非线性规划中的自适应信赖域反射-序列凸近似-拟牛顿混合算法进阶题：处理非光滑、非凸目标与非凸不等式约束的大规模稀疏优化问题
字数 5187 2025-12-22 22:53:11

非线性规划中的自适应信赖域反射-序列凸近似-拟牛顿混合算法进阶题：处理非光滑、非凸目标与非凸不等式约束的大规模稀疏优化问题

题目描述：

考虑如下大规模非线性规划问题：

\[\min_{x \in \mathbb{R}^n} f(x) + h(x) \]

\[ \text{s.t.} \quad c_i(x) \le 0, \quad i = 1,\ldots,m \]

\[ l \le x \le u \]

其中：

  • 目标函数包含两部分：
    • \(f(x)\) 是光滑但非凸的函数，可计算梯度 \(\nabla f(x)\) 和近似 Hessian 矩阵。
    • \(h(x)\) 是非光滑凸函数（如 L1 范数 \(\|x\|_1\)，或分组稀疏正则项），其近似点算子（proximal operator）可高效计算。
  • 约束函数 \(c_i(x)\) 是非线性、非凸且高维（\(n, m\) 可达数万至数百万），但它们是稀疏的：每个 \(c_i(x)\) 只依赖于 \(x\) 中的少量变量，且梯度 \(\nabla c_i(x)\) 是稀疏向量。
  • 边界约束 \(l \le x \le u\) 是简单的框约束。

问题的挑战在于：目标非凸、非光滑，约束非凸、大规模、稀疏，传统算法在收敛性、计算效率上可能不足。

要求：设计一种自适应信赖域反射-序列凸近似-拟牛顿混合算法（Adaptive Trust Region Reflection-Sequential Convex Approximation-Quasi-Newton Hybrid Algorithm, ATRR-SCA-QN），在每步迭代中：

  1. 用序列凸近似（SCA）处理非凸约束，转化为一系列凸子问题；
  2. 在子问题中结合自适应信赖域反射（Adaptive Trust Region Reflection）确保可行性并加速收敛；
  3. 用拟牛顿法（如 L-BFGS）近似 Hessian 以减少计算量；
  4. 引入自适应机制调整信赖域半径、凸近似精度和步长；
  5. 利用问题稀疏性设计高效线性代数求解。

请详细阐述算法步骤、关键公式、自适应策略和收敛性考虑。

解题过程循序渐进讲解：

1. 问题重构与序列凸近似（SCA）框架

原问题约束 \(c_i(x) \le 0\) 非凸，无法直接保证子问题是凸优化。序列凸近似的核心思想是：在当前迭代点 \(x_k\)，用凸近似函数 \(\hat{c}_i(x;x_k)\) 替代 \(c_i(x)\)，构造凸子问题。

对于非凸 \(c_i(x)\)，常用一阶凸近似（如线性化）：

\[\hat{c}_i(x;x_k) = c_i(x_k) + \nabla c_i(x_k)^T (x - x_k) + \frac{\tau_i}{2} \|x - x_k\|^2 \]

其中 \(\tau_i \ge 0\) 是正则化参数，确保 \(\hat{c}_i\) 是强凸的（若 \(c_i\) 非凸，线性化只是仿射，加二次项使之凸）。但为了保持稀疏性，通常只对涉及变量加二次项，即：

\[\frac{\tau_i}{2} \|x - x_k\|_S^2 \]

其中 \(S\) 是 \(c_i\) 依赖的变量指标集。

于是，第 \(k\) 次迭代的子问题为：

\[\min_{x} f(x) + h(x) \]

\[ \text{s.t.} \quad \hat{c}_i(x;x_k) \le 0, \quad i=1,\ldots,m \]

\[ l \le x \le u \]

注意 \(f(x)\) 仍是非凸的，但目标中 \(h(x)\) 非光滑，约束已凸化。

2. 子问题求解：自适应信赖域反射-拟牛顿混合法

对子问题，我们采用自适应信赖域反射（Trust Region Reflection）处理约束，结合拟牛顿更新。

2.1 增广拉格朗日形式（为方便处理约束）

引入松弛变量 \(s_i \ge 0\)，将不等式约束转化为等式：

\[\hat{c}_i(x;x_k) + s_i = 0, \quad s_i \ge 0 \]

定义增广拉格朗日函数（忽略边界约束暂时）：

\[\mathcal{L}_\rho(x,s,\lambda) = f(x) + h(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i (\hat{c}_i(x;x_k) + s_i) + \frac{\rho}{2} \sum_{i=1}^m (\hat{c}_i(x;x_k) + s_i)^2 \]

