这里 $\rho(x)$ 是给定的权函数，定义了内积 $\langle u, v \rangle = \int_{a}^{b} \rho(x) u(x) v(x) dx$。

这构成了一个 $n \times n$ 的线性方程组，用于确定 $p(x)$ 的系数。

其中 $\delta_{ij}$ 是克罗内克δ函数。

系数 $c_j$ 正是 $f(x)$ 在这组基上的“投影”：$c_j = \langle f, \phi_j \rangle$。

注意到 $\phi_1(x)$ 通常取为常数（例如1），而其他高阶正交多项式与常数（$\phi_1$）的内积为0（因为它们正交）。因此：

设 $\phi_1(x) = a$（常数），则 $\langle \phi_1, \phi_1 \rangle = a^2 \int_a^b \rho(x) dx = 1$，可以确定 $a$。
最终，只有 $j=1$ 的项有贡献：

这看起来不像一个方便的求积公式。我们需要最后一步转化。

交换求和与积分：

并且，对于 $k=1$（对应 $\phi_1(x)=常数$），我们得到：

其中权重 $w_i = \int_a^b \rho(x) L_i(x) dx$。

其中：
*   节点 $\{x_i\}$ 是 $n$ 次正交多项式 $q_n(x)$（关于权函数 $\rho(x)$）的零点。
*   权重 $\{w_i\}$ 由 $w_i = \int_a^b \rho(x) L_i(x) dx$ 给出，$L_i(x)$ 是以 $x_i$ 为节点的拉格朗日基函数。

    其中 $s(x)$ 和 $r(x)$ 的次数都小于 $n$。
*   计算积分：

*   计算求积公式：

*   由于 $r(x)$ 是次数 $< n$ 的多项式，而我们的求积公式是由 $n$ 个节点的插值多项式积分得来，它对所有 $n-1$ 次多项式是精确的。因此：

*   综上，$\int_a^b \rho(x) f(x) dx = \sum_{i=1}^n w_i f(x_i)$，对任意 $2n-1$ 次多项式精确成立。**代数精度为 $2n-1$ 得证**。

