于说，这两条弧上的流量之和不能超过容量 \( c(e) \)，且不能两条同时为正。 一个巧妙的处理方法是： 将容量约束改为 ：对于每条无向边 \( e \)，两条反向弧的流量之和不超过 \( c(e) \)，即 \( f(a_ {uv}) + f(a_ {vu}) \le c(e) \)。这样，如果两条弧都为正，其和不超过容量，但可能会违反“不能双向”的原则吗？实际上，如果费用为正，同时分配双向流量只会增加总费用，不是最优解；如果费用为负，同时分配双向流量会减少总费用，但我们可以通过检查是否存在 负费用有向环 来避免这种情况。 步骤3：最优解的结构与负环检测 在没有流量守恒约束、只有容量约束的流问题中，最优解的结构很简单： 如果一条边的费用 \( w(e) > 0 \)，我们尽量分配 0 流量 以最小化成本。 如果一条边的费用 \( w(e) < 0 \)，我们尽量分配 最大容量 \( c(e) \) 的流量，因为负费用意味着“输送流量能赚钱”，我们想尽可能多输送。 但要注意：我们不能独立决定每条边，因为流量必须形成一个循环（即最终分配给每条边一个方向，并满足图作为一个整体是循环的）。实际上，我们可以证明：最优解一定可以表示为若干个 有向环的叠加 ，每个环上的边方向一致，且环上每条边要么流量为0，要么为满容量。 更形式化地，我们可以将问题重述为： 寻找一个集合的有向环，每个环有一个流量值，环上的边方向一致，且每个环的流量乘以环上边的费用之和为负（否则加入该环会增加总费用）。我们想尽可能多地输送负费用环上的流量，直到某条边达到容量上限。 因此，算法思路是： 从零流开始。 在有向图 \( D \) 中，寻找一个 负费用有向环 （即环上所有边的费用之和为负）。 如果能找到这样的环，就尽可能多地增加该环上的流量（增加量受环上最小剩余容量限制）。 重复步骤2-3，直到找不到负费用有向环为止。此时得到最小费用循环流。 为什么？因为增加一个负费用环的流量会降低总费用，而无法再找到负费用环时，说明已达到局部最优（实际上也是全局最优，类似于最小费用流中的“负环最优性定理”）。 步骤4：算法实现细节 我们可以用 Bellman-Ford 算法 （或其改进版本）来检测负环。但需要注意：我们的图允许负权边，且没有源点，所以不能直接运行单源最短路径算法。常用的方法是： 在图中添加一个 超级源点 \( s \) ，从 \( s \) 向所有其他节点连一条费用为0、容量为无穷大的边。 以 \( s \) 为源点，用 SPFA（Shortest Path Faster Algorithm）或带负环检测的 Bellman-Ford 计算最短路径距离 \( dist[ v ] \)。 根据距离 \( dist[ v] \) 调整边的费用（类似于最小费用流中的“势能”方法），得到 非负费用 的图，然后在此图上找负环？ 等等，这里有点微妙。 实际上，更直接的方法是： 我们维护当前流 \( f \)。 根据 \( f \) 定义 残量网络 ：每条弧 \( a \) 如果 \( f(a) < c(a) \)，则保留其原有方向，剩余容量为 \( c(a) - f(a) \)，费用为 \( w(a) \)；如果 \( f(a) > 0 \)，则添加一条反向弧，容量为 \( f(a) \)，费用为 \( -w(a) \)（表示退流可减少费用）。 在残量网络中找负费用有向环。若找到，则沿环增广。 步骤5：具体步骤举例 假设有一个无向三角形图，顶点 \( \{1, 2, 3\} \)，三条边： \( (1,2): c=3, w=2 \)（正费用） \( (2,3): c=4, w=-1 \)（负费用） \( (3,1): c=2, w=1 \)（正费用） 步骤5.1 转化为有向图： 每条无向边变成两条有向弧，共6条弧，容量分别为3,3,4,4,2,2，费用分别为2,2,-1,-1,1,1。 步骤5.2 初始流 \( f = 0 \)。 步骤5.3 构建初始残量网络：就是原图的所有弧，剩余容量等于原容量，费用不变。 步骤5.4 找负费用环： 环 \( 2 \to 3 \to 1 \to 2 \)（对应弧 \( (2,3) \), \( (3,1) \), \( (1,2) \) 方向）费用和为 \( (-1) + 1 + 2 = 2 > 0 \)，不是负环。 