其中 \(\lambda_i\) 是 Lagrange 乘子，\(\rho > 0\) 是惩罚参数。

2.2 信赖域反射子步

在每次内迭代中，固定 \(\lambda, \rho\)，我们求解关于 \(x\) 的子问题：

\[\min_x \phi_k(x) := f(x) + h(x) + \frac{\rho}{2} \sum_{i=1}^m (\hat{c}_i(x;x_k) + s_i)^2 \]

其中 \(s_i = \max(0, -\hat{c}_i(x;x_k) - \lambda_i/\rho)\) 是显式可计算的。

由于 \(f\) 非凸，我们用拟牛顿法构造二阶模型。令 \(B_k \approx \nabla^2 f(x_k)\) 是 L-BFGS 近似，则模型函数为：

\[m_k(p) = f(x_k) + \nabla f(x_k)^T p + \frac12 p^T B_k p + h(x_k + p) + \frac{\rho}{2} \sum_{i=1}^m (\hat{c}_i(x_k+p;x_k) + s_i)^2 \]

其中 \(p = x - x_k\)。由于 \(h\) 非光滑，该模型仍不易直接解。我们采用近似点梯度步与信赖域结合：

  • 计算梯度部分：\(g_k = \nabla f(x_k) + \rho \sum_i (\hat{c}_i(x_k;x_k) + s_i) \nabla \hat{c}_i(x_k;x_k)\)。
  • 定义子问题：在信赖域 \(\|p\| \le \Delta_k\) 内，求解

\[\min_p \tilde{m}_k(p) := g_k^T p + \frac12 p^T B_k p + h(x_k + p) \]

这一步是复合优化，可用 FISTA 或近似点梯度法在信赖域内求解，得到候选步 \(p_k\)。

2.3 自适应信赖域调整

计算实际下降量与预测下降量之比：

\[r_k = \frac{\phi_k(x_k) - \phi_k(x_k + p_k)}{\tilde{m}_k(0) - \tilde{m}_k(p_k)} \]

更新信赖域半径：

\[\Delta_{k+1} = \begin{cases} \max(\gamma_1 \Delta_k, \Delta_{\min}) & \text{if } r_k < \eta_1 \\ \Delta_k & \text{if } \eta_1 \le r_k < \eta_2 \\ \min(\gamma_2 \Delta_k, \Delta_{\max}) & \text{if } r_k \ge \eta_2 \end{cases} \]

其中 \(0 < \eta_1 < \eta_2 < 1\)，\(0 < \gamma_1 < 1 < \gamma_2\)，\(\Delta_{\min}, \Delta_{\max}\) 是半径界限。

2.4 反射步加速

若 \(r_k\) 很小（步长被拒绝），采用反射步：计算反射点 \(x_k^{\text{ref}} = x_k - \alpha p_k\)（\(\alpha \in (0,1)\)），重新评估。若反射点有足够下降，则接受反射步，并扩大信赖域。

3. 自适应策略

3.1 凸近似精度调整

参数 \(\tau_i\) 控制凸近似的保守程度。若迭代中约束违背变化剧烈，增加 \(\tau_i\) 使近似更保守（凸性更强）；若稳定，则减小 \(\tau_i\) 以提高逼近精度。调整依据：

\[\tau_i^{(k+1)} = \begin{cases} \beta_{\text{inc}} \tau_i^{(k)} & \text{if } |c_i(x_{k+1}) - \hat{c}_i(x_{k+1};x_k)| > \epsilon_c \\ \max(\beta_{\text{dec}} \tau_i^{(k)}, \tau_{\min}) & \text{otherwise} \end{cases} \]

其中 \(\beta_{\text{inc}} > 1, \beta_{\text{dec}} < 1\)。

3.2 拟牛顿更新

由于问题稀疏，采用有限记忆 L-BFGS（L-BFGS）更新 \(B_k\)，只保存最近 \(m_{\text{mem}}\) 次的梯度对 \((s_j, y_j)\)，其中 \(s_j = x_{j+1} - x_j\)，\(y_j = \nabla f(x_{j+1}) + J_c(x_{j+1})^T \lambda_{j+1} - (\nabla f(x_j) + J_c(x_j)^T \lambda_j)\)，这里 \(J_c\) 是约束 Jacobi 矩阵。稀疏性允许快速矩阵-向量乘。

4. 整体算法流程

  1. 初始化：选初始点 \(x_0\)，乘子 \(\lambda_0\)，信赖域半径 \(\Delta_0\)，凸近似参数 \(\tau_i^{(0)}\)，惩罚参数 \(\rho_0\)，容忍度 \(\epsilon\)。

