合并相邻同质片段的最小合并成本问题（每个片段有颜色与质量两个属性）
题目描述
我们有一个由n个片段构成的数组A，每个片段i有两个属性：颜色c[i]（用字符表示）和质量w[i]（正整数）。目标是反复执行合并操作，每次可以合并两个相邻的片段i和j，生成一个新的片段，新片段将取代原来的两个片段。新片段的颜色由合并规则决定：如果原来两个片段的颜色相同，则新片段颜色保持该颜色；如果颜色不同，则新片段颜色为一个特殊字符'X'（代表混合颜色）。新片段的质量为原来两个片段质量之和。
每次合并的成本定义为：新片段的质量乘以一个与颜色相关的系数。具体来说，如果新片段颜色为颜色a（字符'a'），则成本系数为k_a（已知正整数）；如果新片段颜色为'X'，则成本系数为K（已知正整数，通常比单一颜色的系数大，代表混合代价）。
即，合并两个相邻片段i和j的成本为：(w[i] + w[j]) * coeff(newColor)，其中newColor由上述规则决定，coeff('a') = k_a，coeff('X') = K。
我们需要将所有片段合并成一个片段，求最小的总合并成本。
示例
假设片段数组：颜色序列 = ['a', 'b', 'a']，质量 = [2, 3, 4]，系数 k_a = 1, k_b = 2, K = 5。
一种合并方式：
- 先合并中间片段'b'（质量3）与右边片段'a'（质量4），颜色不同 → 新颜色'X'，质量=7，成本=7 * 5 = 35。新数组变为 ['a', 'X']，质量[2, 7]。
- 合并剩下的两个片段：颜色'a'与'X'不同 → 新颜色'X'，质量=2+7=9，成本=9 * 5 = 45。
总成本 = 35+45 = 80。
另一种合并方式： - 先合并左边'a'（2）与'b'（3），颜色不同 → 'X'，质量5，成本=5*5=25。数组变为 ['X', 'a']，质量[5,4]。
- 合并'X'与'a'，颜色不同 → 'X'，质量9，成本=9*5=45。总成本=70。
因此最小成本是70（第二种方式）。
目标是找到最小总成本。
解题过程循序渐进讲解
这是一个典型的区间动态规划问题，因为每次合并相邻片段，最终状态是整个区间合并成一个片段。我们需要考虑合并顺序对总成本的影响，因为合并顺序会影响中间片段的质量与颜色，进而影响后续合并的成本。
步骤1：定义状态
我们定义 dp[l][r] 表示将区间 [l, r]（从第 l 个片段到第 r 个片段，下标从0开始）合并成一个片段所需的最小总成本。
但是，注意到合并后的片段颜色会影响后续与相邻区间合并的成本，而 dp[l][r] 仅存储最小成本是不够的，因为不同的合并方式可能产生不同的最终颜色，而后续合并时（当 [l, r] 与左边或右边区间合并时）我们需要知道这个颜色才能计算成本。
因此，状态需要额外记录颜色信息。一个常用的技巧是：将颜色作为状态的第三维。但颜色可能取值很多（题目中颜色为字符，但我们可以映射为整数）。实际上，对于区间 [l, r] 合并后的最终颜色，只可能是原来该区间中出现的某些颜色，或者是'X'。但为了通用性，我们可以把颜色作为状态的一部分。
然而，这样状态数会很大：dp[l][r][color]，其中 color 可以是所有可能的颜色。但注意到合并规则：如果区间内所有片段颜色相同，则最终颜色就是该颜色；否则，一旦在合并过程中出现两种不同颜色的合并，最终颜色就会变成'X'，并且之后无论再与什么合并，颜色永远是'X'（因为'X'与其他任何颜色（包括'X'本身）合并，规则是颜色不同 → 新颜色'X'）。
因此，对于区间 [l, r]，其最终颜色只有两种可能：
- 单一颜色 col（即区间内所有片段颜色相同，且从未与不同颜色合并过），此时最终颜色就是 col。
- 混合颜色 'X'。
所以我们只需用两个状态表示即可：
dp[l][r][0]：将区间 [l, r] 合并成一个片段，且最终颜色为单一颜色（即区间内所有原始片段颜色相同）的最小成本。如果区间内原始片段颜色不完全相同，则 dp[l][r][0] = INF（不可行）。
dp[l][r][1]：将区间 [l, r] 合并成一个片段，且最终颜色为'X'的最小成本。注意，即使区间内原始颜色相同，也可能通过某些合并顺序故意先与外部混合成'X'，但这里我们只记录最终颜色为'X'的最小成本。
但这样还需要知道当最终颜色为单一颜色时，具体是哪种颜色，以便计算系数 k_a。因此，我们可以再细化：
设 color[l][r] 表示当区间 [l, r] 内所有原始片段颜色相同时的颜色值，否则为特殊标记（如 -1）。
那么，对于 dp[l][r][0]，我们只针对 color[l][r] 有定义的情况；对于 dp[l][r][1]，总是有定义。
