非线性规划中的交替最小二乘与序列二次规划混合算法基础题
字数 3593 2025-12-23 04:18:06

非线性规划中的交替最小二乘与序列二次规划混合算法基础题

题目描述

考虑如下带有线性等式约束的非线性最小二乘问题：

\[\begin{aligned} & \min_{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n} \quad f(\mathbf{x}) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{m} r_i(\mathbf{x})^2 \\ & \text{s.t.} \quad \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b}, \end{aligned} \]

其中：

  • \(r_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是二阶连续可微的残差函数，通常非线性。
  • \(\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{p \times n}\) 为行满秩矩阵，\(\mathbf{b} \in \mathbb{R}^p\)。
  • 目标函数 \(f\) 是非线性的，约束为线性等式。

本题要求设计一种 交替最小二乘（Alternating Least Squares, ALS）与序列二次规划（Sequential Quadratic Programming, SQP）的混合算法，适用于此类问题，并解释其基本原理与步骤。

解题过程

步骤 1：问题分析

  • 问题结构：目标函数为非线性最小二乘，约束为线性等式。
  • 直接使用标准 SQP 需要求解每一迭代步的二次规划子问题，计算量可能较大。
  • ALS 思想：若将变量分解为两组或多组，交替固定其中一组、优化另一组，可以简化子问题。
  • 混合策略：将 ALS 作为外层迭代，用于分解变量并简化问题结构；对每个子问题（固定部分变量）应用 SQP 进行精确求解。

步骤 2：变量分解策略

假设将变量分为两组：\(\mathbf{x} = [\mathbf{y}, \mathbf{z}]^T\)，其中：

  • \(\mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n_1}\)，\(\mathbf{z} \in \mathbb{R}^{n_2}\)，\(n_1 + n_2 = n\)。
  • 分解原则：尽量使每个子问题（固定一个变量组）的结构更简单（如约束变为低维线性等式）。

线性约束 \(\mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b}\) 可写为：

\[\mathbf{A}_y \mathbf{y} + \mathbf{A}_z \mathbf{z} = \mathbf{b}, \]

其中 \(\mathbf{A} = [\mathbf{A}_y, \mathbf{A}_z]\) 对应分块。

步骤 3：交替迭代框架

  1. 初始化：选取初始点 \(\mathbf{x}^0 = (\mathbf{y}^0, \mathbf{z}^0)\)，满足 \(\mathbf{A} \mathbf{x}^0 = \mathbf{b}\)。
  2. 交替迭代（\(k = 0, 1, 2, \dots\)）：
    • 固定 \(\mathbf{z}^k\)，优化 \(\mathbf{y}\)：
      子问题为：

\[ \begin{aligned} & \min_{\mathbf{y}} \quad \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{m} r_i(\mathbf{y}, \mathbf{z}^k)^2 \\ & \text{s.t.} \quad \mathbf{A}_y \mathbf{y} = \mathbf{b} - \mathbf{A}_z \mathbf{z}^k. \end{aligned} \]

 该问题仍为带线性等式约束的非线性最小二乘问题，但变量维数降低为 $ n_1 $。
  • 固定 \(\mathbf{y}^{k+1}\)，优化 \(\mathbf{z}\)：
    子问题为：

\[ \begin{aligned} & \min_{\mathbf{z}} \quad \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{m} r_i(\mathbf{y}^{k+1}, \mathbf{z})^2 \\ & \text{s.t.} \quad \mathbf{A}_z \mathbf{z} = \mathbf{b} - \mathbf{A}_y \mathbf{y}^{k+1}. \end{aligned} \]

步骤 4：子问题的求解——SQP 方法

以固定 \(\mathbf{z}^k\) 后的 \(\mathbf{y}\) 子问题为例，应用 SQP：

  • 记 \(f_y(\mathbf{y}) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{m} r_i(\mathbf{y}, \mathbf{z}^k)^2\)。
  • 在当前迭代点 \(\mathbf{y}^t\)，构造二次近似子问题：

\[ \begin{aligned} & \min_{\mathbf{d}_y} \quad \nabla f_y(\mathbf{y}^t)^T \mathbf{d}_y + \frac{1}{2} \mathbf{d}_y^T \mathbf{H}_y^t \mathbf{d}_y \\ & \text{s.t.} \quad \mathbf{A}_y (\mathbf{y}^t + \mathbf{d}_y) = \mathbf{b} - \mathbf{A}_z \mathbf{z}^k, \end{aligned} \]

其中 \(\mathbf{H}_y^t\) 是 \(f_y\) 的 Hessian 或其近似（如 Gauss-Newton 矩阵 \(\mathbf{J}_y^T \mathbf{J}_y\)，\(\mathbf{J}_y\) 为残差对 \(\mathbf{y}\) 的 Jacobian）。

