非线性规划中的改进差分进化-近似梯度-自适应罚函数混合算法基础题

题目描述

考虑一个带有非线性不等式约束的连续变量优化问题，形式如下：

\[\min_{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n} f(\mathbf{x}) \]

\[ \text{subject to} \quad g_i(\mathbf{x}) \leq 0, \quad i = 1, 2, \dots, m \]

其中，目标函数 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是非凸、可能不可微的，约束函数 \(g_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是非线性的。我们假设目标函数的梯度不易直接计算，但可以通过有限差分等方法获得近似梯度。此外，问题的可行域可能不连通，且包含多个局部极小点。

本题目要求设计并实现一个改进差分进化-近似梯度-自适应罚函数混合算法 来求解此类问题。该算法结合了差分进化的全局探索能力、近似梯度法的局部开发效率，以及自适应罚函数法处理约束的灵活性。

解题过程循序渐进讲解

步骤1：问题转化与自适应罚函数构建

由于原问题是约束优化，我们首先将其转化为一个（序列）无约束优化问题。这里不采用外点或内点罚函数，而是采用一种自适应罚函数，它能根据搜索过程中约束违反的程度动态调整惩罚系数，从而更好地平衡可行性与最优性。

1. 定义约束违反度：对于任意点 \(\mathbf{x}\)，其约束违反度向量为 \(\mathbf{V}(\mathbf{x}) = [\max(0, g_1(\mathbf{x})), \dots, \max(0, g_m(\mathbf{x}))]^T\)，总违反度标量为 \(v(\mathbf{x}) = \|\mathbf{V}(\mathbf{x})\|_2\)（欧几里得范数）或 \(v(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^{m} \max(0, g_i(\mathbf{x}))\)（L1范数）。

2. 构建自适应罚函数：

\[ P(\mathbf{x}; \mu, \rho) = f(\mathbf{x}) + \mu \cdot v(\mathbf{x}) + \frac{\rho}{2} [v(\mathbf{x})]^2 \]

这里，$\mu > 0$ 是线性惩罚系数，$\rho > 0$ 是二次惩罚系数。**自适应性** 体现在：在算法不同阶段（例如，在差分进化全局探索阶段和近似梯度局部优化阶段），或根据不同个体的违反程度，动态调整 $\mu$ 和 $\rho$。例如，在初期或对违反严重的个体，使用较大的 $\rho$ 以快速驱动解向可行域靠拢；在后期或对违反较小的个体，则增大 $\mu$ 的比重，以更精确地逼近约束边界上的最优解。

步骤2：混合算法框架设计

算法采用两层循环结构：外层是改进的差分进化（DE）算法，负责全局探索；内层是在DE找到的较优解（或可行解）附近启动的基于近似梯度的局部搜索，负责局部开发。

1. 初始化：在搜索空间内随机生成初始种群 \(\mathcal{P} = \{\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_{NP}\}\)。设定初始惩罚系数 \(\mu^{(0)}, \rho^{(0)}\)，最大代数 \(G_{max}\)，局部搜索触发频率 \(F_{ls}\) 等参数。

2. 主循环（对于每一代 \(g = 1, 2, \dots, G_{max}\)）：

   • 变异与交叉：对种群中每个个体 \(\mathbf{x}_i^{(g)}\)，执行改进的DE操作。
     • 变异：采用“DE/current-to-pbest/1”策略，它不仅利用了随机差异，还利用了当前代中较优个体的信息，以平衡探索与开发：

\[ \mathbf{v}_i = \mathbf{x}_i^{(g)} + F \cdot (\mathbf{x}_{pbest}^{(g)} - \mathbf{x}_i^{(g)}) + F \cdot (\mathbf{x}_{r1}^{(g)} - \mathbf{x}_{r2}^{(g)}) \]

