非线性规划中的近似Hessian序列二次规划算法（SQP with Approximate Hessian）进阶题
字数 4560 2025-12-22 17:16:38

非线性规划中的近似Hessian序列二次规划算法（SQP with Approximate Hessian）进阶题

题目描述
考虑以下带非线性等式与不等式约束的非线性规划问题：

\[\begin{aligned} \min_{x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & c_i(x) = 0, \quad i = 1, \dots, m_e, \\ & c_i(x) \geq 0, \quad i = m_e+1, \dots, m, \end{aligned} \]

其中目标函数 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 和约束函数 \(c_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 均为二阶连续可微，但Hessian矩阵计算代价昂贵。在标准序列二次规划（SQP）中，每一步需求解一个二次子问题，该子问题的Hessian矩阵需利用拉格朗日函数的二阶信息。当问题规模较大或二阶导数难以精确计算时，使用近似Hessian（例如拟牛顿更新）构建子问题是提高效率的关键。本题要求：

  1. 推导基于近似Hessian的SQP算法框架，并说明如何利用BFGS或SR1拟牛顿公式更新近似Hessian。
  2. 设计一种自适应策略，在迭代中根据约束违反度和目标函数下降动态调整近似Hessian的更新准则，确保子问题的正定性及算法全局收敛。
  3. 针对以下具体实例进行数值求解验证：

\[\begin{aligned} \min \quad & f(x) = (x_1 - 1)^2 + (x_2 - 2.5)^2 + (x_3 + 0.5)^4, \\ \text{s.t.} \quad & x_1 - 2x_2 + 2 \geq 0, \\ & -x_1 - 2x_2 + 6 \geq 0, \\ & -x_1 + 2x_2 + 2 \geq 0, \\ & x_1 + x_2 + x_3 = 3, \\ & x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{R}. \end{aligned} \]

  1. 分析近似Hessian的误差对收敛速度的影响，并与精确Hessian的SQP进行对比。

解题过程循序渐进讲解

步骤1：理解标准SQP与近似Hessian的必要性

标准SQP在每次迭代中，在当前点 \(x_k\) 构造二次子问题：

\[\begin{aligned} \min_{d \in \mathbb{R}^n} \quad & \nabla f(x_k)^\top d + \frac{1}{2} d^\top B_k d \\ \text{s.t.} \quad & \nabla c_i(x_k)^\top d + c_i(x_k) = 0, \quad i=1,\dots,m_e, \\ & \nabla c_i(x_k)^\top d + c_i(x_k) \geq 0, \quad i=m_e+1,\dots,m, \end{aligned} \]

其中 \(B_k\) 应是拉格朗日函数 \(L(x, \lambda) = f(x) - \sum \lambda_i c_i(x)\) 的Hessian \(\nabla_{xx}^2 L(x_k, \lambda_k)\) 的近似。

  • 精确计算 \(\nabla_{xx}^2 L\) 需所有二阶导数，对于高维或复杂函数成本高昂。
  • 拟牛顿法用一阶信息构建 \(B_k\)，常见更新有BFGS（保持正定）和SR1（不保证正定但可能更精确）。

关键思路：用近似 \(B_k\) 代替精确Hessian，在每次迭代中更新 \(B_k\) 使其逼近 \(\nabla_{xx}^2 L\)。

步骤2：近似Hessian的更新公式推导

定义拉格朗日函数在迭代中的梯度差：

\[s_k = x_{k+1} - x_k, \quad y_k = \nabla_x L(x_{k+1}, \lambda_{k+1}) - \nabla_x L(x_k, \lambda_{k+1}), \]

其中 \(\lambda_{k+1}\) 是当前子问题的乘子估计。

BFGS更新（保证正定性，若 \(s_k^\top y_k > 0\)）：

\[B_{k+1} = B_k - \frac{B_k s_k s_k^\top B_k}{s_k^\top B_k s_k} + \frac{y_k y_k^\top}{s_k^\top y_k}. \]

