注意这里乘以了 $ x_{b,u} $，表示只有在关联时才产生速率。这使得公式非线性（非凸）。

当 $ x_{b,u}=1 $ 时，这些约束强制 $ q_{b,u} = p_{b,u} $；当 $ x_{b,u}=0 $ 时，强制 $ q_{b,u}=0 $。速率公式变为 $ R_{b,u} = W \log_2(1 + \frac{q_{b,u} h_{b,u}}{N_0 W}) $。

这样， $ R_{b,u} = W \cdot s_{b,u} $， 近似为线性表达式。
*   **分式目标处理**： 对于最大化 $ \frac{R_{total}}{P_{total}} $ 的问题，我们可以使用**Dinkelbach方法**（分式规划）或**Charnes-Cooper变换**。这里介绍适用于线性分式规划的Charnes-Cooper变换。
    令 $ t = 1 / P_{total} > 0 $， $ y_{b,u} = t \cdot q_{b,u} $， $ z = t \cdot P_c $。 则目标函数变为：

    但 $ s_{b,u} \cdot t $ 仍然是非线性的。我们可以对 $ s_{b,u} $ 也应用线性近似后的变量进行类似变换。更直接的方法是，注意到在变换后， $ s_{b,u} $ 是 $ q_{b,u} $ 的函数。我们可以用 $ y_{b,u} $ 重新定义分段线性近似。更实用的方法是，**不直接处理分式目标，而是将其转化为参数化形式**（Dinkelbach思路）：求解一系列参数为 $ \eta $ 的子问题，判断 $ \max \{ R_{total} - \eta P_{total} \} $ 是否大于0，通过二分法或迭代找到使最大值为0的 $ \eta^* $，即为最优能效。