        其中，$\mathbf{x}_{pbest}^{(g)}$ 是从当前代前 $p\%$（如20%）的较优个体中随机选择的，$\mathbf{x}_{r1}, \mathbf{x}_{r2}$ 是从整个种群中随机选择的互不相同的个体，$F$ 是缩放因子。
    *   **交叉**：与父代进行二项交叉，生成试验向量 $\mathbf{u}_i$。
*   **选择**：比较试验向量 $\mathbf{u}_i$ 和父代 $\mathbf{x}_i^{(g)}$ 的**罚函数值** $P(\cdot; \mu^{(g)}, \rho^{(g)})$。选择罚函数值更小的进入下一代：

\[ \mathbf{x}_i^{(g+1)} = \begin{cases} \mathbf{u}_i, & \text{if } P(\mathbf{u}_i; \mu^{(g)}, \rho^{(g)}) \leq P(\mathbf{x}_i^{(g)}; \mu^{(g)}, \rho^{(g)}) \\ \mathbf{x}_i^{(g)}, & \text{otherwise} \end{cases} \]

*   **自适应更新惩罚系数**：根据当前种群的平均约束违反度或最优个体的违反度，更新 $\mu^{(g+1)}$ 和 $\rho^{(g+1)}$。例如，如果最优个体仍不可行，则增加 $\rho$ 以加强惩罚；如果已可行，则适当减小 $\mu$ 以更精细地优化目标。

3. 局部搜索（条件触发）：每隔 \(F_{ls}\) 代，或在DE找到明显改进的可行解后，从当前最优个体 \(\mathbf{x}_{best}^{(g)}\) 或一个随机选择的较优可行个体出发，启动基于近似梯度的局部搜索。
   • 近似梯度计算：由于 \(f(\mathbf{x})\) 可能不可微，我们使用前向有限差分来近似其梯度：

\[ [\nabla_h f(\mathbf{x})]_j \approx \frac{f(\mathbf{x} + h \mathbf{e}_j) - f(\mathbf{x})}{h}, \quad j=1,\dots,n \]

    其中 $h$ 是一个小的正数（如 $10^{-6}$），$\mathbf{e}_j$ 是第 $j$ 个单位向量。约束函数的梯度（如果需要）也可类似近似。
*   **局部优化**：以当前点 $\mathbf{x}_{start}$ 为起点，执行一个基于近似梯度的优化方法，例如**近似梯度下降法** 或**带Armijo线搜索的近似梯度法**，来最小化罚函数 $P(\mathbf{x}; \mu_{local}, \rho_{local})$。这里的惩罚系数 $\mu_{local}, \rho_{local}$ 可以独立于DE阶段，采用更激进的策略（例如，如果起点不可行，则使用更大的 $\rho$）。
    *   **迭代格式**：$\mathbf{x}_{k+1} = \mathbf{x}_k - \alpha_k \nabla_h P(\mathbf{x}_k)$，其中 $\nabla_h P(\mathbf{x}_k) = \nabla_h f(\mathbf{x}_k) + \mu_{local} \cdot \nabla_h v(\mathbf{x}_k) + \rho_{local} \cdot v(\mathbf{x}_k) \nabla_h v(\mathbf{x}_k)$，$\alpha_k$ 是通过线搜索确定的步长。
*   **局部搜索结果的吸收**：将局部搜索得到的最优解 $\mathbf{x}_{local}^*$ 与当前DE种群中最差的个体比较，如果其罚函数值更优，则替换该最差个体，从而将局部开发的信息反馈给全局种群。

步骤3：算法终止与输出

1. 终止条件：当达到最大代数 \(G_{max}\)，或连续多代全局最优解的目标函数值和约束违反度变化小于给定阈值时，算法终止。
2. 输出：返回整个搜索过程中找到的最佳可行解（即满足所有约束且目标函数值最小的点）。如果始终未找到可行解，则返回约束违反度最小的解。

总结

本混合算法的核心思想是分工协作：

• 改进的差分进化：通过其种群机制和“current-to-pbest”变异策略，在全局范围内进行鲁棒探索，有助于跳出局部最优，并初步逼近可行域和高性能区域。
• 近似梯度法：在DE提供的较好起点上，利用（哪怕是不精确的）梯度信息进行快速、精确的局部搜索，可以高效地收敛到局部最优点。
• 自适应罚函数：作为桥梁，它将约束问题转化为无约束问题，并通过动态调整惩罚系数，引导搜索过程在可行性（满足约束）和最优性（降低目标）之间取得平衡。

这种混合策略结合了随机搜索的全局性和梯度方法的局部快速收敛性，同时通过自适应罚函数灵活处理约束，适用于目标函数复杂、约束非线性、且梯度信息难以精确获取的工程优化问题。