AES加密算法的InvMixColumns变换
字数 3784 2025-12-22 18:45:53

AES加密算法的InvMixColumns变换

我将为您讲解AES解密过程中的一个核心步骤——InvMixColumns（逆列混合）变换。这是AES算法在解密时使用的变换，用于逆转加密时的MixColumns变换。让我们一步步来理解。

第一步：AES算法背景与InvMixColumns的位置

AES（高级加密标准）是一种分组密码算法，分组长度为128位，密钥长度可以是128、192或256位。其加密和解密过程都基于一种称为Substitution-Permutation Network (SPN) 的结构，由多轮相同的轮函数（最后一轮略有不同）组成。

在AES加密过程中，每一轮（除最后一轮）包含四个按顺序应用的变换：

  1. SubBytes（字节替换）
  2. ShiftRows（行移位）
  3. MixColumns（列混合）
  4. AddRoundKey（轮密钥加）

在AES解密过程中，需要按逆序应用这些变换的逆变换。与InvMixColumns对应的就是加密时的MixColumns变换：

  • MixColumns： 加密时，对状态的每一列（4字节）进行一个线性变换，在有限域GF(2⁸)上进行矩阵乘法，以达到“扩散”的目的，让单个字节的改变迅速影响它所在列的多个字节。
  • InvMixColumns： 解密时，其任务就是“撤销”MixColumns的变换效果。它也是一个在GF(2⁸)上对每一列进行的线性变换，使用的矩阵是加密时所用矩阵的逆矩阵。

简单来说，如果把一列字节看作一个4维向量，那么有：
密文的一列状态向量 = MixColumns矩阵 × 明文的一列状态向量
相应地，解密时：
明文的一列状态向量 = InvMixColumns矩阵 × 密文的一列状态向量

第二步：理解变换的数学基础——有限域GF(2⁸)

要理解InvMixColumns，必须先了解它在哪个数学世界里运算。AES的所有字节运算都在一个叫做有限域GF(2⁸) 的数学结构中进行。

  1. 什么是有限域GF(2⁸)?

    • 一个“域”是一个集合，其中定义了加法和乘法两种运算，并且满足我们熟悉的大部分算术规则（如交换律、结合律、分配律，以及除零外每个元素都有乘法逆元）。
    • “有限”意味着这个集合只有有限个元素。GF(2⁸)正好有256个元素，可以完美地用8位二进制数（一个字节，0x00到0xFF）来表示。
    • GF(2⁸)的构造方法是：将一个8次不可约多项式作为“模数”。AES选用的是：
      m(x) = x⁸ + x⁴ + x³ + x + 1 （十六进制表示为0x11B）。
    • 在这个域里，加法就是简单的按位异或（XOR），而乘法则复杂得多，是多项式相乘后再对m(x)取模。

  2. 为什么用GF(2⁸)?

    • 它为字节运算提供了一个完美的代数结构，确保了变换的可逆性和良好的数学性质，这对于设计安全的密码算法至关重要。

第三步：InvMixColumns的核心——逆矩阵的定义

InvMixColumns对状态的每一列（4个字节，a₀, a₁, a₂, a₃）执行一个固定的矩阵乘法。这个逆矩阵是事先计算好的。

  1. 加密的MixColumns矩阵：

    | 02 03 01 01 |
| 01 02 03 01 |
| 01 01 02 03 |
| 03 01 01 02 |

    这里的01， 02， 03是GF(2⁸)域中的元素。02对应的多项式是x，03对应x+1。

  2. 解密的InvMixColumns矩阵：
    它是上面矩阵的逆矩阵，计算结果为：

    | 0E 0B 0D 09 |
| 09 0E 0B 0D |
| 0D 09 0E 0B |
| 0B 0D 09 0E |

    同样，09, 0B, 0D, 0E都是GF(2⁸)域中的元素。0E是0x0E，对应多项式x³ + x² + x。

第四步：InvMixColumns的计算过程（对一列）

假设当前状态的一列（4个字节）是 (s₀, s₁, s₂, s₃)。经过InvMixColumns变换后，新的一列 (s‘₀, s’₁, s‘₂, s’₃) 计算如下：

s‘₀ = (0x0E • s₀) ⊕ (0x0B • s₁) ⊕ (0x0D • s₂) ⊕ (0x09 • s₃)
s’₁ = (0x09 • s₀) ⊕ (0x0E • s₁) ⊕ (0x0B • s₂) ⊕ (0x0D • s₃) s‘₂ = (0x0D • s₀) ⊕ (0x09 • s₁) ⊕ (0x0E • s₂) ⊕ (0x0B • s₃)
s’₃ = (0x0B • s₀) ⊕ (0x0D • s₁) ⊕ (0x09 • s₂) ⊕ (0x0E • s₃)`

