SM2椭圆曲线公钥密码算法中的密钥交换协议（两方通信场景）
字数 2819 2025-12-22 20:26:17

SM2椭圆曲线公钥密码算法中的密钥交换协议（两方通信场景）

题目描述：
在SM2椭圆曲线公钥密码标准中，定义了一个用于两方通信的密钥交换协议，允许通信双方（例如用户A和用户B）通过交换公开信息，最终协商出一个共享的会话密钥。这个协议基于椭圆曲线离散对数问题（ECDLP）的安全性，并包含了身份信息的验证以防止中间人攻击。你的任务是通过一个具体的示例，详细说明这个密钥交换协议的执行步骤，包括参数初始化、密钥交换流程、关键运算（如点乘、哈希计算）以及最终共享密钥的推导过程。

解题过程：

步骤1：协议参数初始化
SM2密钥交换协议使用与SM2数字签名算法相同的椭圆曲线参数。我们定义如下公共参数：

  • 椭圆曲线方程：\(y^2 = x^3 + ax + b\)（在有限域 \(\mathbb{F}_p\) 上），其中 \(p\) 是一个大素数。
  • 基点 \(G\)，阶为 \(n\)，即 \(n \cdot G = O\)（无穷远点）。
  • 密钥派生函数（KDF）：通常基于SM3哈希算法，用于从共享秘密中生成最终会话密钥。
  • 哈希函数 \(H()\)：SM3算法，用于计算消息摘要。

假设用户A和用户B的身份标识分别为 \(ID_A\) 和 \(ID_B\)。每个用户拥有一个SM2密钥对：

  • 用户A：私钥 \(d_A\)（随机整数，\(1 \leq d_A \leq n-1\)），公钥 \(P_A = d_A \cdot G\)。
  • 用户B：私钥 \(d_B\)，公钥 \(P_B = d_B \cdot G\)。

双方预先知道对方的公钥和身份标识。

步骤2：密钥交换流程
协议分为三个阶段：发起、响应和最终密钥生成。以下以用户A为发起方，用户B为响应方为例。

阶段1：发起方（A）的计算

  1. A生成一个临时密钥对：随机选择整数 \(r_A \in [1, n-1]\)，计算临时公钥点 \(R_A = r_A \cdot G\)。
  2. A将 \(R_A\) 发送给用户B。

阶段2：响应方（B）的计算

  1. B收到 \(R_A\) 后，验证 \(R_A\) 是否满足椭圆曲线方程（确保是曲线上的有效点）。
  2. B生成自己的临时密钥对：随机选择整数 \(r_B \in [1, n-1]\)，计算临时公钥点 \(R_B = r_B \cdot G\)。
  3. B计算共享点：
    • 计算 \(U = h \cdot (d_B + r_B) \cdot (P_A + R_A)\)，其中 \(h\) 是余因子（SM2通常取1，可省略）。
    • 实际上，为了高效，通常拆分为两步：
      a. 计算 \(V = d_B \cdot (P_A + R_A)\)。
      b. 计算 \(W = r_B \cdot (P_A + R_A)\)。
      c. 则 \(U = V + W = (d_B + r_B) \cdot (P_A + R_A)\)。
  4. 从点 \(U\) 中提取x坐标值 \(x_U\) 和y坐标值 \(y_U\)。
  5. B计算关键值 \(K_B = KDF(x_U || y_U || ID_A || ID_B, klen)\)，其中 \(klen\) 是所需会话密钥的比特长度（如128或256位）。KDF会通过迭代哈希生成指定长度的密钥。
  6. B可选计算一个验证值 \(S_B = H( x_U || ID_A || ID_B || x_{R_A} || y_{R_A} || x_{R_B} || y_{R_B} )\)，用于后续确认。
  7. B将 \(R_B\) 和（可选）\(S_B\) 发送给用户A。