步骤2：状态转移方程
考虑如何将区间 [l, r] 合并。最后一次合并一定是将左子区间 [l, m] 和右子区间 [m+1, r] 合并，其中 m 是分割点（l ≤ m < r）。我们需要枚举这个分割点 m。
对于最终颜色为单一颜色的情况（dp[l][r][0]）：
要求区间 [l, r] 内所有原始片段颜色相同，设为 col。那么左子区间和右子区间的最终颜色都必须为 col，即 dp[l][m][0] 和 dp[m+1][r][0] 都必须可行，且颜色都是 col。
此时合并后的颜色为 col（因为相同颜色合并后颜色不变），质量 = 总质量 sum(l, r) = w[l] + ... + w[r]。
合并成本 = sum(l, r) * k_col。
因此：
dp[l][r][0] = min_{m} { dp[l][m][0] + dp[m+1][r][0] + sum(l, r) * k_col }，前提是 color[l][m] = color[m+1][r] = col。
对于最终颜色为'X'的情况（dp[l][r][1]）：
有两种可能：
-
左子区间和右子区间合并时，颜色不同（包括一方为'X'，另一方为单一颜色；或者双方都是'X'；或者双方为不同单一颜色）。此时合并后的颜色一定是'X'。
设左子区间最终颜色为 cL，右子区间最终颜色为 cR，且 cL ≠ cR（注意，如果一方为'X'，则必然与另一方不同，因为'X'与任何单一颜色视为不同；'X'与'X'也视为不同？实际上规则：两个颜色相同的合并后颜色不变，两个颜色不同的合并后为'X'。如果两个都是'X'，它们颜色相同吗？题目中'X'是一个特殊标记，两个'X'应视为颜色相同，合并后仍为'X'。但这里为了统一，我们可以认为'X'是一种颜色，两个'X'合并后颜色仍为'X'，且系数为K。所以在我们的状态中，'X'作为一种颜色处理，其系数为K。
那么，合并成本 = sum(l, r) * coeff(newColor)。这里 newColor 由规则决定：若 cL 和 cR 相同，则 newColor = cL；否则 newColor = 'X'。但因为我们这里考虑的是最终颜色为'X'的情况，所以必须 cL ≠ cR，此时 newColor = 'X'，成本 = sum(l, r) * K。
但是，左子区间和右子区间本身的颜色可能为单一颜色或'X'。我们需要它们合并后得到'X'，所以要求 cL ≠ cR。
因此，对于给定的 m，我们需要枚举左子区间的最终颜色类型（0或1）和右子区间的最终颜色类型，并检查颜色是否不同。 -
左子区间和右子区间合并时颜色相同，但都是'X'？如果都是'X'，颜色相同，合并后仍为'X'，此时成本 = sum(l, r) * K（因为'X'的系数是K）。这种情况也属于最终颜色为'X'。
综合起来，dp[l][r][1] 可以从所有可能的分割点 m 以及左右子区间的颜色组合转移而来，只要合并后的颜色为'X'即可。
更形式化地：
对于每个分割点 m，设左子区间最终颜色为 cL（可能是单一颜色 col1 或 'X'），右子区间最终颜色为 cR（可能是单一颜色 col2 或 'X'）。
我们定义 coeff(c) 为颜色 c 对应的系数：如果 c 是单一颜色 a，则 coeff = k_a；如果 c 是 'X'，则 coeff = K。
合并后的颜色 mergeColor = (cL == cR ? cL : 'X')。
如果 mergeColor == 'X'，则本次合并成本 = sum(l, r) * K。
那么，总成本 = dp_left + dp_right + sum(l, r) * K，其中 dp_left 是左子区间合并成颜色 cL 的最小成本，dp_right 是右子区间合并成颜色 cR 的最小成本。
我们需要枚举所有可能的 (cL, cR) 组合，使得 mergeColor == 'X'，然后取最小值。
但是，为了简化，我们可以将 dp[l][r][0] 只用于单一颜色相同的情况，而 dp[l][r][1] 表示最终颜色为'X'的最小成本，而不关心其内部是否曾经是单一颜色。那么，对于 dp[l][r][1] 的转移，我们可以考虑：
- 左子区间最终颜色可以是单一颜色（如果可行）或'X'，右子区间同样。只要左右颜色不同，合并后即为'X'。
- 左右颜色相同但都是'X'，合并后也是'X'。
因此，转移方程可以写成：
dp[l][r][1] = min_{m, tL, tR} {
dp[l][m][tL] + dp[m+1][r][tR] + sum(l, r) * K
}
其中 tL, tR ∈ {0,1}，但需要满足：
