合并相邻石子堆的最小成本问题（每次合并得分等于两堆石子数量之和，求最小总得分）
字数 2862 2025-12-23 02:00:09

合并相邻石子堆的最小成本问题（每次合并得分等于两堆石子数量之和，求最小总得分）

题目描述
有 \(n\) 堆石子排成一列，第 \(i\) 堆石子有 \(a_i\) 个石子。每次可以合并相邻的两堆石子，合并的成本（得分）等于合并后新堆中石子的数量，即两堆石子的数量之和。经过 \(n-1\) 次合并后，所有石子合并为一堆。要求你设计一个方案，使得合并过程的总成本最小，并输出这个最小总成本。

示例
输入：石子堆数量 \(n = 4\)，各堆石子数 \(a = [4, 2, 1, 3]\)。
输出：最小总成本 = 25。

解释：
一种最优合并顺序为：

  1. 合并第 3 和第 4 堆（1 和 3），成本 = 1 + 3 = 4，新堆为 4。当前石子堆变为 [4, 2, 4]。
  2. 合并第 2 和第 3 堆（2 和 4），成本 = 2 + 4 = 6，新堆为 6。当前石子堆变为 [4, 6]。
  3. 合并第 1 和第 2 堆（4 和 6），成本 = 4 + 6 = 10。
    总成本 = 4 + 6 + 10 = 20。
    注意：这里给出的合并顺序并不是最优的，实际上最优顺序的总成本是 25，稍后我们通过计算验证。

解题步骤详解

第一步：理解合并成本计算方式
每次合并的成本是当前合并的两堆石子数量之和。这个成本是“累加”的，因为合并后的新堆在后续合并中会继续被用到。因此，较早合并的小堆会重复计入后续的成本，这提示我们：让较小的堆尽早合并可能会降低总成本。

例如，对于石子堆 [4, 2, 1, 3]，如果先合并最小的 1 和 2（成本 3），得到 [4, 3, 3]，再合并 3 和 3（成本 6），得到 [4, 6]，最后合并 4 和 6（成本 10），总成本 = 3 + 6 + 10 = 19，这比 20 更小。但这是否是最优？我们需用动态规划来精确计算。

第二步：定义状态
区间动态规划适用于这种“合并相邻两堆”的问题。设：

  • \(dp[i][j]\) 表示合并第 \(i\) 堆到第 \(j\) 堆的所有石子（合并成一堆）的最小总成本。
  • 我们最终要求 \(dp[1][n]\)（下标从 1 开始）。

第三步：状态转移方程
考虑最后一次合并：在合并区间 \([i, j]\) 时，最后一次合并一定是将区间分成两段 \([i, k]\) 和 \([k+1, j]\) 分别合并成两堆，然后将这两堆合并。合并这两堆的成本等于这两堆的总石子数，即整个区间 \([i, j]\) 的总和 \(sum(i, j)\)。
所以转移方程为：

\[dp[i][j] = \min_{i \le k < j} \{ dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum(i, j) \} \]

其中 \(sum(i, j)\) 表示从第 \(i\) 堆到第 \(j\) 堆的石子总数。

为什么加上 \(sum(i, j)\) ？
因为合并 \([i, k]\) 和 \([k+1, j]\) 这两堆时，成本是它们石子数之和，而这个和就是整个区间的石子总数。这个成本是在最后一步产生的，而前面合并两段各自的成本已经包含在 \(dp[i][k]\) 和 \(dp[k+1][j]\) 中。

第四步：初始化
当区间长度 \(len = 1\) 时，只有一堆石子，不需要合并，所以 \(dp[i][i] = 0\)。

第五步：计算顺序
由于大区间依赖于小区间，我们需要按照区间长度从小到大计算：

  1. 先计算所有长度为 2 的区间（即相邻两堆），然后长度 3，依次类推，直到长度 n。

第六步：高效计算区间和
我们可以用前缀和数组 \(prefix\)，令 \(prefix[0] = 0\)，\(prefix[i] = a_1 + a_2 + \dots + a_i\)，则：

\[sum(i, j) = prefix[j] - prefix[i-1] \]

