排序算法之：基于最小平均等待时间调度（Shortest Average Wait Time Scheduling）的贪心策略证明与算法实现
字数 2684 2025-12-22 23:37:53

排序算法之：基于最小平均等待时间调度（Shortest Average Wait Time Scheduling）的贪心策略证明与算法实现

题目描述：
假设有一个单处理器系统，需要处理一组任务。每个任务用一个整数数组 tasks 表示，其中 tasks[i] 是第 i 个任务的处理时间（非负）。任务按照到达顺序依次等待处理，但处理器可以自由选择接下来处理哪个任务（即可以重新安排顺序）。目标是最小化所有任务的平均等待时间。等待时间定义为从任务到达（假设所有任务同时到达，时间为0）到开始执行的时间。请设计一个算法，输出任务的最优执行顺序，并证明该顺序确实最小化了平均等待时间。

例如，任务处理时间数组为 [3, 1, 2]。
如果按原顺序执行，等待时间分别为：任务0（3）等待0，任务1（1）等待3，任务2（2）等待3+1=4，总等待时间 = 0+3+4=7，平均等待时间 = 7/3 ≈ 2.333。
如果按处理时间升序执行，即顺序为 [1, 2, 3]，则等待时间分别为：0, 1, 1+2=3，总等待时间 = 0+1+3=4，平均等待时间 = 4/3 ≈ 1.333。显然更优。

解题过程循序渐进讲解：

第一步：问题形式化
设有 n 个任务，处理时间为 p₁, p₂, …, pₙ。假设所有任务在时间 0 同时到达（这是常见简化，若不同到达时间则问题更复杂，需考虑“最短剩余时间优先”等调度策略）。
若执行顺序是任务索引的一个排列 π₁, π₂, …, πₙ，则：

  • 任务 π₁ 开始于时间 0，等待时间 W₁ = 0。
  • 任务 π₂ 开始于时间 p₍π₁₎，等待时间 W₂ = p₍π₁₎。
  • 任务 π₃ 开始于时间 p₍π₁₎ + p₍π₂₎，等待时间 W₃ = p₍π₁₎ + p₍π₂₎。
  • ……
  • 任务 πₖ 的等待时间 Wₖ = Σⱼ=1..k-1 p₍πⱼ₎。

总等待时间 T = Σₖ₌₁ⁿ Wₖ。
平均等待时间 = T / n。
因为 n 固定，最小化平均等待时间等价于最小化总等待时间 T。

第二步：将总等待时间写成处理时间的函数
将 T 展开：

T = W₁ + W₂ + … + Wₙ
  = 0 + p₍π₁₎ + (p₍π₁₎ + p₍π₂₎) + … + (p₍π₁₎ + … + p₍πₙ₋₁₎)

数一下每个处理时间在总和中出现的次数：

  • p₍π₁₎ 出现在 W₂, W₃, …, Wₙ 中，即出现 n-1 次。
  • p₍π₂₎ 出现在 W₃, …, Wₙ 中，即出现 n-2 次。
  • …
  • p₍πₖ₎ 出现 n-k 次。
  • 最后 p₍πₙ₎ 出现 0 次。

因此：

T = (n-1)·p₍π₁₎ + (n-2)·p₍π₂₎ + … + 0·p₍πₙ₎

即 T = Σₖ₌₁ⁿ (n-k)·p₍πₖ₎。

第三步：贪心策略的猜想
观察公式：T 是处理时间的加权和，权重从 n-1 递减到 0。
为了最小化 T，显然应该将最小的处理时间赋予最大的权重，即：让最小的 p 对应最大的权重 n-1，次小的 p 对应次大的权重 n-2，依此类推。
这等价于将处理时间按升序排列，先执行最短的任务，再执行次短的，……，最后执行最长的。
这就是最短处理时间优先（Shortest Processing Time first, SPT）策略。

第四步：严格证明贪心策略最优
用交换论证法（exchange argument）：
假设存在一个最优顺序，其中相邻两个任务 A 和 B，A 在 B 前面执行，但 p_A > p_B（即不是按升序）。
考虑交换 A 和 B 的位置，其他任务顺序不变。
交换前，A 和 B 对总等待时间的贡献（只考虑它们自身及它们之后的任务受它们影响的部分）为：
设 A 之前的任务总时间为 S，则：

  • A 的等待时间 = S（对总等待时间贡献一次 S，因为 A 自身等待时间计入总和）。
  • B 的等待时间 = S + p_A。
  • 在 B 之后的任务，每个都多等了 p_A + p_B 的时间（因为它们在 A 和 B 之后）。

