基于线性规划的图边双连通性增广问题的线性规划松弛与启发式舍入算法求解示例

字数 4683 2025-12-22 19:58:28

基于线性规划的图边双连通性增广问题的线性规划松弛与启发式舍入算法求解示例

1. 问题描述

假设我们有一个无向连通图 $G = (V, E)$，其中 $V$ 是顶点集，$E$ 是边集。图中每条边 $e \in E$ 有一个非负的增广成本 $c_e$（例如，在现有网络中添加或升级一条边所需的费用）。我们的目标是以最小的总成本，向图 $G$ 中新增一组边（或增强现有边），使得新图是边双连通的。即，在任意删除一条边后，图仍然保持连通。

这是一个经典的图边双连通性增广问题，属于网络增强范畴。问题是NP-难的，因此我们寻求基于线性规划的近似算法。我们将通过线性规划松弛得到一个分数解，然后通过启发式舍入构造一个整数可行解。

2. 构建整数线性规划模型

关键思想：要使图 $G$ 边双连通，必须保证对于图的任意一个非平凡子集 $S \subset V, S \neq \emptyset, S \neq V$，至少有两条边横跨割 $(S, V\setminus S)$。我们记这样的边为横跨边。

决策变量：

对于每条可能的增广边 $e$（通常考虑所有不在 $E$ 中的边，或者所有边，现有边成本为0），定义一个二元决策变量 $x_e \in \{0, 1\}$：

\[ x_e = \begin{cases} 1, & \text{如果边 $ e $ 被选中进入增广集} \\ 0, & \text{否则} \end{cases} \]

目标函数：
最小化总成本：

\[\min \sum_{e} c_e x_e \]

其中求和遍历所有候选边。

约束条件：
对于 $V$ 的每一个非平凡真子集 $S \subset V, S \neq \emptyset, S \neq V$，设 $\delta(S)$ 表示横跨割 $(S, V\setminus S)$ 的原图 $G$ 中的边的集合。我们需要确保，在增广之后，横跨这个割的边的总数（原图的边 + 新加的边）至少为2。

设 $E'$ 是候选增广边集。则约束可以写为：

\[|\delta(S) \cap E| + \sum_{e \in \delta(S) \cap E'} x_e \ge 2, \quad \forall S \subset V, \emptyset \ne S \ne V \]

这个约束确保每个割至少有2条边。由于 $S$ 和 $V\setminus S$ 是对称的，约束数量是指数级的。

整数线性规划模型：

\[\begin{aligned} \min \quad & \sum_{e \in E'} c_e x_e \\ \text{s.t.} \quad & \sum_{e \in \delta(S) \cap E'} x_e \ge 2 - |\delta(S) \cap E|, \quad \forall S \subset V, \emptyset \ne S \ne V \\ & x_e \in \{0, 1\}, \quad \forall e \in E' \end{aligned} \]

注意：如果原图的某个割 $\delta(S)$ 已经有 $k \ge 2$ 条边，则右侧 $2 - k \le 0$，约束自然满足。我们只需关心那些 $|\delta(S) \cap E| \le 1$ 的割，即原图的桥或只有一个边的割。

3. 线性规划松弛

由于约束数量是指数级的，我们无法直接列举。但我们可以先考虑其线性规划松弛，即将整数约束放宽为连续约束：

\[0 \le x_e \le 1, \quad \forall e \in E' \]

这样我们就得到了一个具有指数级约束的线性规划。虽然约束多，但其分离问题是容易的：给定一个分数解 $x^*$，我们需要检查是否存在某个集合 $S$ 使得约束

\[\sum_{e \in \delta(S) \cap E'} x^*_e < 2 - |\delta(S) \cap E| \]

被违反。

分离问题的解决方法：
我们可以将 $2 - |\delta(S) \cap E|$ 视为割 $S$ 的需求 $d(S) = \max\{0, 2 - |\delta(S) \cap E|\}$。然后检查对于所有 $S$，是否有

\[\sum_{e \in \delta(S) \cap E'} x^*_e < d(S) \]