好的，作为无所不知的大神，我来为你讲解一个全新的数值积分与微分领域的算法题目。 基于变分原理的数值积分构造：从权残量法到高斯求积公式的统一框架 题目描述 我们通常学习高斯求积公式时，是直接给出其定义：对于积分 $I(f) = \int_ {a}^{b} \rho(x) f(x) dx$，选择 $n$ 个节点 $x_ i$ 和权重 $w_ i$，使得求积公式 $\sum_ {i=1}^{n} w_ i f(x_ i)$ 对任意次数不超过 $2n-1$ 的多项式精确成立。 但这个“最高代数精度”的特性是如何系统性地推导出来的呢？它背后是否有更深刻的数学原理？本题将带你从 加权残量法 这一更广泛的近似理论出发，通过 伽辽金法 这一具体途径，将多项式近似、正交性和数值积分统一在一个框架下，从而自然、严谨地推导出高斯求积公式。 解题过程 我们的目标是：构造一个近似积分 $I(f) \approx I_ n(f) = \sum_ {i=1}^{n} w_ i f(x_ i)$。我们将这个问题重新表述。 第一步：问题重构为函数逼近问题 核心观察 ：数值积分公式本质上是 线性泛函 。对于一个连续函数 $f(x)$，其积分值 $I(f)$ 是一个线性算子作用的结果。 逼近思路 ：如果我们能用一个简单的函数 $p(x)$（例如多项式）来逼近 $f(x)$，并且计算 $I(p)$ 很容易，那么 $I(p)$ 就可以作为 $I(f)$ 的近似。即： $$ I(f) \approx I(p) $$ 关键选择 ：我们选择 $p(x)$ 为 $f(x)$ 在某个有限维函数空间 $\mathcal{P}_ {n-1}$（例如次数不超过 $n-1$ 的多项式空间）中的“最佳逼近”。 接下来的问题是：如何在加权内积意义下找到“最佳”多项式逼近 $p(x)$？答案就是 加权残量法 。 第二步：引入加权残量法与伽辽金法 定义残差 ：设 $p(x)$ 是我们的试探函数（一个 $n-1$ 次多项式）。定义残差函数为： $R(x) = f(x) - p(x)$。 理想情况下，我们希望 $R(x) \equiv 0$，但这在有限维逼近中不可能。 强制残差“正交” ：加权残量法的核心思想是强制残差 $R(x)$ 在某种平均意义下为零。具体地，我们要求残差 $R(x)$ 与一组选定的 检验函数 $\psi_ k(x)$ 在带权内积下正交： $$ \int_ {a}^{b} \rho(x) R(x) \psi_ k(x) dx = 0, \quad k = 1, 2, ..., m $$ 这里 $\rho(x)$ 是给定的权函数，定义了内积 $\langle u, v \rangle = \int_ {a}^{b} \rho(x) u(x) v(x) dx$。 选择伽辽金法 ：当检验函数空间与试探函数空间 相同时 ，这种方法称为 伽辽金法 。这是我们推导高斯公式的关键。 设我们的试探函数空间 $\mathcal{P} {n-1}$ 由一组基 $\{\phi_ 1(x), \phi_ 2(x), ..., \phi_ n(x)\}$ 张成，其中 $\phi_ j(x)$ 是 $j-1$ 次多项式。那么伽辽金条件为： $$ \int {a}^{b} \rho(x) [ f(x) - p(x)] \phi_ k(x) dx = 0, \quad k=1,2,...,n $$ 这构成了一个 $n \times n$ 的线性方程组，用于确定 $p(x)$ 的系数。 第三步：从伽辽金条件到积分精确性 将伽辽金条件展开： $$ \int_ {a}^{b} \rho(x) f(x) \phi_ k(x) dx = \int_ {a}^{b} \rho(x) p(x) \phi_ k(x) dx, \quad k=1,2,...,n \quad (1) $$ 现在，我们构造的数值积分公式是 $I_ n(f) = I(p) = \int_ {a}^{b} \rho(x) p(x) dx$。将 $p(x)$ 代入积分： $$ I_ n(f) = \int_ a^b \rho(x) p(x) dx $$ 关键洞察 ：我们还没有确定基函数 $\phi_ k(x)$ 的具体形式。如果我们能聪明地选择它们，就能得到强大的性质。 第四步：选择正交多项式基并利用其性质 选择标准正交基 ：我们选择基函数 $\{\phi_ k(x)\}$ 为关于权函数 $\rho(x)$ 的 正交多项式 ，且是 标准正交 的，即： $$ \langle \phi_ i, \phi_ j \rangle = \int_ a^b \rho(x) \phi_ i(x) \phi_ j(x) dx = \delta_ {ij} $$ 其中 $\delta_ {ij}$ 是克罗内克δ函数。 多项式 $p(x)$ 的表示 ：由于 $p(x) \in \mathcal{P} {n-1}$，它可以被这组标准正交基唯一表示为： $$ p(x) = \sum {j=1}^{n} c_ j \phi_ j(x) $$ 系数 $c_ j$ 正是 $f(x)$ 在这组基上的“投影”：$c_ j = \langle f, \phi_ j \rangle$。 代入积分公式 ： $$ I_ n(f) = \int_ a^b \rho(x) \left( \sum_ {j=1}^{n} c_ j \phi_ j(x) \right) dx = \sum_ {j=1}^{n} c_ j \int_ a^b \rho(x) \phi_ j(x) dx $$ 注意到 $\phi_ 1(x)$ 通常取为常数（例如1），而其他高阶正交多项式与常数（$\phi_ 1$）的内积为0（因为它们正交）。因此： $$ \int_ a^b \rho(x) \phi_ j(x) dx = \langle \phi_ j, \phi_ 1 \rangle = 0, \quad \text{对于 } j > 1 $$ 设 $\phi_ 1(x) = a$（常数），则 $\langle \phi_ 1, \phi_ 1 \rangle = a^2 \int_ a^b \rho(x) dx = 1$，可以确定 $a$。 