  2. 外层循环（SCA 迭代）：对 \(k = 0,1,\ldots\)：
    a. 构建凸近似约束 \(\hat{c}_i(x;x_k)\) 如上。
    b. 内层循环（信赖域反射-拟牛顿迭代）：

    • 用 L-BFGS 更新 \(B_k\)。
    • 在信赖域内求解子问题得候选步 \(p_k\)。
    • 计算比值 \(r_k\)，按规则更新 \(\Delta_k\) 和可能反射。
    • 若满足内层收敛（如 \(\|p_k\| < \epsilon_{\text{inner}}\)），退出内层。
      c. 更新 \(x_{k+1} = x_k + p_k\)。
      d. 更新乘子：\(\lambda_i^{(k+1)} = \lambda_i^{(k)} + \rho_k (\hat{c}_i(x_{k+1};x_k) + s_i)\)。
      e. 调整 \(\tau_i^{(k+1)}\)、\(\rho_{k+1}\)（若需要）。
      f. 若外层收敛（如约束违背和步长足够小），停止。

  3. 输出：\(x_{k+1}\) 作为近似解。

5. 稀疏性利用

  • 梯度 \(\nabla c_i(x)\) 只对非零变量计算，存储为稀疏向量。
  • 矩阵 \(B_k\) 与稀疏 Jacobi 矩阵相乘时，利用图着色等技术加速。
  • 求解信赖域子问题时，用共轭梯度法（CG）迭代，利用稀疏矩阵向量乘。

6. 收敛性考虑

  • 由于 SCA 保证子问题是凸的，序列 \(\{x_k\}\) 的极限点满足原问题的 KKT 条件（在正则性条件下）。
  • 自适应信赖域保证每一步充分下降，全局收敛到稳定点。
  • 拟牛顿更新在稀疏问题中保持超线性收敛局部。

总结：本混合算法结合 SCA 处理非凸约束，信赖域反射保证可行性，拟牛顿加速收敛，自适应机制调整近似精度和步长，并充分利用稀疏性。适用于大规模、非凸、非光滑、稀疏约束的工程优化问题，如稀疏机器学习、网络设计等。

