好的，我注意到你已看过大量题目。我将为你讲解一个未被列出的线性动态规划经典题目。

题目：最小路径和（Minimum Path Sum）

题目描述：

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角 (0, 0) 到右下角 (m-1, n-1) 的路径，使得路径上的数字总和为最小。

规则：每次只能向下或者向右移动一步。

示例：
输入：

grid = [
  [1, 3, 1],
  [1, 5, 1],
  [4, 2, 1]
]

输出：7
解释：因为路径 1 → 3 → 1 → 1 → 1 的总和最小，为 7。

解题思路循序渐进讲解

这是一个典型的二维线性动态规划问题。我们的目标是找到从起点到终点的最小累计代价。

核心思路： 由于只能向右或向下走，到达网格中任意一个点 (i, j) 的最小路径和，只可能来源于它正上方的格子 (i-1, j) 或者它正左方的格子 (i, j-1)，再加上当前格子自身的值。我们用一个二维 DP 数组 dp[i][j] 来存储这个“最小路径和”。

步骤 1：定义状态

定义 dp[i][j] 表示：从起点 (0, 0) 走到格子 (i, j) 的最小路径和。

我们的最终答案就是 dp[m-1][n-1]。

步骤 2：建立状态转移方程

思考如何到达 (i, j)：

1. 如果从上方 (i-1, j) 下来，那么路径和为 dp[i-1][j] + grid[i][j]。
2. 如果从左方 (i, j-1) 过来，那么路径和为 dp[i][j-1] + grid[i][j]。

为了得到最小和，我们取这两种来源的最小值。

因此，状态转移方程为：
dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]

步骤 3：确定初始条件（Base Cases）

初始条件是动态规划的起点，必须单独处理。

• 起点 (0, 0)： 到达起点的最小路径和就是它自身的值。所以 dp[0][0] = grid[0][0]。
• 第一行 (i = 0)： 对于第一行的任何格子 (0, j)，它只能从其左边的格子 (0, j-1) 向右移动到达。因此，dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]。
• 第一列 (j = 0)： 对于第一列的任何格子 (i, 0)，它只能从其上面的格子 (i-1, 0) 向下移动到达。因此，dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]。

步骤 4：计算顺序

我们需要计算 dp[i][j]，必须先知道 dp[i-1][j] 和 dp[i][j-1]。
最自然的计算顺序是：从左到右，从上到下，一行一行（或一列一列）地遍历整个网格。
这样，当计算到 (i, j) 时，它上方和左方的状态都已经计算好了。

步骤 5：算法实现（以示例为例，逐步演算）

我们用示例网格来手动演算一遍 dp 表的填充过程。

初始网格 grid：

[1, 3, 1]
[1, 5, 1]
[4, 2, 1]

1. 初始化 dp[0][0]： dp[0][0] = grid[0][0] = 1。

   dp: [1, ?, ?]
        [?, ?, ?]
        [?, ?, ?]
   

2. 填充第一行 (i=0)：

   • dp[0][1] = dp[0][0] + grid[0][1] = 1 + 3 = 4
   • dp[0][2] = dp[0][1] + grid[0][2] = 4 + 1 = 5

   dp: [1, 4, 5]
        [?, ?, ?]
        [?, ?, ?]
   

3. 填充第一列 (j=0)：

   • dp[1][0] = dp[0][0] + grid[1][0] = 1 + 1 = 2
   • dp[2][0] = dp[1][0] + grid[2][0] = 2 + 4 = 6

   dp: [1, 4, 5]
        [2, ?, ?]
        [6, ?, ?]
   

4. 填充内部格子 (i=1, j=1)：

   • dp[1][1] = min(dp[0][1], dp[1][0]) + grid[1][1] = min(4, 2) + 5 = 2 + 5 = 7

   dp: [1, 4, 5]
        [2, 7, ?]
        [6, ?, ?]
   

5. 填充内部格子 (i=1, j=2)：

   • dp[1][2] = min(dp[0][2], dp[1][1]) + grid[1][2] = min(5, 7) + 1 = 5 + 1 = 6

   dp: [1, 4, 5]
        [2, 7, 6]
        [6, ?, ?]
   

6. 填充内部格子 (i=2, j=1)：

   • dp[2][1] = min(dp[1][1], dp[2][0]) + grid[2][1] = min(7, 6) + 2 = 6 + 2 = 8

   dp: [1, 4, 5]
        [2, 7, 6]
        [6, 8, ?]
   

7. 填充终点 (i=2, j=2)：

   • dp[2][2] = min(dp[1][2], dp[2][1]) + grid[2][2] = min(6, 8) + 1 = 6 + 1 = 7

   dp: [1, 4, 5]
        [2, 7, 6]
        [6, 8, 7]
   

最终答案 dp[2][2] = 7，与示例一致。

步骤 6：空间优化（进阶思考）

观察状态转移方程 dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]，计算当前行 dp[i][...] 时，只需要用到上一行 dp[i-1][...] 和当前行已经计算过的左邻居 dp[i][j-1]。

因此，我们可以将二维 dp 数组优化为一维数组 dp[j]，其长度为 n（列数）：

• dp[j] 在更新前，存储的是上一行第 j 列的值（即旧的 dp[i-1][j]）。
• dp[j-1] 在更新时，存储的是当前行第 j-1 列已经更新过的值（即新的 dp[i][j-1]）。

优化后的状态转移变为：
dp[j] = min(dp[j]（上一行的值）, dp[j-1]（当前行左边的值）) + grid[i][j]

同时，需要小心处理第一行和第一列的初始化。

# 空间优化后的Python代码示例
def minPathSum(grid):
    if not grid or not grid[0]:
        return 0

    m, n = len(grid), len(grid[0])
    dp = [0] * n

    # 初始化第一行
    dp[0] = grid[0][0]
    for j in range(1, n):
        dp[j] = dp[j-1] + grid[0][j]

    # 遍历剩余行
    for i in range(1, m):
        # 每行开始时，更新第一列（只能从上方来）
        dp[0] = dp[0] + grid[i][0]
        for j in range(1, n):
            # dp[j] 是上一行j列的值，dp[j-1]是本行已更新的j-1列的值
            dp[j] = min(dp[j], dp[j-1]) + grid[i][j]

    return dp[-1]

总结：
“最小路径和”问题通过定义清晰的状态 dp[i][j]，利用只能向右/向下的移动规则，推导出简洁的状态转移方程。正确处理边界条件（第一行、第一列）后，按顺序计算即可。这个问题是理解二维网格上动态规划的绝佳入门，其空间优化技巧也值得掌握。