  • 该二次规划（QP）可通过 KKT 系统解析求解或使用积极集法。
  • 更新 \(\mathbf{y}^{t+1} = \mathbf{y}^t + \alpha_t \mathbf{d}_y\)，其中 \(\alpha_t\) 由线搜索确定（满足充分下降条件）。
  • 重复直至子问题收敛。

步骤 5：混合算法流程

  1. 初始化 \(\mathbf{x}^0 = (\mathbf{y}^0, \mathbf{z}^0)\)，满足约束。
  2. 外层循环（交替次数 \(k\)）：
    a. 固定 \(\mathbf{z}^k\)，求解关于 \(\mathbf{y}\) 的子问题（使用 SQP 内层迭代）得到 \(\mathbf{y}^{k+1}\)。
    b. 固定 \(\mathbf{y}^{k+1}\)，求解关于 \(\mathbf{z}\) 的子问题（使用 SQP 内层迭代）得到 \(\mathbf{z}^{k+1}\)。
    c. 检查外层收敛条件：例如，相对变化 \(\| \mathbf{x}^{k+1} - \mathbf{x}^{k} \| / (1 + \| \mathbf{x}^{k} \|) < \epsilon\) 或目标函数下降量足够小。
  3. 输出最终解 \(\mathbf{x}^*\)。

步骤 6：收敛性说明

  • ALS 框架能保证目标函数在每一步交替中不增（若子问题精确求解）。
  • 由于子问题使用 SQP（局部超线性收敛），整个混合算法在合理条件下（如子问题凸性良好、初始点靠近解）可收敛到稳定点。
  • 线性等式约束在每一步交替中均被严格满足，因为子问题的约束是原约束的重新表述。

步骤 7：示例与数值考虑

假设 \(n=4\)，分解为 \(\mathbf{y} \in \mathbb{R}^2, \mathbf{z} \in \mathbb{R}^2\)。

  • 残差函数：\(r_1 = y_1 z_1 - 1, r_2 = y_2 + z_2^2 - 2\) 等。
  • 线性约束：\(y_1 + y_2 + z_1 + z_2 = 5\)。
  • 交替求解时，子问题的变量数减半，SQP 的 QP 子问题规模减小，计算更高效。

总结

本混合算法结合了 ALS 的变量分解思想（降低问题维度）与 SQP 的局部快速收敛性，特别适合目标为非线性最小二乘且具有可分离结构（或近似可分离）的线性约束问题。实际应用中需注意变量分解方式（依赖问题结构）和子问题收敛精度控制。