非线性规划中的自适应信赖域反射-序列凸近似-拟牛顿混合算法进阶题：处理非光滑、非凸目标与非凸不等式约束的大规模稀疏优化问题 题目描述 ： 考虑如下大规模非线性规划问题： \[ \min_ {x \in \mathbb{R}^n} f(x) + h(x) \] \[ \text{s.t.} \quad c_ i(x) \le 0, \quad i = 1,\ldots,m \] \[ l \le x \le u \] 其中： 目标函数包含两部分： \( f(x) \) 是光滑但非凸的函数，可计算梯度 \( \nabla f(x) \) 和近似 Hessian 矩阵。 \( h(x) \) 是非光滑凸函数（如 L1 范数 \( \|x\|_ 1 \)，或分组稀疏正则项），其近似点算子（proximal operator）可高效计算。 约束函数 \( c_ i(x) \) 是非线性、非凸且高维（\( n, m \) 可达数万至数百万），但它们是稀疏的：每个 \( c_ i(x) \) 只依赖于 \( x \) 中的少量变量，且梯度 \( \nabla c_ i(x) \) 是稀疏向量。 边界约束 \( l \le x \le u \) 是简单的框约束。 问题的挑战在于： 目标非凸、非光滑，约束非凸、大规模、稀疏 ，传统算法在收敛性、计算效率上可能不足。 要求：设计一种自适应信赖域反射-序列凸近似-拟牛顿混合算法（Adaptive Trust Region Reflection-Sequential Convex Approximation-Quasi-Newton Hybrid Algorithm, ATRR-SCA-QN），在每步迭代中： 用序列凸近似（SCA）处理非凸约束，转化为一系列凸子问题； 在子问题中结合自适应信赖域反射（Adaptive Trust Region Reflection）确保可行性并加速收敛； 用拟牛顿法（如 L-BFGS）近似 Hessian 以减少计算量； 引入自适应机制调整信赖域半径、凸近似精度和步长； 利用问题稀疏性设计高效线性代数求解。 请详细阐述算法步骤、关键公式、自适应策略和收敛性考虑。 解题过程循序渐进讲解 ： 1. 问题重构与序列凸近似（SCA）框架 原问题约束 \( c_ i(x) \le 0 \) 非凸，无法直接保证子问题是凸优化。序列凸近似的核心思想是：在当前迭代点 \( x_ k \)，用凸近似函数 \( \hat{c}_ i(x;x_ k) \) 替代 \( c_ i(x) \)，构造凸子问题。 对于非凸 \( c_ i(x) \)，常用一阶凸近似（如线性化）： \[ \hat{c}_ i(x;x_ k) = c_ i(x_ k) + \nabla c_ i(x_ k)^T (x - x_ k) + \frac{\tau_ i}{2} \|x - x_ k\|^2 \] 其中 \( \tau_ i \ge 0 \) 是正则化参数，确保 \( \hat{c}_ i \) 是强凸的（若 \( c_ i \) 非凸，线性化只是仿射，加二次项使之凸）。但为了保持稀疏性，通常只对涉及变量加二次项，即： \[ \frac{\tau_ i}{2} \|x - x_ k\|_ S^2 \] 其中 \( S \) 是 \( c_ i \) 依赖的变量指标集。 于是，第 \( k \) 次迭代的子问题为： \[ \min_ {x} f(x) + h(x) \] \[ \text{s.t.} \quad \hat{c}_ i(x;x_ k) \le 0, \quad i=1,\ldots,m \] \[ l \le x \le u \] 注意 \( f(x) \) 仍是非凸的，但目标中 \( h(x) \) 非光滑，约束已凸化。 2. 子问题求解：自适应信赖域反射-拟牛顿混合法 对子问题，我们采用自适应信赖域反射（Trust Region Reflection）处理约束，结合拟牛顿更新。 2.1 增广拉格朗日形式 （为方便处理约束） 引入松弛变量 \( s_ i \ge 0 \)，将不等式约束转化为等式： \[ \hat{c} i(x;x_ k) + s_ i = 0, \quad s_ i \ge 0 \] 定义增广拉格朗日函数（忽略边界约束暂时）： \[ \mathcal{L} \rho(x,s,\lambda) = f(x) + h(x) + \sum_ {i=1}^m \lambda_ i (\hat{c} i(x;x_ k) + s_ i) + \frac{\rho}{2} \sum {i=1}^m (\hat{c}_ i(x;x_ k) + s_ i)^2 \] 其中 \( \lambda_ i \) 是 Lagrange 乘子，\( \rho > 0 \) 是惩罚参数。 2.2 信赖域反射子步 在每次内迭代中，固定 \( \lambda, \rho \)，我们求解关于 \( x \) 的子问题： \[ \min_ x \phi_ k(x) := f(x) + h(x) + \frac{\rho}{2} \sum_ {i=1}^m (\hat{c}_ i(x;x_ k) + s_ i)^2 \] 其中 \( s_ i = \max(0, -\hat{c}_ i(x;x_ k) - \lambda_ i/\rho) \) 是显式可计算的。 由于 \( f \) 非凸，我们用拟牛顿法构造二阶模型。令 \( B_ k \approx \nabla^2 f(x_ k) \) 是 L-BFGS 近似，则模型函数为： \[ m_ k(p) = f(x_ k) + \nabla f(x_ k)^T p + \frac12 p^T B_ k p + h(x_ k + p) + \frac{\rho}{2} \sum_ {i=1}^m (\hat{c}_ i(x_ k+p;x_ k) + s_ i)^2 \] 其中 \( p = x - x_ k \)。由于 \( h \) 非光滑，该模型仍不易直接解。