交换后，顺序变为 B 在 A 前：

  • B 的等待时间 = S。
  • A 的等待时间 = S + p_B。
  • 在 A 之后的任务，每个都多等了 p_B + p_A 的时间（与交换前相同，因为 p_A + p_B = p_B + p_A）。

比较交换前后总等待时间的变化：
交换前，A 和 B 自身等待时间之和 = S + (S + p_A) = 2S + p_A。
交换后，B 和 A 自身等待时间之和 = S + (S + p_B) = 2S + p_B。
由于 p_B < p_A，交换后减少了 p_A - p_B > 0。
而其他任务的等待时间不变（因为 A 和 B 的总处理时间相同，只是顺序不同，不影响后面任务的开始时间）。
因此交换后总等待时间更小，与“最优”矛盾。
所以，最优顺序中任意相邻两个任务必须满足 p_A ≤ p_B，即整个序列按处理时间非递减排序。
这就证明了 SPT 顺序是唯一最优的（若处理时间相同，顺序可任意）。

第五步：算法实现
算法非常简单：

  1. 输入数组 tasks（处理时间列表）。
  2. 对 tasks 进行升序排序。
  3. 输出排序后的顺序，即为最优执行顺序。

同时可计算最小总等待时间：

total_wait = 0
current_time = 0
for t in sorted_tasks:
    total_wait += current_time   # 当前任务开始前的等待时间
    current_time += t
average_wait = total_wait / n

或直接按公式 T = Σₖ₌₁ⁿ (n-k)·tasks_sorted[k-1] 计算。

第六步：示例演算
对 tasks = [3, 1, 2]：
排序后为 [1, 2, 3]。
总等待时间 = (3-1)1 + (3-2)2 + (3-3)3 = 21 + 12 + 03 = 4。
平均等待时间 = 4/3 ≈ 1.333。

第七步：扩展讨论

  • 若任务有不同到达时间，则问题变为“最短剩余时间优先（SRTF）”调度，需用优先队列模拟。
  • 若考虑截止时间，则可能变为“最早截止时间优先（EDF）”等。
  • 平均等待时间最小化等价于平均周转时间（等待时间+处理时间）最小化，因为总处理时间固定。
  • 该贪心策略是调度理论中的一个经典结论，是“最小化平均等待时间”的标准解法。

总结：
本题展示了如何通过将总等待时间表示为加权和，发现权重递减规律，从而推导出 SPT 贪心策略，并用交换论证法严格证明其最优性。实现上只需一次排序，时间复杂度 O(n log n)，空间 O(1) 或 O(n)。