这等价于计算一个带有顶点需求 $d(S)$ 的最小割问题。我们可以通过构造一个新图，并在新图上运行最大流/最小割算法，在多项式时间内完成。因此，这个线性规划松弛是可以在多项式时间内（通过椭球法或内点法结合分离Oracle）求解的。

4. 获取分数最优解

假设我们通过线性规划求解器（结合上述分离Oracle）得到了分数最优解 $x^*$。这个解满足：

总成本 $\sum c_e x^*_e$ 是原整数规划最优解的下界。
对于所有割 $S$，有 $\sum_{e \in \delta(S) \cap E'} x^*_e \ge d(S)$。

注意：$d(S)$ 的取值只有0、1、2三种情况，因为 $|\delta(S) \cap E|$ 是原图横跨割的边数，它至少为1（因为原图连通），但可能为1（即割边/桥）。所以：

如果 $|\delta(S) \cap E| \ge 2$，则 $d(S) = 0$。
如果 $|\delta(S) \cap E| = 1$，则 $d(S) = 1$。

5. 启发式舍入策略

我们采用一个简单的启发式舍入方法，但需注意这个特定问题没有简单的常数近似舍入方案。这里介绍一个基于树覆盖的直观舍入思想。

步骤1：构造支撑结构
考虑由原图 $G$ 的块-割点树（block-cut tree）概念。我们可以简化问题：我们只需要“修补”那些 $d(S) = 1$ 的割，即原图的桥所在的割。

步骤2：构造辅助图与生成树

将原图 $G$ 的每个双连通分量（即去掉任一边后仍连通的极大子图）缩成一个超顶点。这样形成一个树 $T$，树边对应于原图的桥。
我们最终需要让这个树变成一个“边双连通”的结构，意味着树上的每个“边”（对应原图的一个桥）必须被一条新增的边所覆盖（即新增边连接桥两端的双连通分量，形成环）。
问题转化为：在树 $T$ 的顶点（代表原图的双连通分量）之间，以成本 $c_e$ 选择边，使得 $T$ 加上这些边后没有桥。这相当于找一个最小成本的边集，使得它与 $T$ 的并是边双连通的。

步骤3：分数解的利用

我们的分数解 $x^*$ 给出了在候选边 $E'$ 上的分数值。我们可以考虑只包括那些 $x^*_e > 0$ 的候选边。
对每条边 $e = (u,v) \in E'$，其成本为 $c_e$，分数值为 $x^*_e$。

步骤4：简单舍入与构造可行解
一种简单启发式是：

对每条候选边 $e$，以概率 $\min(1, \alpha \cdot x^*_e)$ 将其包含到解中，其中 $\alpha$ 是放大因子（例如 $\alpha = 2$）。这保证了期望成本不超过 $\alpha$ 倍的原最优分数解成本。
检查得到的边集 $H$ 是否使图边双连通。如果不连通，再添加必要的边使其满足（比如通过贪心法连接不同的双连通块）。

更系统的舍入（基于树覆盖）：
我们可以将问题形式化为在树 $T$ 上选择边，使得每条树边至少被一条选中边“覆盖”（即选中边在 $T$ 中形成的路径包含该树边）。这是一个树覆盖问题。然后利用分数解 $x^*$ 来指导构造树覆盖：

在 $T$ 上，每条候选边 $e$ 对应 $T$ 中两个顶点（代表两个双连通分量）之间的一条路径。
分数解 $x^*$ 给出了一个分数覆盖。我们可以用舍入技巧（如随机舍入或确定性舍入）得到一个整数覆盖，其成本不超过分数解的某个倍数。

具体舍入算法简述：

在树 $T$ 上，每条树边 $f$ 对应一个约束：所有路径覆盖 $f$ 的候选边的分数和至少为1。
这是一个覆盖线性规划。可以用原始-对偶法或随机舍入得到一个整数解。随机舍入：对每条候选边 $e$，以概率 $\min(1, \beta \cdot x^*_e)$ 独立地选择它，其中 $\beta = O(\log n)$ 可以保证以高概率满足所有约束。但这样得到的成本期望是 $\beta \cdot \sum c_e x^*_e$。
如果得到的边集不满足边双连通（可能因为舍入后某些割仍不满足），可以补加一些边以满足（例如，将图的所有双连通分量用一条环连接起来），这会增加额外成本，但通常可以证明总成本在最优解的常数倍以内。