这里的符号解释：

  • ⊕ 表示在GF(2⁸)上的加法，即按位异或（XOR）。
  • • 表示在GF(2⁸)上的乘法。这是整个计算中最关键也最复杂的部分。

如何计算GF(2⁸)上的乘法？
以计算 0x0E • s₀ 为例：

  1. 0x0E 的二进制是 0000 1110，对应的多项式是：x³ + x² + x（因为第3、2、1位是1）。
  2. 计算 (x³ + x² + x) • s₀(x)，其中 s₀(x) 是字节 s₀ 对应的多项式。
  3. 根据分配律，这等于：x³ • s₀(x) + x² • s₀(x) + x • s₀(x)。
  4. 在GF(2⁸)中，乘以x等价于将字节左移一位（高位溢出），如果溢出（最高位是1），则再与不可约多项式0x11B（100011011）进行异或。这个过程称为 xtime 操作。
    • 所以，x • s₀ 可以通过一次xtime(s₀)得到。
    • x² • s₀ = x • (x • s₀)， 即对s₀进行两次连续的xtime。
    • x³ • s₀ = x • (x² • s₀)， 即对s₀进行三次连续的xtime。
  5. 最后，将这三个结果（x³ • s₀， x² • s₀， x • s₀）用XOR加起来，就得到了 0x0E • s₀。

实际计算技巧：
由于0x09， 0x0B， 0x0D， 0x0E这些系数都是0x01， 0x02， 0x04， 0x08等2的幂次通过XOR组合而成，在软件实现中，通常会预计算一个xtime表，或者利用0x0E = 0x08 ⊕ 0x04 ⊕ 0x02这样的关系，将乘法分解为多次xtime和XOR，以提高效率。

第五步：一个简化计算示例

为了直观，我们用一个简化的、基于xtime的思路来演示s‘₀的第一项0x0E • s₀的计算。假设 s₀ = 0xDB。

  1. 计算 x • s₀ = xtime(0xDB)：

    • 0xDB (11011011)左移一位得到 0x1B6 (110110110)，这是一个9位二进制数。
    • 因为最高位是1，需要与0x11B异或：0x1B6 ⊕ 0x11B = 0x0AD。
    • 所以，x • s₀ = 0xAD。

  2. 计算 x² • s₀ = xtime(0xAD)：

    • 0xAD (10101101) 左移得到 0x15A。
    • 最高位是1，异或0x11B：0x15A ⊕ 0x11B = 0x041。
    • 所以，x² • s₀ = 0x41。

  3. 计算 x³ • s₀ = xtime(0x41)：

    • 0x41 (01000001) 左移得到 0x82。
    • 最高位是0，所以结果就是0x82。

  4. 现在，0x0E • s₀ = (x³ + x² + x) • s₀ = (x³ • s₀) ⊕ (x² • s₀) ⊕ (x • s₀) = 0x82 ⊕ 0x41 ⊕ 0xAD。

    • 计算：0x82 ⊕ 0x41 = 0xC3， 然后 0xC3 ⊕ 0xAD = 0x6E。

所以，0x0E • 0xDB 在GF(2⁸)中的结果是 0x6E。

用同样的方法计算出s‘₀公式中的其他三项（0x0B • s₁， 0x0D • s₂， 0x09 • s₃），然后将它们全部XOR起来，就得到了最终的s’₀。对每一列、每一行都进行这样的计算，就完成了整个InvMixColumns变换。

总结与核心要点

  • 目的： InvMixColumns是AES解密过程中的一个关键步骤，用于逆转加密时MixColumns变换带来的“扩散”效应。
  • 本质： 在有限域GF(2⁸)上，对一个4字节的列向量乘以一个固定的4x4逆矩阵。
  • 计算核心： 计算的核心是GF(2⁸)上的乘法，它可以通过xtime操作（乘以x，即左移后条件异或0x11B）的迭代和组合来实现。
  • 可逆性： 因为使用了逆矩阵，所以 InvMixColumns(MixColumns(state)) = state。这个性质保证了AES解密的正确性。
  • 性能： 在实际的AES实现（尤其是嵌入式或高性能场景）中，常常会使用查表法（T-table）将InvMixColumns与InvSubBytes步骤合并，以大幅提升解密速度。

