排序算法之：基于最小交换次数排序的“加权环分解”模型与带权交换成本优化 题目描述 已知一个长度为 n 的数组 arr，数组中包含 0 到 n-1 的所有整数，但顺序是打乱的。我们希望对数组进行排序，使其满足 arr[ i] = i。每次操作允许我们交换任意两个位置的元素。每个元素 i 都有一个“交换成本” weight[ i]。在一次交换操作中，如果交换了位置 p 和位置 q 的元素，那么这次交换的总成本为 weight[ arr[ p]] + weight[ arr[ q]]。我们的目标是以最小的 总交换成本 完成排序，而不仅仅是追求最小的交换次数。请设计一个高效的算法，计算并返回这个最小总成本。 示例 输入： arr = [ 1, 0, 2, 3], weight = [ 5, 10, 1, 2 ] 输出：最小总成本 = 10 解释： 初始数组：[ 1, 0, 2, 3 ] 方法一：交换 arr[ 0]=1 和 arr[ 1]=0，成本 = weight[ 1] + weight[ 0] = 10+5=15，得到[ 0,1,2,3 ]。总成本=15。 方法二：让元素0和1分别与元素2交换。先交换 arr[ 0]=1 和 arr[ 2]=2，成本= weight[ 1]+weight[ 2]=10+1=11，得到[ 2,0,1,3]。再交换 arr[ 0]=2 和 arr[ 1]=0，成本= weight[ 2]+weight[ 0]=1+5=6，得到[ 0,1,2,3 ]。总成本=11+6=17。 方法三：让元素0和1分别与“成本最小”的元素2进行间接交换。先交换 arr[ 0]=1 和 arr[ 2]=2，成本=11，得到[ 2,0,1,3]。然后交换 arr[ 2]=1 和 arr[ 0]=2，此时注意 arr[ 0] 现在已经是2， arr[ 2] 是1，交换后得到[ 1,0,2,3]。这次成本= weight[ 1]+weight[ 2]=10+1=11。再交换 arr[ 0]=1 和 arr[ 1]=0，成本=10+5=15，得到[ 0,1,2,3 ]。总成本=11+11+15=37。显然不是最优。 实际上，最优策略是交换 arr[ 0]=1 和 arr[ 1]=0 一次即可完成排序，但成本是15。但我们可以观察到，元素2和3已经在正确位置，不参与交换。最优策略其实有两种思考方式，后面会引入“加权环分解”模型来计算。对于这个例子，环结构是 (0 1) 和 (2) 和 (3)。环(0 1)有两种处理方法，一种是直接交换0和1，成本15。另一种是借助全局最小成本元素（本例是元素2，成本1）。但元素2不在这个环内，需要先将全局最小元素交换进环，然后利用它进行环内排序，再把它交换回去。计算如下：设全局最小成本元素是 m（权重 w_ m）。对于环C，包含 k个元素（k>1），环内元素总权重和 S，环内最小权重元素 c_ min。方法A（环内直接解决）：用环内最小元素 c_ min 作为交换中介，需要 (k-1) 次交换，总成本 = (S - weight[ c_ min]) + (k-1) * weight[ c_ min] = S + (k-2) weight[ c_ min]。方法B（借助全局最小元素）：先将全局最小 m 交换进环（交换 m 和 c_ min，成本 w_ m + weight[ c_ min]），然后用 m 作为交换中介处理完环内其他 k-1 个元素，每交换一次成本为 w_ m + 被交换元素的权重，最后将 m 交换回原位（交换 m 和 c_ min 的原始位置）。总成本 = (w_ m + weight[ c_ min]) + [ S - weight[ c_ min] + (k-1) w_ m] + (w_ m + weight[ c_ min]) = S + (k+1) w_ m + 2 weight[ c_ min]。对环(0 1)：k=2, S=weight[ 0]+weight[ 1]=5+10=15, c_ min=0, weight[ c_ min]=5, w_ m=1。方法A成本=15+(2-2) 5=15。方法B成本=15+(2+1) 1+2 5=15+3+10=28。所以选择方法A，最小环成本=15。其他环成本0。总成本=15。示例输出是10，与我们的计算不符？我们来检查示例输出。示例给出的最小成本是10，但我们的计算是15。让我们重新审视示例输入：arr=[ 1,0,2,3], weight=[ 5,10,1,2]。我们之前的权重对应关系：元素0权重5，元素1权重10，元素2权重1，元素3权重2。全局最小权重是元素2的权重1。环(0 1)：k=2, S=5+10=15, c_ min=0(权重5), w_ m=1。方法A=15+(2-2) 5=15。方法B=15+(2+1) 1+2 5=15+3+10=28。似乎确实是15。但示例说是10。让我们看看是否还有另一种策略：只交换元素0和1，但成本是按交换时元素所在位置对应的权重计算，还是按元素本身的固定权重计算？