多边形的最优三角形剖分（最小弦长乘积版本） 题目描述 我们有一个凸多边形，其顶点按顺时针（或逆时针）顺序标记为 \( v_ 0, v_ 1, \dots, v_ {n-1} \)。多边形的边是相邻顶点之间的线段，且多边形是“凸的”，即所有内角都小于180°，且任意两点之间的连线都在多边形内部或边界上。 我们需要对这个多边形进行 三角剖分 ，即将多边形分割成 \(n-2\) 个三角形，这些三角形的顶点是多边形的顶点，且三角形的边要么是多边形的原始边，要么是多边形内部的弦（对角线）。 代价定义 ：每条弦（对角线）有一个“长度”值（可以认为是欧几里得距离，或任意给定的正数权值）。 对于一个三角形，其三条边中，如果一条边是 弦 （即不是多边形的原始边），则该边会贡献其“长度”值；如果是多边形的原始边，则其代价为0（因为原始边已经存在，不需要额外成本）。 三角剖分的 总代价 定义为所有三角形中 三条弦的长度乘积 之和。 更具体地说，考虑一个三角形 \((v_ i, v_ j, v_ k)\)（\(i < j < k\) 在多边形顶点环上顺序相邻），其三条边为： 如果边 \((v_ i, v_ j)\) 是弦，贡献长度 \(len(i,j)\)，否则贡献0。 如果边 \((v_ j, v_ k)\) 是弦，贡献长度 \(len(j,k)\)，否则贡献0。 如果边 \((v_ i, v_ k)\) 是弦，贡献长度 \(len(i,k)\)，否则贡献0。 这个三角形的代价是这三条边的“贡献”相乘。注意：如果某条边是原始边（即顶点索引相邻，如 \(j = i+1\) 或 \(k = j+1\) 或 \(i=0, k=n-1\) 在多边形闭合时相邻），其贡献长度为0。 为了简化，我们设 \(len(i,j)\) 是顶点 \(i\) 和 \(j\) 之间的弦的给定长度，且如果 \(|i-j| = 1\) 或 \((i,j)\) 是多边形闭合边（即 \(i=0, j=n-1\) 或 \(i=n-1, j=0\) 在多边形闭合时），则 \(len(i,j) = 0\)，因为这些是原始边，不产生代价。 目标 ：求一个三角剖分，使得总代价（所有三角形的弦长乘积之和）最小，并输出这个最小代价。 注意 ：此处的“弦长乘积”是针对每个三角形内部而言的，一个三角形内如果有多条弦，则乘积会累积，如果三角形只有一条弦，则乘积中其他因子为0，所以这个三角形代价为0。实际上，只有那些三条边都是弦的三角形才会产生非零代价。但我们一般化定义：设 \(c(i,j,k)\) 为三角形 \((i,j,k)\) 的代价，等于 \(len(i,j) \times len(j,k) \times len(i,k)\)。 但更常见的一个简化版本是：每个三角形的“弦长乘积”定义为这个三角形的三条边的长度（无论是否弦）的乘积，但题目中一般约定原始边长度=0，所以只有全是弦的三角形才有代价。这里我们采用通用定义：每个三角形代价是 \(len(i,j) \cdot len(j,k) \cdot len(i,k)\)，其中 \(len(i,j)\) 是顶点 \(i\) 到 \(j\) 的边长（给定值，原始边长度可以是0或非0，不影响）。但为了计算方便，通常设 \(len(i,j) = 0\) 当 \(j = i+1\)（相邻顶点，多边形的边），这样只有弦的长度才非零。 题目最终目标 是求所有三角形代价之和的最小值。 问题分析 凸多边形的三角剖分可以通过选择一条弦 \((i, k)\) 将多边形分成两部分：左子多边形 \(v_ i, v_ {i+1}, \dots, v_ k\) 和右子多边形 \(v_ k, v_ {k+1}, \dots, v_ i\)（循环）？不对，因为弦 \((i,k)\) 会把多边形分成两个子多边形，其中一个包含顶点 \(i, i+1, \dots, k\)，另一个包含 \(k, k+1, \dots, i\)（循环），但这两个子多边形在顶点环上不重叠，除了弦 \((i,k)\) 是公共边。 标准的区间DP思路：将多边形顶点按顺序编号 0 到 n-1，考虑子多边形 \(v_ i, v_ {i+1}, \dots, v_ j\)（连续顶点段）。设 \(dp[ i][ j ]\) 表示从顶点 \(i\) 到顶点 \(j\) 的连续子多边形（包含顶点 i 和 j 以及它们之间的所有顶点）进行三角剖分的最小总代价。 当 \(j-i < 2\) 时，子多边形顶点数少于3，无法构成三角形，代价为0。 当 \(j-i = 2\) 时，子多边形是三角形 \((i, i+1, j)\)，其代价为 \(len(i,i+1) \times len(i+1,j) \times len(i,j)\)。但由于 \(i,i+1\) 是相邻顶点，\(len(i,i+1)=0\)，所以三角形代价为0。但注意，如果题目允许原始边也有非零长度，则可能非零，这里假设原始边长度=0，所以 dp[ i][ j ] = 0。 对于一般情况 \(j-i \ge 2\)，我们考虑在子多边形中选择一个顶点 \(k\)（\(i < k < j\)），将子多边形分割成： 左子多边形：顶点 i, i+1, ..., k 右子多边形：顶点 k, k+1, ..., j 它们共享三角形 \((i, k, j)\) 作为剖分的一部分。 这个三角形 \((i, k, j)\) 的代价是 \(len(i,k) \times len(k,j) \times len(i,j)\)。 然后左子多边形和右子多边形的剖分代价分别是 \(dp[ i][ k]\) 和 \(dp[ k][ j ]\)。 