排序算法之：基于最小平均等待时间调度（Shortest Average Wait Time Scheduling）的贪心策略证明与算法实现 题目描述 ： 假设有一个单处理器系统，需要处理一组任务。每个任务用一个整数数组 tasks 表示，其中 tasks[i] 是第 i 个任务的处理时间（非负）。任务按照到达顺序依次等待处理，但处理器可以 自由选择 接下来处理哪个任务（即可以重新安排顺序）。目标是 最小化所有任务的平均等待时间 。等待时间定义为从任务到达（假设所有任务同时到达，时间为0）到开始执行的时间。请设计一个算法，输出任务的最优执行顺序，并证明该顺序确实最小化了平均等待时间。 例如，任务处理时间数组为 [3, 1, 2] 。 如果按原顺序执行，等待时间分别为：任务0（3）等待0，任务1（1）等待3，任务2（2）等待3+1=4，总等待时间 = 0+3+4=7，平均等待时间 = 7/3 ≈ 2.333。 如果按处理时间升序执行，即顺序为 [1, 2, 3] ，则等待时间分别为：0, 1, 1+2=3，总等待时间 = 0+1+3=4，平均等待时间 = 4/3 ≈ 1.333。显然更优。 解题过程循序渐进讲解 ： 第一步：问题形式化 设有 n 个任务，处理时间为 p₁, p₂, …, pₙ 。假设所有任务在时间 0 同时到达（这是常见简化，若不同到达时间则问题更复杂，需考虑“最短剩余时间优先”等调度策略）。 若执行顺序是任务索引的一个排列 π₁, π₂, …, πₙ ，则： 任务 π₁ 开始于时间 0，等待时间 W₁ = 0 。 任务 π₂ 开始于时间 p₍π₁₎ ，等待时间 W₂ = p₍π₁₎ 。 任务 π₃ 开始于时间 p₍π₁₎ + p₍π₂₎ ，等待时间 W₃ = p₍π₁₎ + p₍π₂₎ 。 …… 任务 πₖ 的等待时间 Wₖ = Σⱼ=1..k-1 p₍πⱼ₎ 。 总等待时间 T = Σₖ₌₁ⁿ Wₖ 。 平均等待时间 = T / n 。 因为 n 固定，最小化平均等待时间等价于最小化总等待时间 T 。 第二步：将总等待时间写成处理时间的函数 将 T 展开： 数一下每个处理时间在总和中出现的次数： p₍π₁₎ 出现在 W₂, W₃, …, Wₙ 中，即出现 n-1 次。 p₍π₂₎ 出现在 W₃, …, Wₙ 中，即出现 n-2 次。 … p₍πₖ₎ 出现 n-k 次。 最后 p₍πₙ₎ 出现 0 次。 因此： 即 T = Σₖ₌₁ⁿ (n-k)·p₍πₖ₎ 。 第三步：贪心策略的猜想 观察公式： T 是处理时间的加权和，权重从 n-1 递减到 0。 为了最小化 T ，显然 应该将最小的处理时间赋予最大的权重 ，即：让最小的 p 对应最大的权重 n-1 ，次小的 p 对应次大的权重 n-2 ，依此类推。 这等价于 将处理时间按升序排列 ，先执行最短的任务，再执行次短的，……，最后执行最长的。 这就是 最短处理时间优先（Shortest Processing Time first, SPT） 策略。 第四步：严格证明贪心策略最优 用交换论证法（exchange argument）： 假设存在一个最优顺序，其中相邻两个任务 A 和 B ， A 在 B 前面执行，但 p_A > p_B （即不是按升序）。 考虑交换 A 和 B 的位置，其他任务顺序不变。 交换前， A 和 B 对总等待时间的贡献（只考虑它们自身及它们之后的任务受它们影响的部分）为： 设 A 之前的任务总时间为 S ，则： A 的等待时间 = S （对总等待时间贡献一次 S ，因为 A 自身等待时间计入总和）。 B 的等待时间 = S + p_A 。 在 B 之后的任务，每个都多等了 p_A + p_B 的时间（因为它们在 A 和 B 之后）。 交换后，顺序变为 B 在 A 前： B 的等待时间 = S 。 A 的等待时间 = S + p_B 。 在 A 之后的任务，每个都多等了 p_B + p_A 的时间（与交换前相同，因为 p_A + p_B = p_B + p_A ）。 比较交换前后总等待时间的变化： 交换前， A 和 B 自身等待时间之和 = S + (S + p_A) = 2S + p_A 。 交换后， B 和 A 自身等待时间之和 = S + (S + p_B) = 2S + p_B 。 由于 p_B < p_A ，交换后减少了 p_A - p_B > 0 。 而其他任务的等待时间不变（因为 A 和 B 的总处理时间相同，只是顺序不同，不影响后面任务的开始时间）。 因此交换后总等待时间更小，与“最优”矛盾。 所以，最优顺序中任意相邻两个任务必须满足 p_A ≤ p_B ，即整个序列按处理时间非递减排序。 这就证明了 SPT 顺序是唯一最优的 （若处理时间相同，顺序可任意）。 第五步：算法实现 算法非常简单： 输入数组 tasks （处理时间列表）。 对 tasks 进行升序排序。 输出排序后的顺序，即为最优执行顺序。 同时可计算最小总等待时间： 或直接按公式 T = Σₖ₌₁ⁿ (n-k)·tasks_sorted[k-1] 计算。 第六步：示例演算 对 tasks = [3, 1, 2] ： 排序后为 [1, 2, 3] 。 总等待时间 = (3-1) 1 + (3-2) 2 + (3-3) 3 = 2 1 + 1 2 + 0 3 = 4。 平均等待时间 = 4/3 ≈ 1.333。 第七步：扩展讨论 若任务有不同到达时间，则问题变为“最短剩余时间优先（SRTF）”调度，需用优先队列模拟。 若考虑截止时间，则可能变为“最早截止时间优先（EDF）”等。 平均等待时间最小化等价于平均周转时间（等待时间+处理时间）最小化，因为总处理时间固定。 该贪心策略是调度理论中的一个经典结论，是“最小化平均等待时间”的标准解法。 总结 ： 本题展示了如何通过将总等待时间表示为加权和，发现权重递减规律，从而推导出 SPT 贪心策略，并用交换论证法严格证明其最优性。实现上只需一次排序，时间复杂度 O(n log n)，空间 O(1) 或 O(n)。