如果 tL=0 且 tR=0，则要求 color[l][m] ≠ color[m+1][r]（因为如果相同则合并后颜色为单一颜色，不属于dp[l][r][1]）；
如果 tL=0 且 tR=1，则总是满足（因为单一颜色与'X'不同）；
如果 tL=1 且 tR=0，总是满足；
如果 tL=1 且 tR=1，则总是满足（两个'X'相同，但合并后仍为'X'，成本系数为K，所以也属于dp[l][r][1]）。
另外，dp[l][r][0] 的转移如前所述，只在区间内所有片段颜色相同时才可能。
步骤3：初始化
对于长度为1的区间（l == r）：
dp[l][l][0] = 0（已经是一个片段，无需合并，成本为0），且 color[l][l] = c[l]。
dp[l][l][1] = INF（不可能通过合并得到'X'，因为只有一个片段，其颜色就是原始颜色，不是'X'），除非原始颜色就是'X'？但题目中原始片段颜色不会是'X'，'X'只作为混合后的颜色出现。所以 dp[l][l][1] = INF。
步骤4：计算顺序
按区间长度从小到大计算，从长度2到n。
步骤5：最终答案
整个区间 [0, n-1] 合并成一个片段的最小成本是 min(dp[0][n-1][0], dp[0][n-1][1])。
实例演算（用之前示例）
n=3，颜色 c = ['a', 'b', 'a']，质量 w = [2,3,4]，k_a=1, k_b=2, K=5。
预处理 color[l][r]：
color[0][0]='a', color[1][1]='b', color[2][2]='a'。
color[0][1]：颜色不同，为 -1（表示不是单一颜色）。
color[1][2]：颜色不同，为 -1。
color[0][2]：颜色不全相同，为 -1。
预处理 sum(l,r)：
sum(0,0)=2, sum(1,1)=3, sum(2,2)=4,
sum(0,1)=5, sum(1,2)=7, sum(0,2)=9。
初始化 dp[l][l][0]=0, dp[l][l][1]=INF。
长度2的区间：
-
区间 [0,1]（颜色 a,b）
单一颜色情况：color[0][1] = -1，所以 dp[0][1][0] = INF。
混合颜色情况（dp[0][1][1]）：枚举分割点 m=0（唯一可能）。
左子区间[0,0]颜色为'a'（tL=0），右子区间[1,1]颜色为'b'（tR=0），且 color[0][0] ≠ color[1][1]，所以符合条件。
cost = dp[0][0][0] + dp[1][1][0] + sum(0,1)K = 0 + 0 + 55 = 25。
所以 dp[0][1][1] = 25。 -
区间 [1,2]（颜色 b,a）
dp[1][2][0] = INF（颜色不同）。
dp[1][2][1]：m=1，左子区间[1,1]颜色'b'，右子区间[2,2]颜色'a'，不同。
cost = 0+0 + sum(1,2)K = 75 = 35。
所以 dp[1][2][1] = 35。
长度3的区间 [0,2]：
先计算 dp[0][2][0]：要求颜色相同，但 color[0][2] = -1，所以 INF。
dp[0][2][1]：枚举分割点 m=0 和 m=1。
- m=0：左子区间[0,0]，右子区间[1,2]
左颜色：'a'（tL=0），右颜色：只能是混合颜色（tR=1），因为 [1,2] 不是单一颜色。
cost = dp[0][0][0] + dp[1][2][1] + sum(0,2)K = 0 + 35 + 95 = 35+45 = 80。 - m=1：左子区间[0,1]，右子区间[2,2]
左颜色：只能是混合颜色（tL=1），因为 [0,1] 不是单一颜色。右颜色：'a'（tR=0）。
cost = dp[0][1][1] + dp[2][2][0] + sum(0,2)*K = 25 + 0 + 45 = 70。
取最小值，所以 dp[0][2][1] = 70。
最终答案 = min(dp[0][2][0], dp[0][2][1]) = min(INF, 70) = 70，与手工计算一致。
复杂度分析
状态数：O(n²) 个区间，每个区间两个状态（0和1）。
转移时，需要枚举分割点 O(n)，以及左右子区间的颜色类型（2×2=4种组合）。
总时间复杂度 O(n³)。空间复杂度 O(n²)。
总结
本题在经典石子合并问题（合并相邻堆的成本与总质量相关）的基础上，增加了颜色属性与合并颜色规则，使得状态需要区分最终颜色是单一原色还是混合色。通过合理设计状态（dp[l][r][0/1]）和预处理每个区间是否为单一颜色及其颜色值，可以在 O(n³) 时间内求解。