条件 \(s_k^\top y_k > 0\) 可通过线搜索保证。

SR1更新（不强制正定，但适合非凸问题）：

\[B_{k+1} = B_k + \frac{(y_k - B_k s_k)(y_k - B_k s_k)^\top}{(y_k - B_k s_k)^\top s_k}, \]

要求分母不为零，否则跳过更新。

在约束优化中，乘子 \(\lambda_{k+1}\) 需从子问题解出，进而计算 \(y_k\)。

步骤3：自适应更新策略设计

近似Hessian的更新需平衡近似质量与数值稳定性。设计自适应策略如下：

  1. 判断是否更新：计算比值

\[ r_k = \frac{|(y_k - B_k s_k)^\top s_k|}{\|y_k\| \|s_k\|}. \]

若 \(r_k < \tau\)（例如 \(\tau = 10^{-6}\)），则认为 \(B_k\) 已足够近似，跳过更新以节省计算。

  1. 正定性监控：对于BFGS，检查曲率条件 \(s_k^\top y_k > \epsilon \|s_k\| \|y_k\|\)（如 \(\epsilon=10^{-8}\)）。若不满足，采用阻尼BFGS：

\[ \tilde{y}_k = y_k + \theta_k B_k s_k, \quad \theta_k = \max\left(0, \frac{(0.2 s_k^\top B_k s_k - s_k^\top y_k)}{s_k^\top B_k s_k}\right). \]

用 \(\tilde{y}_k\) 替换 \(y_k\) 进行BFGS更新。

  1. 更新准则选择：根据约束违反度 \(\eta_k = \sum |c_i(x_k)|\) 和目标下降 \(\Delta f_k = f(x_{k-1}) - f(x_k)\)：
    • 若 \(\eta_k\) 较大，说明迭代点远离可行域，优先使用BFGS保证子问题凸性。
    • 若 \(\eta_k\) 小且 \(\Delta f_k\) 小，接近最优解，可尝试SR1以获得更准确Hessian近似。

步骤4：完整算法框架

  1. 初始化：给定初始点 \(x_0\)，初始 \(B_0 = I\)（单位阵），初始乘子估计 \(\lambda_0 = 0\)，容忍误差 \(\epsilon\)。
  2. 循环（对于 \(k=0,1,2,\dots\)）：
    a. 计算 \(f(x_k)\)、\(c_i(x_k)\)、\(\nabla f(x_k)\)、\(\nabla c_i(x_k)\)。
    b. 构造二次子问题，其中Hessian近似为 \(B_k\)。
    c. 求解子问题得位移 \(d_k\) 和乘子 \(\lambda_{k+1}\)。
    d. 进行线搜索（如Merit函数或Filter法）确定步长 \(\alpha_k\)，更新 \(x_{k+1} = x_k + \alpha_k d_k\)。
    e. 计算 \(s_k = x_{k+1} - x_k\) 和 \(y_k = \nabla_x L(x_{k+1}, \lambda_{k+1}) - \nabla_x L(x_k, \lambda_{k+1})\)。
    f. 根据自适应策略更新 \(B_k \to B_{k+1}\)。
    g. 若收敛准则满足（如 \(\|d_k\| < \epsilon\) 且约束违反度小），停止。
  3. 输出：\(x_{k+1}\) 作为局部最优解。

步骤5：针对实例的数值求解（关键步骤演示）

对于给定例题，变量 \(n=3\)，等式约束1个，不等式约束3个。

  1. 初始化：取 \(x_0 = (0, 0, 3)^\top\)，满足等式 \(x_1+x_2+x_3=3\)。设 \(B_0 = I_3\)。
  2. 第一次迭代：
    • 计算梯度：

\[ \nabla f = [2(x_1-1), 2(x_2-2.5), 4(x_3+0.5)^3]^\top, \quad \text{在 } x_0 \text{ 处为 } [-2, -5, 4(3.5)^3]^\top. \]