6. 算法总结

建模：将边双连通性增广问题形式化为整数线性规划，约束为所有割至少有2条边。
松弛：松弛为线性规划，用分离Oracle（最小割）在多项式时间内求解分数最优解 $x^*$。
舍入：
- 将原图按双连通分量缩为树 $T$。
- 将分数解转化为树 $T$ 上的覆盖问题。
- 对分数解进行舍入（例如随机舍入）得到整数边集 $H$。
- 验证并可能补充边以确保边双连通性。
输出：得到的边集 $H$ 即为增广边集，其总成本是原最优成本的近似（近似比取决于舍入技术，可能为 $O(\log n)$ 或常数倍）。

7. 示例说明

假设有一个4个顶点的环缺失一条边，原图 $G$ 是路径 $1-2-3-4$。它只有一个双连通分量（整条路径，因为没有桥？等等，这里每条边都是桥）。实际上，在路径中，每条边都是桥。所以块-割点树 $T$ 有4个顶点（每个顶点是一个双连通分量，即一个点），3条树边。
我们需要添加边使得 $T$ 变成边双连通，即没有桥。在 $T$ 是路径的情况下，添加一条连接路径两端的边（如1-4）就能使其变成一个环，从而边双连通。分数最优解可能会建议以0.5的概率选边1-3和2-4等。舍入后可能选择1-3，然后验证不满足，再补充2-4。最终解可能是添加两条边，而最优整数解只需添加一条边1-4。因此，舍入不一定得到最优，但成本是近似最优的。

