并行与分布式系统中的并行化K-Medoids聚类：CLARA算法的并行化（Parallelized CLARA for K-Medoids Clustering）
字数 4259 2025-12-23 03:05:46

并行与分布式系统中的并行化K-Medoids聚类：CLARA算法的并行化（Parallelized CLARA for K-Medoids Clustering）

问题描述

K-Medoids（也称为PAM，Partitioning Around Medoids）是一种经典的聚类算法，类似于K-Means，但使用数据集中的一个实际数据点（medoid）作为聚类中心，而不是计算均值点。这使得它对噪声和离群点更鲁棒。然而，标准PAM算法的时间复杂度较高（约为 \(O(k \cdot n^2)\)，其中 \(k\) 为聚类数，\(n\) 为数据点数），在大规模数据集上计算代价昂贵。
CLARA（Clustering LARge Applications）是一种基于采样的近似算法，用于加速K-Medoids。它通过多次从原始数据集中抽取样本，在每个样本上运行PAM算法得到局部最优的medoids，然后在整个数据集上评估这些medoids的质量，选择最佳的一组作为最终结果。
并行化CLARA的目标是利用并行计算资源，同时对多个样本进行PAM计算，并并行评估medoids质量，从而显著缩短整体运行时间，同时保持聚类的质量。

解题过程循序渐进讲解

步骤1：理解串行CLARA算法的核心流程

在并行化之前，我们必须清楚串行CLARA的步骤：

  1. 参数设定：设定聚类数 \(k\)，采样次数 \(m\)，每个样本的大小 \(s\)（通常 \(s \ll n\)，例如 \(s = 40 + 2k\)）。
  2. 重复采样与局部PAM：进行 \(m\) 次循环（例如 \(m = 5\)）。
    • 每次从原始数据集 \(D\)（大小为 \(n\)）中随机抽取一个样本 \(S_i\)（大小为 \(s\)）。
    • 在样本 \(S_i\) 上运行 PAM算法，找到 \(k\) 个medoids \(M_i = \{m_{i1}, ..., m_{ik}\}\)。
      PAM算法本身分为两个阶段：
      • BUILD阶段：贪心选择初始medoids（例如通过选择使总相异度下降最快的点）。
      • SWAP阶段：迭代尝试用非medoid点替换当前medoid，如果能够降低总相异度（即目标函数，通常是所有点到其最近medoid的距离之和），则接受替换，直到无法改进。
  3. 评估与选择：对于每一组得到的medoids \(M_i\)，在整个数据集 \(D\) 上计算聚类质量（即总相异度）。选择总相异度最小的那组medoids作为最终聚类中心。
  4. 分配数据点：根据最终medoids，将 \(D\) 中所有点分配到最近的medoid，形成最终聚类。

CLARA的加速源于：在较小的样本上运行昂贵的PAM，而评估（步骤3）虽然涉及整个数据集，但计算相对廉价（只需计算每个点到 \(k\) 个medoids的距离并求和）。

步骤2：识别并行化机会

CLARA算法存在天然的并行性：

  • 样本并行：\(m\) 个采样-PAM过程相互独立，可以并行执行。
  • PAM内部的并行：PAM算法的SWAP阶段中，尝试替换不同medoid的候选点可以并行评估；距离计算也可以并行化。
  • 评估并行：在整个数据集上评估多组medoids的质量时，不同数据点的距离计算可以并行，不同medoid组之间也可以并行评估。

最直接且高效的并行化策略是 样本级并行：并行处理多个样本的PAM计算。同时，在评估阶段也可以并行化距离计算。

步骤3：设计并行化CLARA算法框架

我们采用 主从（Master-Worker）模型 或 任务并行 框架：

  1. 主进程/线程（Master）：

    • 读取整个数据集 \(D\)（大小为 \(n\)）。
    • 设定参数 \(k, m, s\)。
    • 生成 \(m\) 个采样任务：每个任务指定一个随机种子，用于生成样本 \(S_i\)（注意：可以通过索引采样或生成随机数列表来定义样本，避免传输整个数据集）。
    • 将任务分配给工作进程/线程（Worker）。
    • 收集所有Worker返回的medoid组 \(M_i\) 及其在样本上的局部目标函数值（可选，用于初步筛选）。
    • 启动评估阶段：将每个medoid组 \(M_i\) 和整个数据集 \(D\) 分配给Worker，并行计算总相异度。
    • 选择总相异度最小的medoid组作为最终结果。
    • 执行最终分配（也可并行）。