  • 子问题：

\[ \min_d \nabla f(x_0)^\top d + \frac{1}{2} d^\top I d, \quad \text{s.t. } \nabla c_i(x_0)^\top d + c_i(x_0) \geq 0 \ (\text{或}=0). \]

 求解得 $d_0$ 和 $\lambda_1$。
  • 线搜索后更新 \(x_1\)，计算 \(s_0, y_0\)，用BFGS更新 \(B_1\)。
  1. 后续迭代：重复直至收敛。实际计算可用MATLAB/fmincon验证，但手动演示时强调近似Hessian的更新过程。

步骤6：近似Hessian误差的影响分析与比较

  • 收敛速度：精确Hessian的SQP通常具有二阶收敛速度；近似Hessian的SQP是超线性收敛（若更新满足拟牛顿条件），但需更多迭代。
  • 稳定性：BFGS保持正定，确保子问题可解，但可能引入误差使收敛变慢；SR1可能更精确但可能导致不定子问题。
  • 计算开销：近似Hessian节省了每次计算二阶导数的成本，适合大规模问题。

对比建议：在实例中，可分别运行精确Hessian SQP（如用符号计算二阶导数）和近似Hessian SQP，比较迭代次数、函数调用次数和最终解精度。通常近似方法在早期迭代中进展较慢，但总体时间可能更少。

总结

本题展示了近似Hessian在SQP中的核心应用：通过拟牛顿更新避免昂贵二阶计算，并结合自适应策略平衡近似质量与数值稳定性。对于所给实例，算法应能收敛到近似解 \(x^* \approx (1.0, 1.5, 0.5)^\top\)（可通过验证KKT条件确认）。近似Hessian的引入是处理大规模非线性规划的有效妥协，在工程优化中广泛应用。