题目描述中说“交换了位置 p 和位置 q 的元素，那么这次交换的总成本为 weight[ arr[ p]] + weight[ arr[ q]]”，注意是 weight[ arr[ p]]，即元素自身的固定权重。所以无论元素移动到哪，它的交换成本是固定的。那么交换(位置0, 位置1)：位置0上是元素1（权重10），位置1上是元素0（权重5），成本=10+5=15。没有错误。所以示例输出10可能是错的，或者是另一种理解。也许存在更优方案：我们考虑不直接交换0和1，而是利用已经在正确位置的元素2（权重1）。但元素2已经在正确位置，如果我们把它交换出来，最后还得交换回去，会产生额外成本。尝试：交换0和2（成本5+1=6）-> [ 1,2,0,3]；交换0和1（成本5+10=15）-> [ 0,2,1,3]；交换1和2（成本10+1=11）-> [ 0,1,2,3]。总成本=6+15+11=32。更差。所以我们的计算应该没错。但既然示例给出10，可能是另一种权重定义，比如权重是位置权重而不是元素权重。但题目描述是 weight[ arr[ p] ]，是元素权重。我们先保留这个疑问，后续算法讲解会基于元素权重模型。重要的是掌握“加权环分解”模型的思想。 解题过程 我们先从经典的最小交换次数排序问题（无权重）说起，再引入带权重的扩展。 步骤1：重温经典最小交换次数排序（无权） 问题：给定一个长度为n的数组，包含0到n-1的所有整数，乱序。每次交换任意两个元素，求将数组排序（使得 arr[ i ]=i）的最小交换次数。 解决思路：将数组视为一个置换（permutation）。我们可以建立从当前位置到目标位置的映射图。具体地，对每个位置i，如果 arr[ i] != i，那么元素 arr[ i] 应该被放到位置 arr[ i] 上。我们可以从位置 i 开始，追踪 arr[ i ] 应该去的位置，直到形成一个环。整个数组可以被分解为若干个互不相交的环。 关键结论： 对于一个包含 k 个元素的环（k>1），使得这个环内所有元素归位的最小交换次数是 k-1。 因此，整个数组的最小交换次数 = Σ(每个环的长度 - 1) = n - 环的个数。 例如：arr = [ 1,0,2,3 ]。 位置0：元素1应该去位置1。 位置1：元素0应该去位置0。形成一个环 (0 1)，长度2。 位置2：元素2已在位置2，自环，长度1。 位置3：元素3已在位置3，自环，长度1。 总最小交换次数 = (2-1)+(1-1)+(1-1) = 1。确实交换一次(0,1)即可。 步骤2：引入交换成本权重 现在，每次交换的成本是参与交换的两个元素的权重之和。目标是最小化总成本，而不仅仅是交换次数。注意，元素权重是固定的，与位置无关。 一个环内部排序有两种基本策略： 环内直接交换 ：利用环内权重最小的元素作为“交换中介”，进行 k-1 次交换，使环内所有元素归位。 借助全局最小权重元素 ：如果全局最小权重元素不在当前环内，可以先将它交换进环，用它作为中介（因为它权重最小，交换成本低），完成环内排序后，再将它换回它原来的位置。 我们需要对每个环，比较这两种策略的成本，选择较小的。 步骤3：详细分析两种策略的成本计算 设： 环 C 包含 k 个元素 (k > 1)。 环内所有元素的权重和为 S。 环内最小权重元素的权重为 c_ min。 全局最小权重元素的权重为 w_ m（注意，全局最小权重元素可能就在当前环内，也可能在其他环）。 策略A：环内直接解决 选择环内最小权重元素 c_ min 作为中介。 将环内其他 k-1 个元素依次与 c_ min 交换，将它们放到正确位置。总共进行 k-1 次交换。 总成本 = 这 k-1 次交换的成本之和。 具体计算：第一次交换，将 c_ min 与它应该在的位置上的当前元素交换（这个元素是环中某个元素）。设被交换的元素权重为 w，成本 = c_ min + w。这次交换后，c_ min 归位。之后，每次交换都是将 c_ min 临时换出来，与另一个未归位的元素交换，使那个元素归位，再将 c_ min 换到下一个未归位元素的位置。实际上，每个非最小元素都会参与一次与 c_ min 的交换。因此，总成本 = (S - c_ min) + (k-1) * c_ min = S + (k-2) * c_ min。 解释：S - c_ min 是非最小元素的权重和，这些元素在交换时出现一次；c_ min 在每次交换都出现，共出现 k-1 次。所以总成本 = (S - c_ min) + c_ min* (k-1) = S + c_ min* (k-2)。 策略B：借助全局最小权重元素 前提：全局最小权重元素 m（权重 w_ m）不在当前环内。 步骤： a) 将 m 与环内最小元素 c_ min 交换，使 m 进入环内。成本 = w_ m + c_ min。 b) 用 m 作为交换中介，将环内其他 k-1 个元素归位。每次交换成本 = w_ m + 被交换元素的权重。这 k-1 次交换的总成本 = (k-1)* w_ m + (S - c_ min)。 c) 最后，将 m 交换回它原来的位置（即与 c_ min 交换回来）。成本 = w_ m + c_ min。 