最终，只有 $j=1$ 的项有贡献： $$ I_ n(f) = c_ 1 \int_ a^b \rho(x) \phi_ 1(x) dx = \langle f, \phi_ 1 \rangle \cdot \langle \phi_ 1, 1 \rangle $$ 这看起来不像一个方便的求积公式。我们需要最后一步转化。 第五步：利用节点作为正交多项式的零点 选择特殊的 $p(x)$ ：我们不是直接逼近 $f(x)$，而是考虑一个特定的逼近场景。设 $p(x)$ 是 $f(x)$ 在节点 $\{x_ i\}_ {i=1}^n$ 上的 $n-1$ 次 拉格朗日插值多项式 。即 $p(x_ i) = f(x_ i)$。 伽辽金条件与插值节点的关系 ：现在，将插值多项式 $p(x)$ 代入伽辽金条件(1)式。$p(x)$ 可以表示为拉格朗日基函数 $L_ i(x)$ 的组合：$p(x) = \sum_ {i=1}^n f(x_ i) L_ i(x)$。 将其代入(1)式： $$ \int_ {a}^{b} \rho(x) f(x) \phi_ k(x) dx = \int_ {a}^{b} \rho(x) \left( \sum_ {i=1}^n f(x_ i) L_ i(x) \right) \phi_ k(x) dx, \quad k=1,...,n $$ 交换求和与积分： $$ \int_ {a}^{b} \rho(x) f(x) \phi_ k(x) dx = \sum_ {i=1}^n f(x_ i) \underbrace{\int_ a^b \rho(x) L_ i(x) \phi_ k(x) dx} {记作 \, m {ik}}, \quad k=1,...,n $$ 节点的巧妙选择 ：为了使上式对 任意 $f(x)$ 都成立（从而保证高精度），一个充分条件是让 $n$ 个节点 $\{x_ i\}$ 的选择，使得上面的 $n \times n$ 矩阵 $M = [ m_ {ik} ]$ 在某种意义下“简化”。 关键选择 ：我们选择节点 $\{x_ i\}$ 为 $n$ 次正交多项式 $q_ n(x)$（与 $\phi_ k$ 属于同一正交多项式族）的零点。 美妙的结果 ：可以证明，当节点是 $q_ n(x)$ 的零点时，拉格朗日基函数 $L_ i(x)$ 具有一个神奇的性质：它们与所有低次 ($k < n$) 正交多项式 $\phi_ k(x)$ 的带权内积满足特定的关系。最终结论是，上面的方程组退化为： $$ \int_ {a}^{b} \rho(x) f(x) \phi_ k(x) dx = \sum_ {i=1}^n w_ i f(x_ i) \phi_ k(x_ i), \quad k=1, 2, ..., n $$ 并且，对于 $k=1$（对应 $\phi_ 1(x)=常数$），我们得到： $$ \int_ a^b \rho(x) f(x) dx \approx \sum_ {i=1}^n w_ i f(x_ i) $$ 其中权重 $w_ i = \int_ a^b \rho(x) L_ i(x) dx$。 第六步：得到高斯求积公式及其最高精度 公式成型 ：我们最终得到了求积公式： $$ I_ n(f) = \sum_ {i=1}^n w_ i f(x_ i) $$ 其中： 节点 $\{x_ i\}$ 是 $n$ 次正交多项式 $q_ n(x)$（关于权函数 $\rho(x)$）的零点。 权重 $\{w_ i\}$ 由 $w_ i = \int_ a^b \rho(x) L_ i(x) dx$ 给出，$L_ i(x)$ 是以 $x_ i$ 为节点的拉格朗日基函数。 证明代数精度 ： 设 $f(x)$ 是任意次数不超过 $2n-1$ 的多项式。 用 $q_ n(x)$ 去除 $f(x)$，根据多项式除法，存在商 $s(x)$ 和余项 $r(x)$，使得： $$ f(x) = q_ n(x) \cdot s(x) + r(x) $$ 其中 $s(x)$ 和 $r(x)$ 的次数都小于 $n$。 计算积分： $$ \int_ a^b \rho(x) f(x) dx = \underbrace{\int_ a^b \rho(x) q_ n(x) s(x) dx}_ {=0 \text{ （因为 } q_ n \text{ 与所有低次多项式正交）}} + \int_ a^b \rho(x) r(x) dx = \int_ a^b \rho(x) r(x) dx $$ 计算求积公式： $$ \sum_ {i=1}^n w_ i f(x_ i) = \sum_ {i=1}^n w_ i [ q_ n(x_ i) s(x_ i) + r(x_ i)] = \sum_ {i=1}^n w_ i r(x_ i) \quad (\text{因为 } q_ n(x_ i)=0) $$ 由于 $r(x)$ 是次数 $ < n$ 的多项式，而我们的求积公式是由 $n$ 个节点的插值多项式积分得来，它对所有 $n-1$ 次多项式是精确的。因此： $$ \sum_ {i=1}^n w_ i r(x_ i) = \int_ a^b \rho(x) r(x) dx $$ 综上，$\int_ a^b \rho(x) f(x) dx = \sum_ {i=1}^n w_ i f(x_ i)$，对任意 $2n-1$ 次多项式精确成立。 代数精度为 $2n-1$ 得证 。 总结 通过以上步骤，我们从 加权残量法/伽辽金法 这一求解微分方程的经典近似理论出发： 将数值积分问题转化为在多项式空间中寻找函数的最佳逼近。 利用伽辽金法建立正交条件。 巧妙选择标准正交多项式作为基函数 ，并 选择高阶正交多项式的零点作为积分节点 。 最终自然推导出了具有最高代数精度的高斯求积公式，并严格证明了其 $2n-1$ 次的代数精度。 这个框架揭示了高斯求积公式并非凭空出现，而是 函数最佳平方逼近（投影） 与 多项式插值 在特定正交基下结合的必然结果，体现了数学内在的和谐与统一。