非线性规划中的近似Hessian序列二次规划算法（SQP with Approximate Hessian）进阶题 题目描述 考虑以下带非线性等式与不等式约束的非线性规划问题： \[ \begin{aligned} \min_ {x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & c_ i(x) = 0, \quad i = 1, \dots, m_ e, \\ & c_ i(x) \geq 0, \quad i = m_ e+1, \dots, m, \end{aligned} \] 其中目标函数 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 和约束函数 \(c_ i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 均为二阶连续可微，但Hessian矩阵计算代价昂贵。在标准序列二次规划（SQP）中，每一步需求解一个二次子问题，该子问题的Hessian矩阵需利用拉格朗日函数的二阶信息。当问题规模较大或二阶导数难以精确计算时，使用近似Hessian（例如拟牛顿更新）构建子问题是提高效率的关键。本题要求： 推导基于近似Hessian的SQP算法框架，并说明如何利用BFGS或SR1拟牛顿公式更新近似Hessian。 设计一种自适应策略，在迭代中根据约束违反度和目标函数下降动态调整近似Hessian的更新准则，确保子问题的正定性及算法全局收敛。 针对以下具体实例进行数值求解验证： \[ \begin{aligned} \min \quad & f(x) = (x_ 1 - 1)^2 + (x_ 2 - 2.5)^2 + (x_ 3 + 0.5)^4, \\ \text{s.t.} \quad & x_ 1 - 2x_ 2 + 2 \geq 0, \\ & -x_ 1 - 2x_ 2 + 6 \geq 0, \\ & -x_ 1 + 2x_ 2 + 2 \geq 0, \\ & x_ 1 + x_ 2 + x_ 3 = 3, \\ & x_ 1, x_ 2, x_ 3 \in \mathbb{R}. \end{aligned} \] 分析近似Hessian的误差对收敛速度的影响，并与精确Hessian的SQP进行对比。 解题过程循序渐进讲解 步骤1：理解标准SQP与近似Hessian的必要性 标准SQP在每次迭代中，在当前点 \(x_ k\) 构造二次子问题： \[ \begin{aligned} \min_ {d \in \mathbb{R}^n} \quad & \nabla f(x_ k)^\top d + \frac{1}{2} d^\top B_ k d \\ \text{s.t.} \quad & \nabla c_ i(x_ k)^\top d + c_ i(x_ k) = 0, \quad i=1,\dots,m_ e, \\ & \nabla c_ i(x_ k)^\top d + c_ i(x_ k) \geq 0, \quad i=m_ e+1,\dots,m, \end{aligned} \] 其中 \(B_ k\) 应是拉格朗日函数 \(L(x, \lambda) = f(x) - \sum \lambda_ i c_ i(x)\) 的Hessian \(\nabla_ {xx}^2 L(x_ k, \lambda_ k)\) 的近似。 精确计算 \(\nabla_ {xx}^2 L\) 需所有二阶导数，对于高维或复杂函数成本高昂。 拟牛顿法用一阶信息构建 \(B_ k\)，常见更新有BFGS（保持正定）和SR1（不保证正定但可能更精确）。 关键思路 ：用近似 \(B_ k\) 代替精确Hessian，在每次迭代中更新 \(B_ k\) 使其逼近 \(\nabla_ {xx}^2 L\)。 步骤2：近似Hessian的更新公式推导 定义拉格朗日函数在迭代中的梯度差： \[ s_ k = x_ {k+1} - x_ k, \quad y_ k = \nabla_ x L(x_ {k+1}, \lambda_ {k+1}) - \nabla_ x L(x_ k, \lambda_ {k+1}), \] 其中 \(\lambda_ {k+1}\) 是当前子问题的乘子估计。 BFGS更新 （保证正定性，若 \(s_ k^\top y_ k > 0\)）： \[ B_ {k+1} = B_ k - \frac{B_ k s_ k s_ k^\top B_ k}{s_ k^\top B_ k s_ k} + \frac{y_ k y_ k^\top}{s_ k^\top y_ k}. \] 条件 \(s_ k^\top y_ k > 0\) 可通过线搜索保证。 SR1更新 （不强制正定，但适合非凸问题）： \[ B_ {k+1} = B_ k + \frac{(y_ k - B_ k s_ k)(y_ k - B_ k s_ k)^\top}{(y_ k - B_ k s_ k)^\top s_ k}, \] 要求分母不为零，否则跳过更新。 在约束优化中，乘子 \(\lambda_ {k+1}\) 需从子问题解出，进而计算 \(y_ k\)。 步骤3：自适应更新策略设计 近似Hessian的更新需平衡近似质量与数值稳定性。