总成本 = (w_ m + c_ min) + [ (k-1) w_ m + (S - c_ min)] + (w_ m + c_ min) = S + (k+1) w_ m + 2* c_ min。 特殊情形 ：如果全局最小权重元素就在当前环内（即 c_ min == w_ m），那么策略B没有意义，因为本身就是环内最小，策略A已经是最优。此时只需采用策略A，成本 = S + (k-2)* c_ min。 步骤4：算法流程 找出全局最小权重元素及其权重 w_ m。 找出所有的环。可以使用 visited 数组，对每个未访问的位置，按照 arr[ i] 的指引追踪形成一个环，记录环内所有元素的权重，并找出环内最小权重 c_ min。 对每个环： 如果环长度 k == 1，成本为0。 如果 k > 1： 计算策略A的成本：costA = S + (k-2) * c_ min。 如果 c_ min != w_ m（即全局最小不在本环），计算策略B的成本：costB = S + (k+1) w_ m + 2 c_ min。 否则，costB = INF（无穷大）。 该环的最小成本为 min(costA, costB)。 将所有环的成本相加，得到总最小成本。 步骤5：示例演算（修正） 我们使用最初的示例，但更正权重理解。假设权重是位置权重，而不是元素权重。但题目描述是 weight[ arr[ p]]，是元素权重。我们再检查示例输出10是如何得到的。或许示例的权重数组 weight 对应的是位置，而不是元素。即 weight[ i] 表示位置 i 的交换成本。那么交换位置 p 和 q 的成本是 weight[ p] + weight[ q ]。这样重新计算示例： 输入： arr = [ 1,0,2,3], weight = [ 5,10,1,2] （weight[ i ] 是位置 i 的权重） 位置权重：pos0权重5, pos1权重10, pos2权重1, pos3权重2。 全局最小位置权重 w_ m = min(5,10,1,2) = 1（位置2）。 环：(0 1), (2), (3) 环(0 1)：k=2, 位置权重和 S = weight[ 0]+weight[ 1]=5+10=15, 环内最小位置权重 c_ min = min(5,10)=5。 策略A（环内直接）：costA = S + (k-2) c_ min = 15 + 0 5 = 15。 策略B（借助全局最小位置2，权重1）：costB = S + (k+1) w_ m + 2 c_ min = 15 + 3 1 + 2 5 = 15+3+10=28。 环成本 = min(15,28)=15。 总成本 = 15 + 0 + 0 = 15。 仍不是10。可能示例中 arr 和 weight 对应不同？我们换一种理解：权重是元素的固定权重，但示例输出10是错的？让我们用算法计算一下，假设权重是元素的，但按我们之前的公式计算环(0 1)成本是15，总成本15。示例说10，那可能还有更优策略？考虑不按环分解，而是直接交换？但理论证明环分解是最优的。可能示例的权重是 [ 5,10,1,2] 对应元素0~3，但 arr[ 0]=1 的权重是10， arr[ 1 ]=0 的权重是5。那么直接交换成本=10+5=15。没有更低方案。所以示例输出10可能有误。但我们不纠结于此，掌握算法思想更重要。 步骤6：算法正确性证明思路 环的独立性：由于交换操作只涉及两个元素，且最终每个元素都要回到其正确位置，可以证明最优交换序列不会涉及不同环之间的交换。即每个环可以独立处理。证明类似经典最小交换次数问题。 对于每个环，要么在环内解决，要么引入全局最小元素。可以证明，如果引入全局最小，那么在整个排序过程中，全局最小元素最多被引入一个环（因为引入后处理完再放回，不影响其他环）。因此每个环独立选择策略A或B。 策略A和B的成本公式已经涵盖了所有可能的交换序列，并给出了最小成本。可以证明，任何最优交换序列都可以转化为这两种策略之一。 步骤7：算法复杂度 找全局最小权重：O(n)。 找环：每个位置访问一次，O(n)。 每个环的处理：计算总和、最小值，O(环长度)。 总时间复杂度 O(n)，空间复杂度 O(1)（除了输入和visited数组）。 步骤8：扩展思考 如果权重是位置的函数（即 weight[ i] 表示位置 i 的交换成本），算法仍然适用，只需在计算环内权重和 S 和最小值 c_ min 时，使用位置权重而不是元素权重。注意，此时“全局最小权重元素”应改为“全局最小权重位置”。 如果数组元素不是 0~n-1，而是任意 n 个不同的数，可以先对数组排序，记录每个元素的目标位置，然后构建置换图，同样分解为环。 如果允许交换任意两个位置，但每次交换成本是固定的（与元素无关），那么问题退化为经典的最小交换次数问题。 总结 本题是经典最小交换次数排序的带权扩展。核心在于将数组分解为不相交的环，对每个环，比较“环内直接解决”和“借助全局最小权重元素”两种策略的成本，选择较小的。该算法高效且最优，时间复杂度为 O(n)。通过这个题目，我们学习了如何处理带权交换成本下的排序优化问题，并掌握了“加权环分解”的建模思想。