通过此方法，我们将一个NP-难问题转化为可求解的线性规划，并通过舍入得到近似解。这种“线性规划松弛+舍入”的框架是组合优化中设计近似算法的经典范式。

基于线性规划的图边双连通性增广问题的线性规划松弛与启发式舍入算法求解示例 1. 问题描述假设我们有一个无向连通图 $ G = (V, E) $，其中 $ V $ 是顶点集，$ E $ 是边集。图中每条边 $ e \in E $ 有一个非负的增广成本 $ c_ e $（例如，在现有网络中添加或升级一条边所需的费用）。我们的目标是以最小的总成本，向图 $ G $ 中新增一组边（或增强现有边），使得新图是边双连通的。即，在任意删除一条边后，图仍然保持连通。这是一个经典的图边双连通性增广问题，属于网络增强范畴。问题是 NP-难的，因此我们寻求基于线性规划的近似算法。我们将通过线性规划松弛得到一个分数解，然后通过启发式舍入构造一个整数可行解。 2. 构建整数线性规划模型关键思想：要使图 $ G $ 边双连通，必须保证对于图的任意一个非平凡子集 $ S \subset V, S \neq \emptyset, S \neq V $，至少有两条边横跨割 $ (S, V\setminus S) $。我们记这样的边为横跨边。决策变量：对于每条可能的增广边 $ e $（通常考虑所有不在 $ E $ 中的边，或者所有边，现有边成本为0），定义一个二元决策变量 $ x_ e \in \{0, 1\} $： \[ x_ e = \begin{cases} 1, & \text{如果边 $ e $ 被选中进入增广集} \\ 0, & \text{否则} \end{cases} \] 目标函数：最小化总成本： \[ \min \sum_ {e} c_ e x_ e \] 其中求和遍历所有候选边。约束条件：对于 $ V $ 的每一个非平凡真子集 $ S \subset V, S \neq \emptyset, S \neq V $，设 $ \delta(S) $ 表示横跨割 $ (S, V\setminus S) $ 的原图 $ G $ 中的边的集合。我们需要确保，在增广之后，横跨这个割的边的总数（原图的边 + 新加的边）至少为2。设 $ E' $ 是候选增广边集。则约束可以写为： \[ |\delta(S) \cap E| + \sum_ {e \in \delta(S) \cap E'} x_ e \ge 2, \quad \forall S \subset V, \emptyset \ne S \ne V \] 这个约束确保每个割至少有2条边。由于 $ S $ 和 $ V\setminus S $ 是对称的，约束数量是指数级的。整数线性规划模型： \[ \begin{aligned} \min \quad & \sum_ {e \in E'} c_ e x_ e \\ \text{s.t.} \quad & \sum_ {e \in \delta(S) \cap E'} x_ e \ge 2 - |\delta(S) \cap E|, \quad \forall S \subset V, \emptyset \ne S \ne V \\ & x_ e \in \{0, 1\}, \quad \forall e \in E' \end{aligned} \] 注意：如果原图的某个割 $ \delta(S) $ 已经有 $ k \ge 2 $ 条边，则右侧 $ 2 - k \le 0 $，约束自然满足。我们只需关心那些 $ |\delta(S) \cap E| \le 1 $ 的割，即原图的桥或只有一个边的割。 3. 线性规划松弛由于约束数量是指数级的，我们无法直接列举。但我们可以先考虑其线性规划松弛，即将整数约束放宽为连续约束： \[ 0 \le x_ e \le 1, \quad \forall e \in E' \] 这样我们就得到了一个具有指数级约束的线性规划。虽然约束多，但其分离问题是容易的：给定一个分数解 $ x^* $，我们需要检查是否存在某个集合 $ S $ 使得约束 \[ \sum_ {e \in \delta(S) \cap E'} x^* _ e < 2 - |\delta(S) \cap E| \] 被违反。分离问题的解决方法：我们可以将 $ 2 - |\delta(S) \cap E| $ 视为割 $ S $ 的需求 $ d(S) = \max\{0, 2 - |\delta(S) \cap E|\} $。然后检查对于所有 $ S $，是否有 \[ \sum_ {e \in \delta(S) \cap E'} x^* _ e < d(S) \] 这等价于计算一个带有顶点需求 $ d(S) $ 的最小割问题。我们可以通过构造一个新图，并在新图上运行最大流/最小割算法，在多项式时间内完成。因此，这个线性规划松弛是可以在多项式时间内（通过椭球法或内点法结合分离Oracle）求解的。 4. 获取分数最优解假设我们通过线性规划求解器（结合上述分离Oracle）得到了分数最优解 $ x^* $。这个解满足：总成本 $ \sum c_ e x^* _ e $ 是原整数规划最优解的下界。