好的，我注意到“最长公共子序列（LCS）问题（带权重版本）”没有作为一个独立的、详细的题目在您的列表中系统地讲解过。我们就以此为题。

题目：带权重的最长公共子序列（Weighted Longest Common Subsequence）

题目描述：

给定两个字符串 text1 和 text2，长度分别为 m 和 n。同时，给你一个字母权重映射表 weight，weight[c] 表示字符 c 的权重值（假设权重为非负整数）。两个字符串的公共子序列定义为：在两个字符串中按原顺序（不必连续）挑选出一些字符，这些字符按顺序排列起来的字符串是相同的。

带权重的最长公共子序列（WLCS） 的目标不是寻找最长的公共子序列（按字符个数），而是寻找所有公共子序列中，其组成字符的权重和最大的那个序列的权重和。

例如：

text1 = "ABCBDAB"
text2 = "BDCABA"
weight: {'A': 2, 'B': 3, 'C': 1, 'D': 4}

在这个例子中，字符串 "BCBA" 是一个公共子序列，其权重和为 3(B) + 1(C) + 3(B) + 2(A) = 9。
字符串 "BDAB" 也是一个公共子序列，其权重和为 3 + 4 + 2 + 3 = 12。
你的任务就是找到这个最大的权重和。

解题过程（区间动态规划思路）：

标准的 LCS 问题是区间动态规划（或者说二维DP）的经典问题。WLCS 是其一个自然的变种。

1. 定义状态：
   我们定义 dp[i][j] 为：考虑 text1 的前 i 个字符（即 text1[0...i-1]）和 text2 的前 j 个字符（即 text2[0...j-1]）时，所能得到的 最大权重和的公共子序列的权重和。

   • i 的取值范围是 0 到 m。
   • j 的取值范围是 0 到 n。
   • dp[0][j] 表示 text1 为空字符串，dp[i][0] 表示 text2 为空字符串。这些情况下，公共子序列只能是空序列，权重和为 0。

2. 状态转移方程（核心）：
   对于 i > 0 且 j > 0 的情况，我们需要考虑 text1[i-1] 和 text2[j-1] 这两个字符（注意下标偏移，i-1 对应第 i 个字符）。

   • 情况一：这两个字符相等（text1[i-1] == text2[j-1]）
     这是一个很好的匹配。我们可以选择将这两个字符加入到最优的公共子序列中。
     如果加入，那么权重和就是 dp[i-1][j-1]（前 i-1 和 前 j-1 个字符的最佳结果）加上这个字符的权重 weight[text1[i-1]]。
     当然，我们也可以选择不加入它们，那么最优结果就来自于另外两种情况（见情况二）。由于我们要求最大值，所以取“加入”和“不加入”中的较大者。
     因此转移方程为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1] + weight[text1[i-1]], dp[i-1][j], dp[i][j-1])

   • 情况二：这两个字符不相等（text1[i-1] != text2[j-1]）
     那么它们不可能同时出现在一个公共子序列的同一位置。最优的公共子序列可能来自于：

     1. 不考虑 text1[i-1]，只考虑 text1 前 i-1 和 text2 前 j 个字符，即 dp[i-1][j]。
     2. 不考虑 text2[j-1]，只考虑 text1 前 i 和 text2 前 j-1 个字符，即 dp[i][j-1]。
        我们需要取这两者中的最大值。
        因此转移方程为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])

   合并简化：
   仔细观察，情况一中的 max(dp[i-1][j-1] + weight, dp[i-1][j], dp[i][j-1])，由于 dp[i-1][j] 和 dp[i][j-1] 可能已经包含了 dp[i-1][j-1] 的信息（dp 值单调不减），并且情况二的转移与之相同，我们可以得到一个更统一的写法，这在编程实现时更简洁：

   if text1[i-1] == text2[j-1]:
       dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + weight[text1[i-1]]
   else:
       dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
   

   注意，这个简化形式在标准 LCS（求长度）中是等价的，但对于带权重的版本，这个写法也是正确的，因为它清晰地表达了：只有当字符匹配时，我们才能“赚取”这个字符的权重。

3. 初始化：
   根据定义，当其中一个字符串为空时，最大权重和为 0。

   dp[0][j] = 0, 对于所有 j 从 0 到 n
   dp[i][0] = 0, 对于所有 i 从 0 到 m
   

4. 计算顺序与最终答案：
   由于 dp[i][j] 依赖于 dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i][j-1]，我们可以按 i 从 1 到 m，j 从 1 到 n 的顺序，用双重循环来计算。
   最终，dp[m][n] 就是我们要的答案，即考虑整个 text1 和 text2 时，带权重的公共子序列的最大权重和。

5. 举例验证（使用题目中的例子）：
   text1 = "ABCBDAB", text2 = "BDCABA", weight = {'A':2, 'B':3, 'C':1, 'D':4}

   我们构建 dp 表（8x7，包含空串行/列）：

   • 初始化首行首列为 0。
   • i=1, j=1: text1[0]='A', text2[0]='B'，不相等，dp[1][1] = max(dp[0][1], dp[1][0]) = max(0,0) = 0
   • i=1, j=2: 'A' != 'D', dp[1][2] = max(dp[0][2], dp[1][1]) = max(0,0) = 0
   • ... 继续计算直到匹配发生。
   • i=2, j=1: 'B' == 'B'，匹配！dp[2][1] = dp[1][0] + weight['B'] = 0 + 3 = 3
   • i=3, j=2: 'C' == 'C'，匹配！dp[3][2] = dp[2][1] + weight['C'] = 3 + 1 = 4
   • i=4, j=3: 'B' == 'B'，匹配！dp[4][3] = dp[3][2] + weight['B'] = 4 + 3 = 7
   • ... 最终计算到 dp[7][6]。

   完整计算后，dp[7][6]（即 dp[m][n]）的值就是我们寻找的最大权重和。你可以手动或编程验证，最终结果为 12，对应的一个最优公共子序列是 "BDAB" (权重 3+4+2+3=12) 或 "BCAB" (权重 3+1+2+3=9) 中的最大值自然是 12。

复杂度分析：

• 时间复杂度： O(m * n)，因为我们需要填充一个大小为 (m+1) * (n+1) 的 DP 表。
• 空间复杂度： O(m * n)，如果使用完整的二维数组。可以通过滚动数组优化到 O(min(m, n))，因为计算 dp[i][j] 时只依赖于当前行和前一行。