希望这个从背景、数学基础、矩阵定义到具体计算的逐步讲解，能帮助你透彻理解AES的InvMixColumns变换。

AES加密算法的InvMixColumns变换 我将为您讲解AES解密过程中的一个核心步骤—— InvMixColumns（逆列混合）变换 。这是AES算法在解密时使用的变换，用于逆转加密时的MixColumns变换。让我们一步步来理解。 第一步：AES算法背景与InvMixColumns的位置 AES（高级加密标准）是一种分组密码算法，分组长度为128位，密钥长度可以是128、192或256位。其加密和解密过程都基于一种称为 Substitution-Permutation Network (SPN) 的结构，由多轮相同的轮函数（最后一轮略有不同）组成。 在AES加密过程中，每一轮（除最后一轮）包含四个按顺序应用的变换： SubBytes （字节替换） ShiftRows （行移位） MixColumns （列混合） AddRoundKey （轮密钥加） 在AES 解密 过程中，需要按 逆序 应用这些变换的逆变换。与InvMixColumns对应的就是加密时的MixColumns变换： MixColumns ： 加密时，对状态的每一列（4字节）进行一个线性变换，在有限域GF(2⁸)上进行矩阵乘法，以达到“扩散”的目的，让单个字节的改变迅速影响它所在列的多个字节。 InvMixColumns ： 解密时，其任务就是“撤销”MixColumns的变换效果。它也是一个在GF(2⁸)上对每一列进行的线性变换，使用的矩阵是加密时所用矩阵的 逆矩阵 。 简单来说，如果把一列字节看作一个4维向量，那么有： 密文的一列状态向量 = MixColumns矩阵 × 明文的一列状态向量 相应地，解密时： 明文的一列状态向量 = InvMixColumns矩阵 × 密文的一列状态向量 第二步：理解变换的数学基础——有限域GF(2⁸) 要理解InvMixColumns，必须先了解它在哪个数学世界里运算。AES的所有字节运算都在一个叫做 有限域GF(2⁸) 的数学结构中进行。 什么是有限域GF(2⁸)? 一个“域”是一个集合，其中定义了加法和乘法两种运算，并且满足我们熟悉的大部分算术规则（如交换律、结合律、分配律，以及除零外每个元素都有乘法逆元）。 “有限”意味着这个集合只有有限个元素。GF(2⁸)正好有256个元素，可以完美地用8位二进制数（一个字节，0x00到0xFF）来表示。 GF(2⁸)的构造方法是：将一个8次不可约多项式作为“模数”。AES选用的是： m(x) = x⁸ + x⁴ + x³ + x + 1 （十六进制表示为 0x11B ）。 在这个域里，加法就是简单的 按位异或（XOR） ，而乘法则复杂得多，是多项式相乘后再对 m(x) 取模。 为什么用GF(2⁸)? 它为字节运算提供了一个完美的代数结构，确保了变换的可逆性和良好的数学性质，这对于设计安全的密码算法至关重要。 第三步：InvMixColumns的核心——逆矩阵的定义 InvMixColumns对状态的每一列（4个字节， a₀, a₁, a₂, a₃ ）执行一个固定的矩阵乘法。这个逆矩阵是事先计算好的。 加密的MixColumns矩阵： 这里的 01 ， 02 ， 03 是GF(2⁸)域中的元素。 02 对应的多项式是 x ， 03 对应 x+1 。 解密的InvMixColumns矩阵： 它是上面矩阵的逆矩阵，计算结果为： 同样， 09 , 0B , 0D , 0E 都是GF(2⁸)域中的元素。 0E 是 0x0E ，对应多项式 x³ + x² + x 。 第四步：InvMixColumns的计算过程（对一列） 假设当前状态的一列（4个字节）是 (s₀, s₁, s₂, s₃) 。经过InvMixColumns变换后，新的一列 (s‘₀, s’₁, s‘₂, s’₃) 计算如下： s‘₀ = (0x0E • s₀) ⊕ (0x0B • s₁) ⊕ (0x0D • s₂) ⊕ (0x09 • s₃) s’₁ = (0x09 • s₀) ⊕ (0x0E • s₁) ⊕ (0x0B • s₂) ⊕ (0x0D • s₃) s‘₂ = (0x0D • s₀) ⊕ (0x09 • s₁) ⊕ (0x0E • s₂) ⊕ (0x0B • s₃) s’₃ = (0x0B • s₀) ⊕ (0x0D • s₁) ⊕ (0x09 • s₂) ⊕ (0x0E • s₃) ` 这里的符号解释： ⊕ 表示在GF(2⁸)上的加法，即 按位异或（XOR） 。 • 表示在GF(2⁸)上的 乘法 。这是整个计算中最关键也最复杂的部分。 如何计算GF(2⁸)上的乘法？ 以计算 0x0E • s₀ 为例： 0x0E 的二进制是 0000 1110 ，对应的多项式是： x³ + x² + x （因为第3、2、1位是1）。 计算 (x³ + x² + x) • s₀(x) ，其中 s₀(x) 是字节 s₀ 对应的多项式。 根据分配律，这等于： x³ • s₀(x) + x² • s₀(x) + x • s₀(x) 。 在GF(2⁸)中，乘以 x 等价于将字节左移一位（高位溢出），如果溢出（最高位是1），则再与不可约多项式 0x11B （ 100011011 ）进行异或。这个过程称为 xtime 操作 。 所以， x • s₀ 可以通过一次 xtime(s₀) 得到。 x² • s₀ = x • (x • s₀) ， 即对 s₀ 进行两次连续的 xtime 。 x³ • s₀ = x • (x² • s₀) ， 即对 s₀ 进行三次连续的 xtime 。 最后，将这三个结果（ x³ • s₀ ， x² • s₀ ， x • s₀ ）用XOR加起来，就得到了 0x0E • s₀ 。 实际计算技巧： 由于 0x09 ， 0x0B ， 0x0D ， 0x0E 这些系数都是 0x01 ， 0x02 ， 0x04 ， 0x08 等2的幂次通过XOR组合而成，在软件实现中，通常会预计算一个 xtime 表，或者利用 0x0E = 0x08 ⊕ 0x04 ⊕ 0x02 这样的关系，将乘法分解为多次 xtime 和XOR，以提高效率。 第五步：一个简化计算示例 为了直观，我们用一个简化的、基于 xtime 的思路来演示 s‘₀ 的第一项 0x0E • s₀ 的计算。假设 s₀ = 0xDB 。 计算 x • s₀ = xtime(0xDB) ： 0xDB ( 11011011 )左移一位得到 0x1B6 ( 110110110 )，这是一个9位二进制数。 因为最高位是1，需要与 0x11B 异或： 0x1B6 ⊕ 0x11B = 0x0AD 。 所以， x • s₀ = 0xAD 。 计算 x² • s₀ = xtime(0xAD) ： 0xAD ( 10101101 ) 左移得到 0x15A 。 最高位是1，异或 0x11B ： 0x15A ⊕ 0x11B = 0x041 。 所以， x² • s₀ = 0x41 。 计算 x³ • s₀ = xtime(0x41) ： 0x41 ( 01000001 ) 左移得到 0x82 。 最高位是0，所以结果就是 0x82 。 现在， 0x0E • s₀ = (x³ + x² + x) • s₀ = (x³ • s₀) ⊕ (x² • s₀) ⊕ (x • s₀) = 0x82 ⊕ 0x41 ⊕ 0xAD 。 计算： 0x82 ⊕ 0x41 = 0xC3 ， 然后 0xC3 ⊕ 0xAD = 0x6E 。 所以， 0x0E • 0xDB 在GF(2⁸)中的结果是 0x6E 。 用同样的方法计算出 s‘₀ 公式中的其他三项（ 0x0B • s₁ ， 0x0D • s₂ ， 0x09 • s₃ ），然后将它们全部XOR起来，就得到了最终的 s’₀ 。对每一列、每一行都进行这样的计算，就完成了整个InvMixColumns变换。 总结与核心要点 目的 ： InvMixColumns是AES解密过程中的一个关键步骤，用于逆转加密时MixColumns变换带来的“扩散”效应。 本质 ： 在有限域GF(2⁸)上，对一个4字节的列向量乘以一个固定的4x4逆矩阵。 计算核心 ： 计算的核心是GF(2⁸)上的乘法，它可以通过 xtime 操作（乘以 x ，即左移后条件异或 0x11B ）的迭代和组合来实现。 可逆性 ： 因为使用了逆矩阵，所以 InvMixColumns(MixColumns(state)) = state 。这个性质保证了AES解密的正确性。 性能 ： 在实际的AES实现（尤其是嵌入式或高性能场景）中，常常会使用 查表法 （T-table）将InvMixColumns与InvSubBytes步骤合并，以大幅提升解密速度。 希望这个从背景、数学基础、矩阵定义到具体计算的逐步讲解，能帮助你透彻理解AES的InvMixColumns变换。