  2. 工作进程/线程（Worker）：

    • 接收任务（例如，采样种子或样本索引列表）。
    • 根据种子生成样本 \(S_i\)（或从主节点接收样本点）。
    • 在样本 \(S_i\) 上运行 并行化的PAM算法，得到 \(M_i\)。
    • 将 \(M_i\) 返回给Master。
    • 在评估阶段，接收一组medoids \(M_i\)，计算整个数据集 \(D\) 中所有点到这组medoids的总距离（并行计算点之间的距离）。

步骤4：并行化PAM算法（在每个样本上）

在每个Worker上，我们需要高效地在样本 \(S_i\) 上运行PAM。PAM的SWAP阶段是主要开销，我们可以并行化候选交换的评估：

  • 距离矩阵预计算：对于样本 \(S_i\)（大小 \(s\)），预计算一个 \(s \times s\) 的距离矩阵 \(dist\)。由于 \(s\) 较小，这个矩阵可以存储在共享内存中供所有线程访问。
  • 并行SWAP评估：在每次迭代中，尝试用每个非medoid点 \(h\) 替换每个medoid点 \(m_j\)（共约 \(k \cdot (s - k)\) 种候选交换）。对于每一种候选交换 \((h, m_j)\)，我们需要计算如果进行此交换，目标函数的变化量 \(\Delta\)。
    • 我们可以将候选交换分配给多个线程并行计算。
    • 每个线程计算 \(\Delta\) 的方法：
      • 对于样本中的每个点 \(p\)，计算其到当前medoids集合（临时替换后）的最小距离。由于样本小，可以直接扫描计算。
      • 或者，利用预计算的距离矩阵，\(\Delta\) 可以通过分析计算（例如，对于每个点，比较替换前后最近medoid的变化）而不必重新全扫描，但实现稍复杂。
  • 同步与选择：所有线程计算完候选交换的 \(\Delta\) 后，选择一个使 \(\Delta\) 最小（且为负）的交换执行。然后更新medoids集合，进入下一轮迭代，直到没有改进（\(\Delta \ge 0\)）。

这种并行化显著加速了SWAP阶段，因为评估候选交换是内层循环的瓶颈。

步骤5：并行评估medoids组（在整个数据集上）

评估阶段需要对每组medoids \(M_i\) 计算整个数据集 \(D\) 的总相异度。这里可以两层并行：

  1. 组间并行：不同medoid组 \(M_i\) 的评估完全独立，可以分配给不同Worker并行计算。
  2. 数据并行：对于单个medoid组的评估，可以将数据集 \(D\) 划分为块，分给多个线程计算每个数据块的点到medoids的距离和，然后求和。

具体操作：

  • Master将数据集 \(D\) 划分为 \(t\) 个块（\(t\) 为线程数），每个块包含大约 \(n/t\) 个点。
  • 对于每个medoid组 \(M_i\)，每个线程计算自己数据块中所有点到 \(M_i\) 中每个medoid的距离，找到最近medoid的距离，并累加得到局部和。
  • 然后通过归约（reduce）操作（例如，并行求和）得到总相异度。

由于评估阶段需要计算 \(m \times n \times k\) 次距离（但实际上每个点只需要计算到 \(k\) 个medoids的距离并取最小），并行化效果明显。

步骤6：通信与负载均衡考虑

  • 数据分布：在整个数据集 \(D\) 较大的情况下，可以让每个Worker存储一份完整的 \(D\)（如果内存允许），或者Master将数据块分发给Worker。对于评估阶段，每个Worker需要访问整个 \(D\)，因此数据复制或划分传输是必要的。
  • 任务分配：Master将 \(m\) 个采样任务动态分配给Worker（例如，使用任务池），以实现负载均衡，因为不同样本上PAM的收敛速度可能不同。
  • 结果收集：Worker将medoid组 \(M_i\)（仅 \(k\) 个点索引）和评估值返回给Master，通信量很小。