非线性规划中的交替最小二乘与序列二次规划混合算法基础题 题目描述 考虑如下带有线性等式约束的非线性最小二乘问题： \[ \begin{aligned} & \min_ {\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n} \quad f(\mathbf{x}) = \frac{1}{2} \sum_ {i=1}^{m} r_ i(\mathbf{x})^2 \\ & \text{s.t.} \quad \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b}, \end{aligned} \] 其中： \( r_ i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) 是二阶连续可微的残差函数，通常非线性。 \( \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{p \times n} \) 为行满秩矩阵，\( \mathbf{b} \in \mathbb{R}^p \)。 目标函数 \( f \) 是非线性的，约束为线性等式。 本题要求设计一种 交替最小二乘（Alternating Least Squares, ALS）与序列二次规划（Sequential Quadratic Programming, SQP）的混合算法 ，适用于此类问题，并解释其基本原理与步骤。 解题过程 步骤 1：问题分析 问题结构：目标函数为非线性最小二乘，约束为线性等式。 直接使用标准 SQP 需要求解每一迭代步的二次规划子问题，计算量可能较大。 ALS 思想：若将变量分解为两组或多组，交替固定其中一组、优化另一组，可以简化子问题。 混合策略：将 ALS 作为外层迭代，用于分解变量并简化问题结构；对每个子问题（固定部分变量）应用 SQP 进行精确求解。 步骤 2：变量分解策略 假设将变量分为两组：\( \mathbf{x} = [ \mathbf{y}, \mathbf{z} ]^T \)，其中： \( \mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n_ 1} \)，\( \mathbf{z} \in \mathbb{R}^{n_ 2} \)，\( n_ 1 + n_ 2 = n \)。 分解原则：尽量使每个子问题（固定一个变量组）的结构更简单（如约束变为低维线性等式）。 线性约束 \( \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b} \) 可写为： \[ \mathbf{A}_ y \mathbf{y} + \mathbf{A}_ z \mathbf{z} = \mathbf{b}, \] 其中 \( \mathbf{A} = [ \mathbf{A}_ y, \mathbf{A}_ z ] \) 对应分块。 步骤 3：交替迭代框架 初始化 ：选取初始点 \( \mathbf{x}^0 = (\mathbf{y}^0, \mathbf{z}^0) \)，满足 \( \mathbf{A} \mathbf{x}^0 = \mathbf{b} \)。 交替迭代 （\( k = 0, 1, 2, \dots \)）： 固定 \(\mathbf{z}^k\)，优化 \(\mathbf{y}\) ： 子问题为： \[ \begin{aligned} & \min_ {\mathbf{y}} \quad \frac{1}{2} \sum_ {i=1}^{m} r_ i(\mathbf{y}, \mathbf{z}^k)^2 \\ & \text{s.t.} \quad \mathbf{A}_ y \mathbf{y} = \mathbf{b} - \mathbf{A}_ z \mathbf{z}^k. \end{aligned} \] 该问题仍为带线性等式约束的非线性最小二乘问题，但变量维数降低为 \( n_ 1 \)。 固定 \(\mathbf{y}^{k+1}\)，优化 \(\mathbf{z}\) ： 子问题为： \[ \begin{aligned} & \min_ {\mathbf{z}} \quad \frac{1}{2} \sum_ {i=1}^{m} r_ i(\mathbf{y}^{k+1}, \mathbf{z})^2 \\ & \text{s.t.} \quad \mathbf{A}_ z \mathbf{z} = \mathbf{b} - \mathbf{A}_ y \mathbf{y}^{k+1}. \end{aligned} \] 步骤 4：子问题的求解——SQP 方法 以固定 \( \mathbf{z}^k \) 后的 \(\mathbf{y}\) 子问题为例，应用 SQP： 记 \( f_ y(\mathbf{y}) = \frac{1}{2} \sum_ {i=1}^{m} r_ i(\mathbf{y}, \mathbf{z}^k)^2 \)。 在当前迭代点 \( \mathbf{y}^t \)，构造二次近似子问题： \[ \begin{aligned} & \min_ {\mathbf{d}_ y} \quad \nabla f_ y(\mathbf{y}^t)^T \mathbf{d}_ y + \frac{1}{2} \mathbf{d}_ y^T \mathbf{H}_ y^t \mathbf{d}_ y \\ & \text{s.t.} \quad \mathbf{A}_ y (\mathbf{y}^t + \mathbf{d}_ y) = \mathbf{b} - \mathbf{A}_ z \mathbf{z}^k, \end{aligned} \] 其中 \( \mathbf{H}_ y^t \) 是 \( f_ y \) 的 Hessian 或其近似（如 Gauss-Newton 矩阵 \( \mathbf{J}_ y^T \mathbf{J}_ y \)，\( \mathbf{J}_ y \) 为残差对 \(\mathbf{y}\) 的 Jacobian）。 该二次规划（QP）可通过 KKT 系统解析求解或使用积极集法。 更新 \( \mathbf{y}^{t+1} = \mathbf{y}^t + \alpha_ t \mathbf{d}_ y \)，其中 \( \alpha_ t \) 由线搜索确定（满足充分下降条件）。 重复直至子问题收敛。 步骤 5：混合算法流程 初始化 \( \mathbf{x}^0 = (\mathbf{y}^0, \mathbf{z}^0) \)，满足约束。 外层循环 （交替次数 \( k \)）： a. 固定 \( \mathbf{z}^k \)，求解关于 \( \mathbf{y} \) 的子问题（使用 SQP 内层迭代）得到 \( \mathbf{y}^{k+1} \)。 b. 固定 \( \mathbf{y}^{k+1} \)，求解关于 \( \mathbf{z} \) 的子问题（使用 SQP 内层迭代）得到 \( \mathbf{z}^{k+1} \)。 c. 检查外层收敛条件：例如，相对变化 \( \| \mathbf{x}^{k+1} - \mathbf{x}^{k} \| / (1 + \| \mathbf{x}^{k} \|) < \epsilon \) 或目标函数下降量足够小。 输出最终解 \( \mathbf{x}^* \)。 步骤 6：收敛性说明 ALS 框架能保证目标函数在每一步交替中不增（若子问题精确求解）。 由于子问题使用 SQP（局部超线性收敛），整个混合算法在合理条件下（如子问题凸性良好、初始点靠近解）可收敛到稳定点。 线性等式约束在每一步交替中均被严格满足，因为子问题的约束是原约束的重新表述。 步骤 7：示例与数值考虑 假设 \( n=4 \)，分解为 \( \mathbf{y} \in \mathbb{R}^2, \mathbf{z} \in \mathbb{R}^2 \)。 残差函数：\( r_ 1 = y_ 1 z_ 1 - 1, r_ 2 = y_ 2 + z_ 2^2 - 2 \) 等。 线性约束：\( y_ 1 + y_ 2 + z_ 1 + z_ 2 = 5 \)。 交替求解时，子问题的变量数减半，SQP 的 QP 子问题规模减小，计算更高效。 总结 本混合算法结合了 ALS 的变量分解思想 （降低问题维度）与 SQP 的局部快速收敛性 ，特别适合目标为非线性最小二乘且具有可分离结构（或近似可分离）的线性约束问题。实际应用中需注意变量分解方式（依赖问题结构）和子问题收敛精度控制。