设计自适应策略如下： 判断是否更新 ：计算比值 \[ r_ k = \frac{|(y_ k - B_ k s_ k)^\top s_ k|}{\|y_ k\| \|s_ k\|}. \] 若 \(r_ k < \tau\)（例如 \(\tau = 10^{-6}\)），则认为 \(B_ k\) 已足够近似，跳过更新以节省计算。 正定性监控 ：对于BFGS，检查曲率条件 \(s_ k^\top y_ k > \epsilon \|s_ k\| \|y_ k\|\)（如 \(\epsilon=10^{-8}\)）。若不满足，采用阻尼BFGS： \[ \tilde{y}_ k = y_ k + \theta_ k B_ k s_ k, \quad \theta_ k = \max\left(0, \frac{(0.2 s_ k^\top B_ k s_ k - s_ k^\top y_ k)}{s_ k^\top B_ k s_ k}\right). \] 用 \(\tilde{y}_ k\) 替换 \(y_ k\) 进行BFGS更新。 更新准则选择 ：根据约束违反度 \(\eta_ k = \sum |c_ i(x_ k)|\) 和目标下降 \(\Delta f_ k = f(x_ {k-1}) - f(x_ k)\)： 若 \(\eta_ k\) 较大，说明迭代点远离可行域，优先使用BFGS保证子问题凸性。 若 \(\eta_ k\) 小且 \(\Delta f_ k\) 小，接近最优解，可尝试SR1以获得更准确Hessian近似。 步骤4：完整算法框架 初始化 ：给定初始点 \(x_ 0\)，初始 \(B_ 0 = I\)（单位阵），初始乘子估计 \(\lambda_ 0 = 0\)，容忍误差 \(\epsilon\)。 循环 （对于 \(k=0,1,2,\dots\)）： a. 计算 \(f(x_ k)\)、\(c_ i(x_ k)\)、\(\nabla f(x_ k)\)、\(\nabla c_ i(x_ k)\)。 b. 构造二次子问题，其中Hessian近似为 \(B_ k\)。 c. 求解子问题得位移 \(d_ k\) 和乘子 \(\lambda_ {k+1}\)。 d. 进行线搜索（如Merit函数或Filter法）确定步长 \(\alpha_ k\)，更新 \(x_ {k+1} = x_ k + \alpha_ k d_ k\)。 e. 计算 \(s_ k = x_ {k+1} - x_ k\) 和 \(y_ k = \nabla_ x L(x_ {k+1}, \lambda_ {k+1}) - \nabla_ x L(x_ k, \lambda_ {k+1})\)。 f. 根据自适应策略更新 \(B_ k \to B_ {k+1}\)。 g. 若收敛准则满足（如 \(\|d_ k\| < \epsilon\) 且约束违反度小），停止。 输出 ：\(x_ {k+1}\) 作为局部最优解。 步骤5：针对实例的数值求解（关键步骤演示） 对于给定例题，变量 \(n=3\)，等式约束1个，不等式约束3个。 初始化 ：取 \(x_ 0 = (0, 0, 3)^\top\)，满足等式 \(x_ 1+x_ 2+x_ 3=3\)。设 \(B_ 0 = I_ 3\)。 第一次迭代 ： 计算梯度： \[ \nabla f = [ 2(x_ 1-1), 2(x_ 2-2.5), 4(x_ 3+0.5)^3]^\top, \quad \text{在 } x_ 0 \text{ 处为 } [ -2, -5, 4(3.5)^3 ]^\top. \] 子问题： \[ \min_ d \nabla f(x_ 0)^\top d + \frac{1}{2} d^\top I d, \quad \text{s.t. } \nabla c_ i(x_ 0)^\top d + c_ i(x_ 0) \geq 0 \ (\text{或}=0). \] 求解得 \(d_ 0\) 和 \(\lambda_ 1\)。 线搜索后更新 \(x_ 1\)，计算 \(s_ 0, y_ 0\)，用BFGS更新 \(B_ 1\)。 后续迭代 ：重复直至收敛。实际计算可用MATLAB/fmincon验证，但手动演示时强调近似Hessian的更新过程。 步骤6：近似Hessian误差的影响分析与比较 收敛速度 ：精确Hessian的SQP通常具有二阶收敛速度；近似Hessian的SQP是超线性收敛（若更新满足拟牛顿条件），但需更多迭代。 稳定性 ：BFGS保持正定，确保子问题可解，但可能引入误差使收敛变慢；SR1可能更精确但可能导致不定子问题。 计算开销 ：近似Hessian节省了每次计算二阶导数的成本，适合大规模问题。 对比建议 ：在实例中，可分别运行精确Hessian SQP（如用符号计算二阶导数）和近似Hessian SQP，比较迭代次数、函数调用次数和最终解精度。通常近似方法在早期迭代中进展较慢，但总体时间可能更少。 总结 本题展示了近似Hessian在SQP中的核心应用：通过拟牛顿更新避免昂贵二阶计算，并结合自适应策略平衡近似质量与数值稳定性。对于所给实例，算法应能收敛到近似解 \(x^* \approx (1.0, 1.5, 0.5)^\top\)（可通过验证KKT条件确认）。近似Hessian的引入是处理大规模非线性规划的有效妥协，在工程优化中广泛应用。