第七步：示例计算
石子堆：\(a = [4, 2, 1, 3]\)，n=4。
前缀和：\(prefix = [0, 4, 6, 7, 10]\)。

  • 长度 2 的区间：
    \(dp[1][2] = dp[1][1] + dp[2][2] + sum(1,2) = 0 + 0 + 6 = 6\)
    \(dp[2][3] = 0 + 0 + 3 = 3\)
    \(dp[3][4] = 0 + 0 + 4 = 4\)
  • 长度 3 的区间：
    \(dp[1][3] = \min\{ dp[1][1]+dp[2][3]+sum(1,3), dp[1][2]+dp[3][3]+sum(1,3) \}\)
    = \(\min\{0+3+7, 6+0+7\} = \min\{10, 13\} = 10\)
    \(dp[2][4] = \min\{ dp[2][2]+dp[3][4]+sum(2,4), dp[2][3]+dp[4][4]+sum(2,4) \}\)
    = \(\min\{0+4+6, 3+0+6\} = \min\{10, 9\} = 9\)
  • 长度 4 的区间：
    \( dp[1][4] = \min{
    dp[1][1]+dp[2][4]+sum(1,4),
    dp[1][2]+dp[3][4]+sum(1,4),
    dp[1][3]+dp[4][4]+sum(1,4)
    } \)
    = \(\min\{0+9+10, 6+4+10, 10+0+10\}\)
    = \(\min\{19, 20, 20\} = 19\)

所以最小总成本是 19，而不是示例中说的 25。示例中的 25 可能是笔误，我们通过动态规划算得 19 是最优解。实际上，这符合“让小的先合并”的直观。

第八步：时间与空间复杂度

  • 状态数：\(O(n^2)\)
  • 每个状态需枚举分割点 k，\(O(n)\)
  • 总复杂度：\(O(n^3)\)
    空间复杂度：\(O(n^2)\)

第九步：优化思路（选学）
在经典“石子合并”问题中，如果合并成本是石子数之和，则该问题等价于“哈夫曼编码”的变种（但哈夫曼编码允许任意合并，不要求相邻）。对于相邻合并的版本，存在“四边形不等式优化”可以将复杂度降为 \(O(n^2)\)，适用于某些特定条件，但这里不展开。

最终答案
对于石子堆 [4, 2, 1, 3]，最小总成本 = 19。
通过区间动态规划，我们可以高效解决更大规模的问题（通常 n 在 300 以内用 \(O(n^3)\) 可解）。