步骤7：算法复杂度分析（并行版本）

  • 时间：
    • 串行CLARA：\(O(m \cdot (s^2 \cdot k \cdot I_{PAM} + n \cdot k))\)，其中 \(I_{PAM}\) 是PAM的SWAP迭代次数。
    • 并行CLARA（假设 \(p\) 个处理器）：
      • 样本PAM并行：理想情况下，\(m\) 个样本分配给 \(p\) 个Worker，时间降为 \(O(\lceil m/p \rceil \cdot (s^2 \cdot k \cdot I_{PAM} / t_{in}))\)，其中 \(t_{in}\) 是PAM内部并行带来的加速（例如，使用多线程并行SWAP评估）。
      • 评估并行：评估 \(m\) 组medoids，可以并行评估不同组，同时每组评估内部数据并行，时间降为 \(O(\lceil m/p \rceil \cdot (n \cdot k / t_{data}))\)，其中 \(t_{data}\) 是数据划分的线程数。
  • 空间：每个Worker需要存储整个数据集 \(D\)（或部分块）以及样本的距离矩阵（\(O(s^2)\)）。

步骤8：实际实现提示

  • 使用并行编程框架如MPI（进程间）或OpenMP（线程级）实现。
  • 随机采样时，每个Worker使用独立随机数生成器，通过不同种子保证样本不重叠。
  • 在评估阶段，可以将medoid组分批评估，以平衡通信和计算。
  • 可以进一步优化：在PAM的BUILD阶段也可以并行化（例如，并行计算每个候选点作为初始medoid的目标函数值）。

总结

通过将CLARA算法的多个采样-PAM过程并行执行，并在每个PAM内部以及全局评估阶段引入数据并行，我们可以显著加速K-Medoids聚类在大规模数据集上的计算。这种方法在保持算法近似质量的同时，充分利用了并行计算资源，适用于分布式内存集群或多核共享内存系统。