阶段3：发起方（A）的响应计算

  1. A收到 \(R_B\) 后，验证 \(R_B\) 是否为曲线上的有效点。
  2. A类似地计算共享点：
    • 计算 \(U' = h \cdot (d_A + r_A) \cdot (P_B + R_B)\)。
    • 分解为：\(V' = d_A \cdot (P_B + R_B)\)，\(W' = r_A \cdot (P_B + R_B)\)，则 \(U' = V' + W' = (d_A + r_A) \cdot (P_B + R_B)\)。
  3. 从点 \(U'\) 提取 \(x_{U'}\) 和 \(y_{U'}\)。
  4. A计算自己的关键值 \(K_A = KDF(x_{U'} || y_{U'} || ID_A || ID_B, klen)\)。
  5. A可选验证 \(S_B\)：计算 \(S_A = H( x_{U'} || ID_A || ID_B || x_{R_A} || y_{R_A} || x_{R_B} || y_{R_B} )\)，检查是否等于收到的 \(S_B\)。若相等，则确认B的身份和交换的正确性。

步骤3：共享密钥的一致性
由于椭圆曲线点乘的交换律和结合律，可以证明 \(U = U'\)：

  • 从B视角：\(U = (d_B + r_B) \cdot (P_A + R_A) = (d_B + r_B) \cdot (d_A \cdot G + r_A \cdot G) = (d_B + r_B)(d_A + r_A) \cdot G\)。
  • 从A视角：\(U' = (d_A + r_A) \cdot (P_B + R_B) = (d_A + r_A) \cdot (d_B \cdot G + r_B \cdot G) = (d_A + r_A)(d_B + r_B) \cdot G\)。
    因此 \(U = U'\)，从而 \(x_U = x_{U'}\)，\(y_U = y_{U'}\)。
    所以 \(K_A = K_B\)，双方得到相同的会话密钥。

步骤4：安全性要点

  • 临时密钥（\(r_A, r_B\)）必须随机生成且每次交换更新，提供前向安全性（即使长期私钥泄露，过去会话密钥仍安全）。
  • 身份信息（\(ID_A, ID_B\)）被嵌入KDF输入，防止身份混淆攻击。
  • 可选验证值 \(S_B/S_A\) 可防止中间人篡改临时公钥。

总结：SM2密钥交换协议通过结合长期公钥和临时公钥，利用椭圆曲线点乘的代数性质，使双方计算得到相同的共享点，再通过KDF导出会话密钥。协议中包含了身份绑定和可选验证步骤，在保证高效性的同时增强了安全性。