合并相邻石子堆的最小成本问题（每次合并得分等于两堆石子数量之和，求最小总得分） 题目描述 有 \( n \) 堆石子排成一列，第 \( i \) 堆石子有 \( a_ i \) 个石子。每次可以合并相邻的两堆石子，合并的成本（得分）等于合并后新堆中石子的数量，即两堆石子的数量之和。经过 \( n-1 \) 次合并后，所有石子合并为一堆。要求你设计一个方案，使得合并过程的总成本最小，并输出这个最小总成本。 示例 输入：石子堆数量 \( n = 4 \)，各堆石子数 \( a = [ 4, 2, 1, 3 ] \)。 输出：最小总成本 = 25。 解释： 一种最优合并顺序为： 合并第 3 和第 4 堆（1 和 3），成本 = 1 + 3 = 4，新堆为 4。当前石子堆变为 [ 4, 2, 4 ]。 合并第 2 和第 3 堆（2 和 4），成本 = 2 + 4 = 6，新堆为 6。当前石子堆变为 [ 4, 6 ]。 合并第 1 和第 2 堆（4 和 6），成本 = 4 + 6 = 10。 总成本 = 4 + 6 + 10 = 20。 注意：这里给出的合并顺序并不是最优的，实际上最优顺序的总成本是 25，稍后我们通过计算验证。 解题步骤详解 第一步：理解合并成本计算方式 每次合并的成本是 当前合并的两堆石子数量之和 。这个成本是“累加”的，因为合并后的新堆在后续合并中会继续被用到。因此，较早合并的小堆会重复计入后续的成本，这提示我们： 让较小的堆尽早合并 可能会降低总成本。 例如，对于石子堆 [ 4, 2, 1, 3]，如果先合并最小的 1 和 2（成本 3），得到 [ 4, 3, 3]，再合并 3 和 3（成本 6），得到 [ 4, 6 ]，最后合并 4 和 6（成本 10），总成本 = 3 + 6 + 10 = 19，这比 20 更小。但这是否是最优？我们需用动态规划来精确计算。 第二步：定义状态 区间动态规划适用于这种“合并相邻两堆”的问题。设： \( dp[ i][ j ] \) 表示合并第 \( i \) 堆到第 \( j \) 堆的所有石子（合并成一堆）的最小总成本。 我们最终要求 \( dp[ 1][ n ] \)（下标从 1 开始）。 第三步：状态转移方程 考虑最后一次合并：在合并区间 \([ i, j]\) 时，最后一次合并一定是将区间分成两段 \([ i, k]\) 和 \([ k+1, j]\) 分别合并成两堆，然后将这两堆合并。合并这两堆的成本等于这两堆的总石子数，即整个区间 \([ i, j ]\) 的总和 \( sum(i, j) \)。 所以转移方程为： \[ dp[ i][ j] = \min_ {i \le k < j} \{ dp[ i][ k] + dp[ k+1][ j ] + sum(i, j) \} \] 其中 \( sum(i, j) \) 表示从第 \( i \) 堆到第 \( j \) 堆的石子总数。 为什么加上 \( sum(i, j) \) ？ 因为合并 \([ i, k]\) 和 \([ k+1, j]\) 这两堆时，成本是它们石子数之和，而这个和就是整个区间的石子总数。这个成本是在最后一步产生的，而前面合并两段各自的成本已经包含在 \( dp[ i][ k] \) 和 \( dp[ k+1][ j ] \) 中。 第四步：初始化 当区间长度 \( len = 1 \) 时，只有一堆石子，不需要合并，所以 \( dp[ i][ i ] = 0 \)。 第五步：计算顺序 由于大区间依赖于小区间，我们需要按照区间长度从小到大计算： 先计算所有长度为 2 的区间（即相邻两堆），然后长度 3，依次类推，直到长度 n。 第六步：高效计算区间和 我们可以用前缀和数组 \( prefix \)，令 \( prefix[ 0] = 0 \)，\( prefix[ i] = a_ 1 + a_ 2 + \dots + a_ i \)，则： \[ sum(i, j) = prefix[ j] - prefix[ i-1 ] \] 第七步：示例计算 石子堆：\( a = [ 4, 2, 1, 3 ] \)，n=4。 前缀和：\( prefix = [ 0, 4, 6, 7, 10 ] \)。 长度 2 的区间： \( dp[ 1][ 2] = dp[ 1][ 1] + dp[ 2][ 2 ] + sum(1,2) = 0 + 0 + 6 = 6 \) \( dp[ 2][ 3 ] = 0 + 0 + 3 = 3 \) \( dp[ 3][ 4 ] = 0 + 0 + 4 = 4 \) 长度 3 的区间： \( dp[ 1][ 3] = \min\{ dp[ 1][ 1]+dp[ 2][ 3]+sum(1,3), dp[ 1][ 2]+dp[ 3][ 3 ]+sum(1,3) \} \) = \( \min\{0+3+7, 6+0+7\} = \min\{10, 13\} = 10 \) \( dp[ 2][ 4] = \min\{ dp[ 2][ 2]+dp[ 3][ 4]+sum(2,4), dp[ 2][ 3]+dp[ 4][ 4 ]+sum(2,4) \} \) = \( \min\{0+4+6, 3+0+6\} = \min\{10, 9\} = 9 \) 长度 4 的区间： \( dp[ 1][ 4 ] = \min\{ dp[ 1][ 1]+dp[ 2][ 4 ]+sum(1,4), dp[ 1][ 2]+dp[ 3][ 4 ]+sum(1,4), dp[ 1][ 3]+dp[ 4][ 4 ]+sum(1,4) \} \) = \( \min\{0+9+10, 6+4+10, 10+0+10\} \) = \( \min\{19, 20, 20\} = 19 \) 所以最小总成本是 19，而不是示例中说的 25。示例中的 25 可能是笔误，我们通过动态规划算得 19 是最优解。实际上，这符合“让小的先合并”的直观。 第八步：时间与空间复杂度 状态数：\( O(n^2) \) 每个状态需枚举分割点 k，\( O(n) \) 总复杂度：\( O(n^3) \) 空间复杂度：\( O(n^2) \) 第九步：优化思路（选学） 在经典“石子合并”问题中，如果合并成本是石子数之和，则该问题等价于“哈夫曼编码”的变种（但哈夫曼编码允许任意合并，不要求相邻）。对于相邻合并的版本，存在“四边形不等式优化”可以将复杂度降为 \( O(n^2) \)，适用于某些特定条件，但这里不展开。 最终答案 对于石子堆 [ 4, 2, 1, 3 ]，最小总成本 = 19。 通过区间动态规划，我们可以高效解决更大规模的问题（通常 n 在 300 以内用 \( O(n^3) \) 可解）。