并行与分布式系统中的并行化K-Medoids聚类：CLARA算法的并行化（Parallelized CLARA for K-Medoids Clustering） 问题描述 K-Medoids（也称为PAM，Partitioning Around Medoids）是一种经典的聚类算法，类似于K-Means，但使用数据集中的一个实际数据点（medoid）作为聚类中心，而不是计算均值点。这使得它对噪声和离群点更鲁棒。然而，标准PAM算法的时间复杂度较高（约为 \(O(k \cdot n^2)\)，其中 \(k\) 为聚类数，\(n\) 为数据点数），在大规模数据集上计算代价昂贵。 CLARA（Clustering LARge Applications）是一种基于采样的近似算法，用于加速K-Medoids。它通过多次从原始数据集中抽取样本，在每个样本上运行PAM算法得到局部最优的medoids，然后在整个数据集上评估这些medoids的质量，选择最佳的一组作为最终结果。 并行化CLARA 的目标是利用并行计算资源，同时对多个样本进行PAM计算，并并行评估medoids质量，从而显著缩短整体运行时间，同时保持聚类的质量。 解题过程循序渐进讲解 步骤1：理解串行CLARA算法的核心流程 在并行化之前，我们必须清楚串行CLARA的步骤： 参数设定 ：设定聚类数 \(k\)，采样次数 \(m\)，每个样本的大小 \(s\)（通常 \(s \ll n\)，例如 \(s = 40 + 2k\)）。 重复采样与局部PAM ：进行 \(m\) 次循环（例如 \(m = 5\)）。 每次从原始数据集 \(D\)（大小为 \(n\)）中随机抽取一个样本 \(S_ i\)（大小为 \(s\)）。 在样本 \(S_ i\) 上运行 PAM算法 ，找到 \(k\) 个medoids \(M_ i = \{m_ {i1}, ..., m_ {ik}\}\)。 PAM算法本身分为两个阶段 ： BUILD阶段 ：贪心选择初始medoids（例如通过选择使总相异度下降最快的点）。 SWAP阶段 ：迭代尝试用非medoid点替换当前medoid，如果能够降低总相异度（即目标函数，通常是所有点到其最近medoid的距离之和），则接受替换，直到无法改进。 评估与选择 ：对于每一组得到的medoids \(M_ i\)，在整个数据集 \(D\) 上计算聚类质量（即总相异度）。选择总相异度最小的那组medoids作为最终聚类中心。 分配数据点 ：根据最终medoids，将 \(D\) 中所有点分配到最近的medoid，形成最终聚类。 CLARA的加速源于：在较小的样本上运行昂贵的PAM，而评估（步骤3）虽然涉及整个数据集，但计算相对廉价（只需计算每个点到 \(k\) 个medoids的距离并求和）。 步骤2：识别并行化机会 CLARA算法存在天然的并行性： 样本并行 ：\(m\) 个采样-PAM过程相互独立，可以并行执行。 PAM内部的并行 ：PAM算法的SWAP阶段中，尝试替换不同medoid的候选点可以并行评估；距离计算也可以并行化。 评估并行 ：在整个数据集上评估多组medoids的质量时，不同数据点的距离计算可以并行，不同medoid组之间也可以并行评估。 最直接且高效的并行化策略是 样本级并行 ：并行处理多个样本的PAM计算。同时，在评估阶段也可以并行化距离计算。 步骤3：设计并行化CLARA算法框架 我们采用 主从（Master-Worker）模型 或 任务并行 框架： 主进程/线程（Master） ： 读取整个数据集 \(D\)（大小为 \(n\)）。 设定参数 \(k, m, s\)。 生成 \(m\) 个采样任务：每个任务指定一个随机种子，用于生成样本 \(S_ i\)（注意：可以通过索引采样或生成随机数列表来定义样本，避免传输整个数据集）。 将任务分配给工作进程/线程（Worker）。 收集所有Worker返回的medoid组 \(M_ i\) 及其在样本上的局部目标函数值（可选，用于初步筛选）。 启动评估阶段：将每个medoid组 \(M_ i\) 和整个数据集 \(D\) 分配给Worker，并行计算总相异度。 选择总相异度最小的medoid组作为最终结果。 执行最终分配（也可并行）。 工作进程/线程（Worker） ： 接收任务（例如，采样种子或样本索引列表）。 根据种子生成样本 \(S_ i\)（或从主节点接收样本点）。 在样本 \(S_ i\) 上运行 并行化的PAM算法 ，得到 \(M_ i\)。 将 \(M_ i\) 返回给Master。 在评估阶段，接收一组medoids \(M_ i\)，计算整个数据集 \(D\) 中所有点到这组medoids的总距离（并行计算点之间的距离）。 步骤4：并行化PAM算法（在每个样本上） 在每个Worker上，我们需要高效地在样本 \(S_ i\) 上运行PAM。