对于所有割 $ S $，有 $ \sum_ {e \in \delta(S) \cap E'} x^* _ e \ge d(S) $。注意：$ d(S) $ 的取值只有0、1、2三种情况，因为 $ |\delta(S) \cap E| $ 是原图横跨割的边数，它至少为1（因为原图连通），但可能为1（即割边/桥）。所以：如果 $ |\delta(S) \cap E| \ge 2 $，则 $ d(S) = 0 $。如果 $ |\delta(S) \cap E| = 1 $，则 $ d(S) = 1 $。 5. 启发式舍入策略我们采用一个简单的启发式舍入方法，但需注意这个特定问题没有简单的常数近似舍入方案。这里介绍一个基于树覆盖的直观舍入思想。步骤1：构造支撑结构考虑由原图 $ G $ 的块-割点树（block-cut tree）概念。我们可以简化问题：我们只需要“修补”那些 $ d(S) = 1 $ 的割，即原图的桥所在的割。步骤2：构造辅助图与生成树将原图 $ G $ 的每个双连通分量（即去掉任一边后仍连通的极大子图）缩成一个超顶点。这样形成一个树 $ T $，树边对应于原图的桥。我们最终需要让这个树变成一个“边双连通”的结构，意味着树上的每个“边”（对应原图的一个桥）必须被一条新增的边所覆盖（即新增边连接桥两端的双连通分量，形成环）。问题转化为：在树 $ T $ 的顶点（代表原图的双连通分量）之间，以成本 $ c_ e $ 选择边，使得 $ T $ 加上这些边后没有桥。这相当于找一个最小成本的边集，使得它与 $ T $ 的并是边双连通的。步骤3：分数解的利用我们的分数解 $ x^* $ 给出了在候选边 $ E' $ 上的分数值。我们可以考虑只包括那些 $ x^* _ e > 0 $ 的候选边。对每条边 $ e = (u,v) \in E' $，其成本为 $ c_ e $，分数值为 $ x^* _ e $。步骤4：简单舍入与构造可行解一种简单启发式是：对每条候选边 $ e $，以概率 $ \min(1, \alpha \cdot x^* _ e) $ 将其包含到解中，其中 $ \alpha $ 是放大因子（例如 $ \alpha = 2 $）。这保证了期望成本不超过 $ \alpha $ 倍的原最优分数解成本。检查得到的边集 $ H $ 是否使图边双连通。如果不连通，再添加必要的边使其满足（比如通过贪心法连接不同的双连通块）。更系统的舍入（基于树覆盖）：我们可以将问题形式化为在树 $ T $ 上选择边，使得每条树边至少被一条选中边“覆盖”（即选中边在 $ T $ 中形成的路径包含该树边）。这是一个树覆盖问题。然后利用分数解 $ x^* $ 来指导构造树覆盖：在 $ T $ 上，每条候选边 $ e $ 对应 $ T $ 中两个顶点（代表两个双连通分量）之间的一条路径。分数解 $ x^* $ 给出了一个分数覆盖。我们可以用舍入技巧（如随机舍入或确定性舍入）得到一个整数覆盖，其成本不超过分数解的某个倍数。具体舍入算法简述：在树 $ T $ 上，每条树边 $ f $ 对应一个约束：所有路径覆盖 $ f $ 的候选边的分数和至少为1。这是一个覆盖线性规划。可以用原始-对偶法或随机舍入得到一个整数解。随机舍入：对每条候选边 $ e $，以概率 $ \min(1, \beta \cdot x^ _ e) $ 独立地选择它，其中 $ \beta = O(\log n) $ 可以保证以高概率满足所有约束。但这样得到的成本期望是 $ \beta \cdot \sum c_ e x^ _ e $。如果得到的边集不满足边双连通（可能因为舍入后某些割仍不满足），可以补加一些边以满足（例如，将图的所有双连通分量用一条环连接起来），这会增加额外成本，但通常可以证明总成本在最优解的常数倍以内。 6. 算法总结建模：将边双连通性增广问题形式化为整数线性规划，约束为所有割至少有2条边。松弛：松弛为线性规划，用分离Oracle（最小割）在多项式时间内求解分数最优解 $ x^* $。舍入：将原图按双连通分量缩为树 $ T $。将分数解转化为树 $ T $ 上的覆盖问题。对分数解进行舍入（例如随机舍入）得到整数边集 $ H $。验证并可能补充边以确保边双连通性。输出：得到的边集 $ H $ 即为增广边集，其总成本是原最优成本的近似（近似比取决于舍入技术，可能为 $ O(\log n) $ 或常数倍）。 7. 示例说明假设有一个4个顶点的环缺失一条边，原图 $ G $ 是路径 $ 1-2-3-4 $。它只有一个双连通分量（整条路径，因为没有桥？等等，这里每条边都是桥）。实际上，在路径中，每条边都是桥。所以块-割点树 $ T $ 有4个顶点（每个顶点是一个双连通分量，即一个点），3条树边。我们需要添加边使得 $ T $ 变成边双连通，即没有桥。在 $ T $ 是路径的情况下，添加一条连接路径两端的边（如1-4）就能使其变成一个环，从而边双连通。分数最优解可能会建议以0.5的概率选边1-3和2-4等。舍入后可能选择1-3，然后验证不满足，再补充2-4。最终解可能是添加两条边，而最优整数解只需添加一条边1-4。因此，舍入不一定得到最优，但成本是近似最优的。通过此方法，我们将一个NP-难问题转化为可求解的线性规划，并通过舍入得到近似解。这种“线性规划松弛+舍入”的框架是组合优化中设计近似算法的经典范式。