环 \( 2 \to 1 \to 3 \to 2 \)（对应弧 \( (2,1) \), \( (1,3) \), \( (3,2) \) 方向）费用和为 \( 2 + 1 + (-1) = 2 > 0 \)，也不是负环。 环 \( 1 \to 3 \to 2 \to 1 \)（对应弧 \( (1,3) \), \( (3,2) \), \( (2,1) \) 方向）费用和为 \( 1 + (-1) + 2 = 2 > 0 \)。 看起来没有负环？等等，我们忽略了一个简单环： \( 2 \to 3 \) 和 \( 3 \to 2 \) 是一个长度为2的环，但它们是同一条无向边的反向弧，在原问题中不允许同时为正。不过，在我们的残量网络中，允许这样的“双向”环吗？如果我们尝试增加 \( (2,3) \) 和 \( (3,2) \) 上的流量，实际上相当于在原无向边 \( (2,3) \) 上同时分配双向流量，这虽然可能降低总费用（因为费用为负），但违反原问题约束。所以，我们必须在构建残量网络时，避免出现这种“同一条无向边两条弧都在环中”的情况。 因此，我们需要修改残量网络的定义：对于每条无向边 \( e = (u,v) \) 对应的两条弧 \( a_ {uv} \) 和 \( a_ {vu} \)，如果当前 \( f(a_ {uv}) + f(a_ {vu}) < c(e) \)，则可以选择其中一条弧增加流量（但不能同时选择两条）。这可以通过在找环时添加约束来实现，但实现起来较复杂。 实际上，更常见的做法是：将无向边看作两个节点之间的一条“可双向流动”的边，但流量净值为 \( f_ {uv} - f_ {vu} \)，且要求 \( |f_ {uv} - f_ {vu}| \le c(e) \)。这样，我们可以将问题转化为一个带上下界的网络流问题，但这里不展开。 对于本例，直观最优解是：在负费用边 \( (2,3) \) 上尽可能多输送流量，但由于需要形成循环，它必须和另外两条边一起构成环。实际上，环 \( 1 \to 2 \to 3 \to 1 \) 上，边 \( (1,2) \) 和 \( (3,1) \) 费用为正，所以输送流量会增加成本；因此，最优解可能就是零流，总费用为0。 步骤6：算法总结 输入 ：无向图 \( G=(V,E) \)，每条边容量 \( c(e) \)，费用 \( w(e) \)。 转化 ：构建有向图 \( D=(V,A) \)，每条无向边对应两条反向弧，容量均为 \( c(e) \)，费用均为 \( w(e) \)。 初始化 ：流 \( f = 0 \)。 重复 ： 构建残量网络：对每条弧 \( a \in A \)，如果 \( f(a) < c(a) \)，则保留正向弧，剩余容量 \( c(a)-f(a) \)，费用 \( w(a) \)；如果 \( f(a) > 0 \)，则添加反向弧，容量 \( f(a) \)，费用 \( -w(a) \)。 在残量网络中，运行 Bellman-Ford 或 SPFA 检测是否存在负费用有向环（注意：要避免检测到长度为2的“双向弧环”，这可通过标记每条无向边，确保环中不会同时包含同一无向边的两条弧）。 如果找到负费用环 \( C \)，则计算环上最小剩余容量 \( \Delta = \min_ {a \in C} residual\_capacity(a) \)。然后，沿环增加流量 \( \Delta \)（正向弧流量增加 \( \Delta \)，反向弧流量减少 \( \Delta \)）。 直到 残量网络中无负费用环。 输出 ：最终流 \( f \)，总费用 \( \sum_ {a \in A} w(a) \cdot f(a) \)。 复杂度 ：每次找负环需 \( O(|V||A|) \) 时间，最多增广 \( O(|V| \cdot \max c(e)) \) 次（如果容量为整数），但通常用 scaling 技术优化。实践中，该算法在中小规模图上可行。 通过以上步骤，我们逐步将无向图的最小费用最大循环流问题，转化为有向图的负环检测与增广问题，从而得到最优解。