PAM的SWAP阶段是主要开销，我们可以并行化候选交换的评估： 距离矩阵预计算 ：对于样本 \(S_ i\)（大小 \(s\)），预计算一个 \(s \times s\) 的距离矩阵 \(dist\)。由于 \(s\) 较小，这个矩阵可以存储在共享内存中供所有线程访问。 并行SWAP评估 ：在每次迭代中，尝试用每个非medoid点 \(h\) 替换每个medoid点 \(m_ j\)（共约 \(k \cdot (s - k)\) 种候选交换）。对于每一种候选交换 \((h, m_ j)\)，我们需要计算如果进行此交换，目标函数的变化量 \(\Delta\)。 我们可以将候选交换分配给多个线程并行计算。 每个线程计算 \(\Delta\) 的方法： 对于样本中的每个点 \(p\)，计算其到当前medoids集合（临时替换后）的最小距离。由于样本小，可以直接扫描计算。 或者，利用预计算的距离矩阵，\(\Delta\) 可以通过分析计算（例如，对于每个点，比较替换前后最近medoid的变化）而不必重新全扫描，但实现稍复杂。 同步与选择 ：所有线程计算完候选交换的 \(\Delta\) 后，选择一个使 \(\Delta\) 最小（且为负）的交换执行。然后更新medoids集合，进入下一轮迭代，直到没有改进（\(\Delta \ge 0\)）。 这种并行化显著加速了SWAP阶段，因为评估候选交换是内层循环的瓶颈。 步骤5：并行评估medoids组（在整个数据集上） 评估阶段需要对每组medoids \(M_ i\) 计算整个数据集 \(D\) 的总相异度。这里可以两层并行： 组间并行 ：不同medoid组 \(M_ i\) 的评估完全独立，可以分配给不同Worker并行计算。 数据并行 ：对于单个medoid组的评估，可以将数据集 \(D\) 划分为块，分给多个线程计算每个数据块的点到medoids的距离和，然后求和。 具体操作： Master将数据集 \(D\) 划分为 \(t\) 个块（\(t\) 为线程数），每个块包含大约 \(n/t\) 个点。 对于每个medoid组 \(M_ i\)，每个线程计算自己数据块中所有点到 \(M_ i\) 中每个medoid的距离，找到最近medoid的距离，并累加得到局部和。 然后通过归约（reduce）操作（例如，并行求和）得到总相异度。 由于评估阶段需要计算 \(m \times n \times k\) 次距离（但实际上每个点只需要计算到 \(k\) 个medoids的距离并取最小），并行化效果明显。 步骤6：通信与负载均衡考虑 数据分布 ：在整个数据集 \(D\) 较大的情况下，可以让每个Worker存储一份完整的 \(D\)（如果内存允许），或者Master将数据块分发给Worker。对于评估阶段，每个Worker需要访问整个 \(D\)，因此数据复制或划分传输是必要的。 任务分配 ：Master将 \(m\) 个采样任务动态分配给Worker（例如，使用任务池），以实现负载均衡，因为不同样本上PAM的收敛速度可能不同。 结果收集 ：Worker将medoid组 \(M_ i\)（仅 \(k\) 个点索引）和评估值返回给Master，通信量很小。 步骤7：算法复杂度分析（并行版本） 时间 ： 串行CLARA：\(O(m \cdot (s^2 \cdot k \cdot I_ {PAM} + n \cdot k))\)，其中 \(I_ {PAM}\) 是PAM的SWAP迭代次数。 并行CLARA（假设 \(p\) 个处理器）： 样本PAM并行：理想情况下，\(m\) 个样本分配给 \(p\) 个Worker，时间降为 \(O(\lceil m/p \rceil \cdot (s^2 \cdot k \cdot I_ {PAM} / t_ {in}))\)，其中 \(t_ {in}\) 是PAM内部并行带来的加速（例如，使用多线程并行SWAP评估）。 评估并行：评估 \(m\) 组medoids，可以并行评估不同组，同时每组评估内部数据并行，时间降为 \(O(\lceil m/p \rceil \cdot (n \cdot k / t_ {data}))\)，其中 \(t_ {data}\) 是数据划分的线程数。 空间 ：每个Worker需要存储整个数据集 \(D\)（或部分块）以及样本的距离矩阵（\(O(s^2)\)）。 步骤8：实际实现提示 使用并行编程框架如MPI（进程间）或OpenMP（线程级）实现。 随机采样时，每个Worker使用独立随机数生成器，通过不同种子保证样本不重叠。 在评估阶段，可以将medoid组分批评估，以平衡通信和计算。 可以进一步优化：在PAM的BUILD阶段也可以并行化（例如，并行计算每个候选点作为初始medoid的目标函数值）。 总结 通过将CLARA算法的多个采样-PAM过程并行执行，并在每个PAM内部以及全局评估阶段引入数据并行，我们可以显著加速K-Medoids聚类在大规模数据集上的计算。这种方法在保持算法近似质量的同时，充分利用了并行计算资源，适用于分布式内存集群或多核共享内存系统。