SM2椭圆曲线公钥密码算法中的密钥交换协议（两方通信场景） 题目描述 ： 在SM2椭圆曲线公钥密码标准中，定义了一个用于两方通信的密钥交换协议，允许通信双方（例如用户A和用户B）通过交换公开信息，最终协商出一个共享的会话密钥。这个协议基于椭圆曲线离散对数问题（ECDLP）的安全性，并包含了身份信息的验证以防止中间人攻击。你的任务是通过一个具体的示例，详细说明这个密钥交换协议的执行步骤，包括参数初始化、密钥交换流程、关键运算（如点乘、哈希计算）以及最终共享密钥的推导过程。 解题过程 ： 步骤1：协议参数初始化 SM2密钥交换协议使用与SM2数字签名算法相同的椭圆曲线参数。我们定义如下公共参数： 椭圆曲线方程：\( y^2 = x^3 + ax + b \)（在有限域 \( \mathbb{F}_ p \) 上），其中 \( p \) 是一个大素数。 基点 \( G \)，阶为 \( n \)，即 \( n \cdot G = O \)（无穷远点）。 密钥派生函数（KDF）：通常基于SM3哈希算法，用于从共享秘密中生成最终会话密钥。 哈希函数 \( H() \)：SM3算法，用于计算消息摘要。 假设用户A和用户B的身份标识分别为 \( ID_ A \) 和 \( ID_ B \)。每个用户拥有一个SM2密钥对： 用户A：私钥 \( d_ A \)（随机整数，\( 1 \leq d_ A \leq n-1 \)），公钥 \( P_ A = d_ A \cdot G \)。 用户B：私钥 \( d_ B \)，公钥 \( P_ B = d_ B \cdot G \)。 双方预先知道对方的公钥和身份标识。 步骤2：密钥交换流程 协议分为三个阶段：发起、响应和最终密钥生成。以下以用户A为发起方，用户B为响应方为例。 阶段1：发起方（A）的计算 A生成一个临时密钥对：随机选择整数 \( r_ A \in [ 1, n-1] \)，计算临时公钥点 \( R_ A = r_ A \cdot G \)。 A将 \( R_ A \) 发送给用户B。 阶段2：响应方（B）的计算 B收到 \( R_ A \) 后，验证 \( R_ A \) 是否满足椭圆曲线方程（确保是曲线上的有效点）。 B生成自己的临时密钥对：随机选择整数 \( r_ B \in [ 1, n-1] \)，计算临时公钥点 \( R_ B = r_ B \cdot G \)。 B计算共享点： 计算 \( U = h \cdot (d_ B + r_ B) \cdot (P_ A + R_ A) \)，其中 \( h \) 是余因子（SM2通常取1，可省略）。 实际上，为了高效，通常拆分为两步： a. 计算 \( V = d_ B \cdot (P_ A + R_ A) \)。 b. 计算 \( W = r_ B \cdot (P_ A + R_ A) \)。 c. 则 \( U = V + W = (d_ B + r_ B) \cdot (P_ A + R_ A) \)。 从点 \( U \) 中提取x坐标值 \( x_ U \) 和y坐标值 \( y_ U \)。 B计算关键值 \( K_ B = KDF(x_ U || y_ U || ID_ A || ID_ B, klen) \)，其中 \( klen \) 是所需会话密钥的比特长度（如128或256位）。KDF会通过迭代哈希生成指定长度的密钥。 B可选计算一个验证值 \( S_ B = H( x_ U || ID_ A || ID_ B || x_ {R_ A} || y_ {R_ A} || x_ {R_ B} || y_ {R_ B} ) \)，用于后续确认。 B将 \( R_ B \) 和（可选）\( S_ B \) 发送给用户A。 阶段3：发起方（A）的响应计算 A收到 \( R_ B \) 后，验证 \( R_ B \) 是否为曲线上的有效点。 A类似地计算共享点： 计算 \( U' = h \cdot (d_ A + r_ A) \cdot (P_ B + R_ B) \)。 分解为：\( V' = d_ A \cdot (P_ B + R_ B) \)，\( W' = r_ A \cdot (P_ B + R_ B) \)，则 \( U' = V' + W' = (d_ A + r_ A) \cdot (P_ B + R_ B) \)。 从点 \( U' \) 提取 \( x_ {U'} \) 和 \( y_ {U'} \)。 A计算自己的关键值 \( K_ A = KDF(x_ {U'} || y_ {U'} || ID_ A || ID_ B, klen) \)。 A可选验证 \( S_ B \)：计算 \( S_ A = H( x_ {U'} || ID_ A || ID_ B || x_ {R_ A} || y_ {R_ A} || x_ {R_ B} || y_ {R_ B} ) \)，检查是否等于收到的 \( S_ B \)。若相等，则确认B的身份和交换的正确性。 步骤3：共享密钥的一致性 由于椭圆曲线点乘的交换律和结合律，可以证明 \( U = U' \)： 从B视角：\( U = (d_ B + r_ B) \cdot (P_ A + R_ A) = (d_ B + r_ B) \cdot (d_ A \cdot G + r_ A \cdot G) = (d_ B + r_ B)(d_ A + r_ A) \cdot G \)。 从A视角：\( U' = (d_ A + r_ A) \cdot (P_ B + R_ B) = (d_ A + r_ A) \cdot (d_ B \cdot G + r_ B \cdot G) = (d_ A + r_ A)(d_ B + r_ B) \cdot G \)。 因此 \( U = U' \)，从而 \( x_ U = x_ {U'} \)，\( y_ U = y_ {U'} \)。 所以 \( K_ A = K_ B \)，双方得到相同的会话密钥。 步骤4：安全性要点 临时密钥（\( r_ A, r_ B \)）必须随机生成且每次交换更新，提供前向安全性（即使长期私钥泄露，过去会话密钥仍安全）。 身份信息（\( ID_ A, ID_ B \)）被嵌入KDF输入，防止身份混淆攻击。 可选验证值 \( S_ B/S_ A \) 可防止中间人篡改临时公钥。 总结 ：SM2密钥交换协议通过结合长期公钥和临时公钥，利用椭圆曲线点乘的代数性质，使双方计算得到相同的共享点，再通过KDF导出会话密钥。协议中包含了身份绑定和可选验证步骤，在保证高效性的同时增强了安全性。