好的，我会从图论算法中随机挑选一个你从未听过的题目，为你细致讲解。今天我为你选择的题目是：

最小顶点覆盖问题的基于树形动态规划的精确算法（树上的精确解法）

题目描述

给定一棵树（一个无环、连通的无向图），以及每个顶点上的一个正整数权重。我们的目标是找到这棵树的一个最小顶点覆盖（Minimum Vertex Cover, MVC），并使得这个顶点覆盖中所有顶点的权重之和最小。

概念定义：

• 顶点覆盖：一个顶点集合，使得树中的每一条边都至少有一个端点（顶点）在这个集合里。
• 最小顶点覆盖：在所有可能的顶点覆盖中，顶点权重之和最小的那一个。

输入：

• 一棵有 n 个顶点的树，通常以节点编号 1 到 n 表示。
• 每个顶点 i 有一个权重 w[i]。
• 树的 n-1 条边。

输出：

• 最小顶点覆盖的最小总权重。

这是一个经典的树形动态规划（Tree DP）问题，可以高效地通过深度优先搜索（DFS）在 O(n) 时间内精确解决。

解题过程

这个问题的核心思想是：对于树上的每一个节点，我们考虑其状态，并利用其子树的信息来递推其父节点的最优解。

步骤 1：问题分析与状态设计

树是天然的递归结构。我们可以任选一个节点作为根节点（例如节点 1），将无根树转换为有根树。一旦有了根，每个节点（除了根）都有一个父节点和若干子节点。

对于以节点 u 为根的子树，我们定义两个状态：

• dp[u][0]：表示在以 u 为根的子树中，不选择节点 u 进入顶点覆盖时，该子树内满足顶点覆盖条件所需的最小权重和。
• dp[u][1]：表示在以 u 为根的子树中，选择节点 u 进入顶点覆盖时，该子树内满足顶点覆盖条件所需的最小权重和。

我们的最终目标是求出 min(dp[root][0], dp[root][1])。

步骤 2：推导状态转移方程

状态转移依赖于节点 u 与其子节点 v 之间的关系。让我们分别考虑 dp[u][0] 和 dp[u][1] 如何从其子节点的 dp 值计算得来。

1. 情况一：dp[u][0] （不选 u 进入覆盖）

   • 如果 u 不被选入覆盖，那么为了覆盖连接 u 与其子节点 v 的那条边 (u, v)，我们必须选择它的子节点 v 进入覆盖！
   • 因此，对于 u 的每一个子节点 v，我们只能采用 v 被选中的状态，即 dp[v][1]。
   • 状态转移方程为：
     dp[u][0] = Σ (dp[v][1])，对所有子节点 v 求和。

2. 情况二：dp[u][1] （选择 u 进入覆盖）

   • 如果 u 被选入覆盖，那么 u 与所有子节点之间的边都已经被 u 覆盖了。因此，对于子节点 v，我们既可以选择它，也可以不选择它，只需取两者中代价更小的方案即可。
   • 由于我们选择了 u，需要加上 u 本身的权重 w[u]。
   • 状态转移方程为：
     dp[u][1] = w[u] + Σ ( min( dp[v][0], dp[v][1] ) )，对所有子节点 v 求和。

边界条件（叶子节点）：

• 对于一个叶子节点 u（没有子节点）：
  • dp[u][0] = 0 （不选它，但没有边需要覆盖，合法）
  • dp[u][1] = w[u] （选它，代价就是其自身权重）

步骤 3：计算顺序与算法实现

由于 dp[u] 依赖于其所有子节点 v 的 dp 值，我们必须先计算子节点的值，再计算父节点。这自然对应着对树进行后序遍历（DFS）。

算法框架：

1. 将给定的树构建成一个邻接表 adj 来表示。
2. 任选一个节点（如 1 号节点）作为根，进行 DFS。
3. 在 DFS 过程中，当访问完节点 u 的所有子节点后，根据上述转移方程计算 dp[u][0] 和 dp[u][1]。
4. DFS 返回到根节点后，最终答案就是 min(dp[root][0], dp[root][1])。

伪代码：

// 假设树的邻接表为 adj，权重数组为 w
// dp[u][0/1] 初始化为0
// visited 数组用于DFS

function DFS(u, parent):
    dp[u][1] = w[u]   // 初始化选中的代价
    dp[u][0] = 0      // 初始化不选的代价

    for each v in adj[u]:
        if v != parent: // 避免走回父节点
            DFS(v, u)   // 递归处理子节点
            // 后序遍历，子节点v的dp值已计算好
            dp[u][1] += min(dp[v][0], dp[v][1])
            dp[u][0] += dp[v][1]

// 主程序
选择根节点 root = 1
DFS(root, -1)
答案 ans = min(dp[root][0], dp[root][1])
输出 ans

步骤 4：一个具体的例子

假设有一棵树如下（括号内为顶点权重）：

        1(5)
       /     \
     2(2)    3(10)
    /   \
  4(1)  5(3)

我们以节点 1 为根进行计算。

计算过程（自底向上）：

• 叶子节点 4 和 5：

  • dp[4][0]=0, dp[4][1]=1
  • dp[5][0]=0, dp[5][1]=3

• 节点 2：

  • 子节点是 4 和 5。
  • dp[2][1] = w[2] + min(dp[4][0], dp[4][1]) + min(dp[5][0], dp[5][1])
    = 2 + min(0, 1) + min(0, 3) = 2 + 0 + 0 = 2
  • dp[2][0] = dp[4][1] + dp[5][1] = 1 + 3 = 4

• 节点 3（叶子）：

  • dp[3][0]=0, dp[3][1]=10

• 根节点 1：

  • 子节点是 2 和 3。
  • dp[1][1] = w[1] + min(dp[2][0], dp[2][1]) + min(dp[3][0], dp[3][1])
    = 5 + min(4, 2) + min(0, 10) = 5 + 2 + 0 = 7
  • dp[1][0] = dp[2][1] + dp[3][1] = 2 + 10 = 12

最终结果：min(dp[1][0], dp[1][1]) = min(12, 7) = 7。

对应的最小顶点覆盖：选择节点 1 和节点 2（总权重 5+2=7）。可以验证，所有边 (1,2), (1,3), (2,4), (2,5) 都被覆盖了。

步骤 5：算法复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)。我们对树进行了一次 DFS 遍历，每个节点恰好被访问一次，在每个节点上我们对其所有子节点进行常数时间的计算（求和与取最小值）。
• 空间复杂度：O(n)。用于存储邻接表、dp 数组以及递归调用栈（对于一棵退化成链的树，深度可能为 n）。

总结

这个问题展示了如何利用树的特殊结构——无环和层次性，将看似复杂的全局优化问题（最小顶点覆盖）分解为一系列简单的局部子问题。通过巧妙的状态定义（dp[u][0/1]）和后序遍历的计算顺序，我们能够自底向上地组合出全局最优解。这是树形动态规划的一个非常经典和优美的应用。