所以总代价是： \[ dp[ i][ j] = \min_ {i < k < j} \left( dp[ i][ k] + dp[ k][ j ] + len(i,k) \times len(k,j) \times len(i,j) \right) \] 但这里有个问题：上述分解是否覆盖了所有三角剖分？在凸多边形中，选择一条弦 \((i,j)\) 将多边形分成两部分，但弦 \((i,j)\) 是子多边形的“边”吗？实际上，子多边形 \(i..j\) 的“边”包括原始边和某些弦。但我们的dp定义中，子多边形 \(i..j\) 是一个多边形，它的三角剖分是内部的一些弦，而三角形 \((i,k,j)\) 是包含顶点 i, k, j 的一个三角形，其中 \((i,j)\) 是子多边形的一条边（如果 i 和 j 在原始多边形中不相邻，则它是弦），\((i,k)\) 和 \((k,j)\) 可能是弦或原始边。 因此，上述转移是正确的。 最终答案：\(dp[ 0][ n-1]\) 表示从顶点 0 到顶点 n-1 的多边形的最小代价。注意这是凸多边形，所以顶点 0 和 n-1 是相邻的（多边形的边），所以 \(len(0,n-1)=0\)，但我们的 dp 计算中，三角形 (i,k,j) 的 \(len(i,j)\) 是子多边形的“边”，在最终 dp[ 0][ n-1 ] 中，i=0, j=n-1 时，len(0,n-1)=0，所以三角形 (0,k,n-1) 的代价为0，这符合最终多边形的最外一条边是原始边的事实。 实际上，更标准的三角剖分DP是： \[ dp[ i][ j] = \min_ {i < k < j} \left( dp[ i][ k] + dp[ k][ j ] + w(i,k,j) \right) \] 其中 \(w(i,k,j)\) 是三角形 \((i,k,j)\) 的代价。这里 \(w(i,k,j) = len(i,k) \cdot len(k,j) \cdot len(i,j)\)。 解题步骤 第一步：定义 dp 数组 设 \(dp[ i][ j ]\) 为子多边形（顶点 i, i+1, ..., j）的最小三角剖分代价（即所有三角形代价之和）。 i 和 j 的范围是 0 到 n-1，且 j-i >= 2 才有意义。 长度数组 len[ i][ j ] 已知（如果 i 和 j 相邻则为0，否则为给定的弦长度）。 第二步：初始化 当 j-i < 2 时，dp[ i][ j ] = 0（子多边形顶点数少于3，无法形成三角形）。 第三步：状态转移 对于子多边形 i..j（j-i >= 2）： 我们考虑在 i 和 j 之间选择一个顶点 k（i < k < j），将子多边形分成： 子多边形 i..k 子多边形 k..j 以及三角形 (i, k, j) 那么： \[ dp[ i][ j] = \min_ {i < k < j} \left( dp[ i][ k] + dp[ k][ j] + len[ i][ k] \times len[ k][ j] \times len[ i][ j ] \right) \] 注意 ：三角形 (i,k,j) 的三条边是 (i,k), (k,j), (i,j)。其中 (i,j) 是当前子多边形的一条边（可能是弦或原始边）。len[ i][ j ] 如果是原始边则为0，这样这个三角形的代价为0。这符合实际情况：最外层多边形边是原始边，不产生代价；内部的三角形如果三条边都是弦，则乘积非零，否则为0。 第四步：计算顺序 由于 dp[ i][ j] 依赖于 dp[ i][ k] 和 dp[ k][ j ]，其中 k 在 i 和 j 之间，我们需要按区间长度从小到大的顺序计算。 即：枚举长度 L 从 2 到 n-1（L = j-i），对于每个 L，枚举起点 i，则 j = i+L，然后枚举中间点 k 从 i+1 到 j-1。 第五步：最终答案 dp[ 0][ n-1 ] 即为所求的最小总代价。 举例说明 假设 n=4，顶点 0,1,2,3 构成凸四边形，边的长度（弦长）给定为： len[ 0][ 1] = len[ 1][ 0 ] = 0（原始边） len[ 1][ 2 ] = 0 len[ 2][ 3 ] = 0 len[ 3][ 0 ] = 0 len[ 0][ 2 ] = a（对角线长度） len[ 1][ 3 ] = b（对角线长度） 我们想三角剖分这个四边形，有两种方式： 用弦 (0,2) 分成三角形 (0,1,2) 和 (0,2,3)。 三角形 (0,1,2)：边 (0,1) 长度0，(1,2) 长度0，(0,2) 长度 a，乘积=0。 三角形 (0,2,3)：边 (0,2) 长度 a，(2,3) 长度0，(0,3) 长度0，乘积=0。 总代价=0。 用弦 (1,3) 分成三角形 (0,1,3) 和 (1,2,3)。 三角形 (0,1,3)：边 (0,1)=0, (1,3)=b, (0,3)=0，乘积=0。 三角形 (1,2,3)：边 (1,2)=0, (2,3)=0, (1,3)=b，乘积=0。 总代价=0。 所以当原始边长为0时，任何三角剖分代价都是0，因为每个三角形至少有一条原始边（在四边形中）。 更一般地，当 n=5 时，考虑五边形，某些三角形可能三条边都是弦，从而产生非零代价。 时间复杂度 状态数 O(n²)，每个状态需要枚举中间点 O(n)，总时间复杂度 O(n³)，空间复杂度 O(n²)。 小结 这个“多边形最优三角剖分（最小弦长乘积和）”是区间DP的经典应用，与“最小弦长和三角剖分”类似，只是代价函数变为三条弦长的乘积。通过定义子问题、状态转移和计算顺序，可以高效求解。注意如果题目中原始边的长度不为0，则三角形代价公式依然成立，只需将 len 数组正确赋值即可。