我们采用近似点梯度步与信赖域结合： 计算梯度部分：\( g_ k = \nabla f(x_ k) + \rho \sum_ i (\hat{c}_ i(x_ k;x_ k) + s_ i) \nabla \hat{c}_ i(x_ k;x_ k) \)。 定义子问题：在信赖域 \( \|p\| \le \Delta_ k \) 内，求解 \[ \min_ p \tilde{m}_ k(p) := g_ k^T p + \frac12 p^T B_ k p + h(x_ k + p) \] 这一步是复合优化，可用 FISTA 或近似点梯度法在信赖域内求解，得到候选步 \( p_ k \)。 2.3 自适应信赖域调整 计算实际下降量与预测下降量之比： \[ r_ k = \frac{\phi_ k(x_ k) - \phi_ k(x_ k + p_ k)}{\tilde{m} k(0) - \tilde{m} k(p_ k)} \] 更新信赖域半径： \[ \Delta {k+1} = \begin{cases} \max(\gamma_ 1 \Delta_ k, \Delta {\min}) & \text{if } r_ k < \eta_ 1 \\ \Delta_ k & \text{if } \eta_ 1 \le r_ k < \eta_ 2 \\ \min(\gamma_ 2 \Delta_ k, \Delta_ {\max}) & \text{if } r_ k \ge \eta_ 2 \end{cases} \] 其中 \( 0 < \eta_ 1 < \eta_ 2 < 1 \)，\( 0 < \gamma_ 1 < 1 < \gamma_ 2 \)，\( \Delta_ {\min}, \Delta_ {\max} \) 是半径界限。 2.4 反射步加速 若 \( r_ k \) 很小（步长被拒绝），采用反射步：计算反射点 \( x_ k^{\text{ref}} = x_ k - \alpha p_ k \)（\( \alpha \in (0,1) \)），重新评估。若反射点有足够下降，则接受反射步，并扩大信赖域。 3. 自适应策略 3.1 凸近似精度调整 参数 \( \tau_ i \) 控制凸近似的保守程度。若迭代中约束违背变化剧烈，增加 \( \tau_ i \) 使近似更保守（凸性更强）；若稳定，则减小 \( \tau_ i \) 以提高逼近精度。调整依据： \[ \tau_ i^{(k+1)} = \begin{cases} \beta_ {\text{inc}} \tau_ i^{(k)} & \text{if } |c_ i(x_ {k+1}) - \hat{c} i(x {k+1};x_ k)| > \epsilon_ c \\ \max(\beta_ {\text{dec}} \tau_ i^{(k)}, \tau_ {\min}) & \text{otherwise} \end{cases} \] 其中 \( \beta_ {\text{inc}} > 1, \beta_ {\text{dec}} < 1 \)。 3.2 拟牛顿更新 由于问题稀疏，采用有限记忆 L-BFGS（L-BFGS）更新 \( B_ k \)，只保存最近 \( m_ {\text{mem}} \) 次的梯度对 \( (s_ j, y_ j) \)，其中 \( s_ j = x_ {j+1} - x_ j \)，\( y_ j = \nabla f(x_ {j+1}) + J_ c(x_ {j+1})^T \lambda_ {j+1} - (\nabla f(x_ j) + J_ c(x_ j)^T \lambda_ j) \)，这里 \( J_ c \) 是约束 Jacobi 矩阵。稀疏性允许快速矩阵-向量乘。 4. 整体算法流程 初始化 ：选初始点 \( x_ 0 \)，乘子 \( \lambda_ 0 \)，信赖域半径 \( \Delta_ 0 \)，凸近似参数 \( \tau_ i^{(0)} \)，惩罚参数 \( \rho_ 0 \)，容忍度 \( \epsilon \)。 外层循环（SCA 迭代） ：对 \( k = 0,1,\ldots \)： a. 构建凸近似约束 \( \hat{c}_ i(x;x_ k) \) 如上。 b. 内层循环（信赖域反射-拟牛顿迭代） ： 用 L-BFGS 更新 \( B_ k \)。 在信赖域内求解子问题得候选步 \( p_ k \)。 计算比值 \( r_ k \)，按规则更新 \( \Delta_ k \) 和可能反射。 若满足内层收敛（如 \( \|p_ k\| < \epsilon_ {\text{inner}} \)），退出内层。 c. 更新 \( x_ {k+1} = x_ k + p_ k \)。 d. 更新乘子：\( \lambda_ i^{(k+1)} = \lambda_ i^{(k)} + \rho_ k (\hat{c} i(x {k+1};x_ k) + s_ i) \)。 e. 调整 \( \tau_ i^{(k+1)} \)、\( \rho_ {k+1} \)（若需要）。 f. 若外层收敛（如约束违背和步长足够小），停止。 输出 ：\( x_ {k+1} \) 作为近似解。 5. 稀疏性利用 梯度 \( \nabla c_ i(x) \) 只对非零变量计算，存储为稀疏向量。 矩阵 \( B_ k \) 与稀疏 Jacobi 矩阵相乘时，利用图着色等技术加速。 求解信赖域子问题时，用共轭梯度法（CG）迭代，利用稀疏矩阵向量乘。 6. 收敛性考虑 由于 SCA 保证子问题是凸的，序列 \( \{x_ k\} \) 的极限点满足原问题的 KKT 条件（在正则性条件下）。 自适应信赖域保证每一步充分下降，全局收敛到稳定点。 拟牛顿更新在稀疏问题中保持超线性收敛局部。 总结 ：本混合算法结合 SCA 处理非凸约束，信赖域反射保证可行性，拟牛顿加速收敛，自适应机制调整近似精度和步长，并充分利用稀疏性。适用于大规模、非凸、非光滑、稀疏约束的工程优化问题，如稀疏机器学习、网络设计等。