约束条件为上述的所有线性约束（用户关联、基站功率、用户最低速率、分段线性近似约束等）。

基于线性规划的无线网络中能效最大化的多小区多用户功率分配与用户关联联合优化问题 问题描述 考虑一个多小区多用户下行无线通信网络，有多个基站和多个用户。每个基站覆盖一个小区，拥有有限的功率预算。每个用户设备（UE）在一个时刻只能与一个基站关联。系统目标是在满足每个用户最低服务质量（例如，最低速率）和基站最大发射功率约束的前提下，最大化整个系统的总能效（Energy Efficiency, EE）。总能效定义为系统总传输速率与系统总功耗的比值（单位：bit/Joule）。这是一个联合优化问题，需要同时决策 用户关联 （一个二元变量，表示用户与哪个基站连接）和 功率分配 （连续变量，表示基站分配给每个关联用户的发射功率）。 模型建立 符号定义 ： \( \mathcal{B} \)： 基站集合，\( b \in \mathcal{B} \)， 基站 \( b \) 的最大发射功率为 \( P_ b^{max} \)。 \( \mathcal{U} \)： 用户集合，\( u \in \mathcal{U} \)， 用户 \( u \) 的最低速率要求为 \( R_ u^{min} \)。 \( h_ {b,u} \)： 基站 \( b \) 到用户 \( u \) 的信道增益。 \( N_ 0 \)： 噪声功率谱密度（假设为常数）。 \( W \)： 系统带宽（假设所有链路相同）。 决策变量 ： \( x_ {b,u} \in \{0, 1\} \)： 二元变量，若用户 \( u \) 关联到基站 \( b \)，则为1，否则为0。每个用户只能与一个基站关联，即 \( \sum_ {b \in B} x_ {b,u} = 1, \forall u \in U \)。 \( p_ {b,u} \geq 0 \)： 连续变量，基站 \( b \) 分配给用户 \( u \) 的发射功率。只有当 \( x_ {b,u}=1 \) 时，\( p_ {b,u} > 0 \) 才有意义。 传输速率 ： 用户 \( u \) 从基站 \( b \) 获得的速率（假设采用香农容量公式，忽略干扰，或考虑OFDMA等正交接入，小区内用户间无干扰）为： \[ R_ {b,u} = W \log_ 2\left(1 + \frac{p_ {b,u} h_ {b,u}}{N_ 0 W}\right) \cdot x_ {b,u} \] 注意这里乘以了 \( x_ {b,u} \)，表示只有在关联时才产生速率。这使得公式非线性（非凸）。 总速率与总功耗 ： 总速率： \( R_ {total} = \sum_ {b \in B} \sum_ {u \in U} R_ {b,u} \)。 总功耗： 包括发射功率和电路静态功耗。简化模型为 \( P_ {total} = \sum_ {b \in B} \sum_ {u \in U} p_ {b,u} + P_ c \)，其中 \( P_ c \) 是所有基站的固定电路功耗之和。 优化目标与约束 ： 目标是最大化总能效 \( EE = \frac{R_ {total}}{P_ {total}} \)。 约束包括： 用户关联约束 ： \( \sum_ {b \in B} x_ {b,u} = 1, \forall u \in U \)。 功率非负约束 ： \( p_ {b,u} \geq 0, \forall b \in B, u \in U \)。 基站最大功率约束 ： \( \sum_ {u \in U} p_ {b,u} \leq P_ b^{max}, \forall b \in B \)。 用户最低速率约束 ： \( \sum_ {b \in B} R_ {b,u} \geq R_ u^{min}, \forall u \in U \)。 问题挑战与线性化/转化 核心挑战是目标函数和速率约束中存在 \( x_ {b,u} \) 和 \( p_ {b,u} \) 的乘积，以及 \( \log_ 2(1+...) \) 的非线性形式。为了利用线性规划（LP）或可求解的凸优化工具，我们需要进行一系列转化。 处理变量乘积 ： 引入辅助变量 \( q_ {b,u} = p_ {b,u} \cdot x_ {b,u} \)。可以证明，在二进制变量 \( x_ {b,u} \) 和连续变量 \( p_ {b,u} \) 的背景下，乘积关系可以用以下线性约束等价替换： \[ 0 \leq q_ {b,u} \leq P_ b^{max} \cdot x_ {b,u} \] \[ p_ {b,u} - P_ b^{max}(1 - x_ {b,u}) \leq q_ {b,u} \leq p_ {b,u} \] 当 \( x_ {b,u}=1 \) 时，这些约束强制 \( q_ {b,u} = p_ {b,u} \)；当 \( x_ {b,u}=0 \) 时，强制 \( q_ {b,u}=0 \)。速率公式变为 \( R_ {b,u} = W \log_ 2(1 + \frac{q_ {b,u} h_ {b,u}}{N_ 0 W}) \)。 处理对数函数和分式目标 ： 变量替换 ： 令 \( s_ {b,u} = \log_ 2(1 + \frac{q_ {b,u} h_ {b,u}}{N_ 0 W}) \)。这个关系是非线性的。一个常见方法是 分段线性近似 。我们引入 \( K \) 个采样点 \( \hat{q} 1, \hat{q} 2, ..., \hat{q} K \)，并计算对应的 \( \hat{s} k = \log_ 2(1 + \frac{\hat{q} k h {b,u}}{N_ 0 W}) \)。对于任意 \( q {b,u} \)，我们可以用其相邻的两个采样点 \( \hat{q} k \) 和 \( \hat{q} {k+1} \) 的凸组合来近似表示 \( s {b,u} \) 和 \( q {b,u} \)。这需要引入新的连续变量 \( \lambda {b,u,k} \geq 0 \)，并满足 \( \sum_ {k=1}^K \lambda_ {b,u,k} = 1 \) 以及特殊顺序集（SOS2）约束（或近似地用多个线性约束模拟），使得最多只有两个相邻的 \( \lambda \) 非零。然后有： \[ q_ {b,u} = \sum_ {k=1}^K \lambda_ {b,u,k} \hat{q} k, \quad s {b,u} = \sum_ {k=1}^K \lambda_ {b,u,k} \hat{s} k \] 这样， \( R {b,u} = W \cdot s_ {b,u} \)， 近似为线性表达式。 分式目标处理 ： 对于最大化 \( \frac{R_ {total}}{P_ {total}} \) 的问题，我们可以使用 Dinkelbach方法 （分式规划）或 Charnes-Cooper变换 。这里介绍适用于线性分式规划的Charnes-Cooper变换。 令 \( t = 1 / P_ {total} > 0 \)， \( y_ {b,u} = t \cdot q_ {b,u} \)， \( z = t \cdot P_ c \)。 则目标函数变为： \[ \max \quad R_ {total} \cdot t = \sum_ {b,u} W \cdot s_ {b,u} \cdot t \] 但 \( s_ {b,u} \cdot t \) 仍然是非线性的。我们可以对 \( s_ {b,u} \) 也应用线性近似后的变量进行类似变换。更直接的方法是，注意到在变换后， \( s_ {b,u} \) 是 \( q_ {b,u} \) 的函数。我们可以用 \( y_ {b,u} \) 重新定义分段线性近似。更实用的方法是， 不直接处理分式目标，而是将其转化为参数化形式 （Dinkelbach思路）：求解一系列参数为 \( \eta \) 的子问题，判断 \( \max \{ R_ {total} - \eta P_ {total} \} \) 是否大于0，通过二分法或迭代找到使最大值为0的 \( \eta^* \)，即为最优能效。 求解步骤 我们采用基于Dinkelbach方法的迭代求解框架，将原分式问题转化为一系列参数化的线性/混合整数线性规划（MILP）子问题。 步骤1： 问题重构与近似 引入变量 \( q_ {b,u} \) 和相应的线性约束，消除乘积项。 对每个（b, u）对，使用分段线性近似，用K个采样点和SOS2约束（或近似线性约束）将非线性速率函数 \( R_ {b,u} = W \log_ 2(1+ \frac{q_ {b,u} h_ {b,u}}{N_ 0 W}) \) 转化为关于变量 \( \lambda_ {b,u,k} \) 的线性表达式 \( R_ {b,u} = \sum_ {k} \lambda_ {b,u,k} \cdot (W \hat{s}_ k) \)。 用户速率约束变为： \( \sum_ {b} R_ {b,u} \geq R_ u^{min} \)。 基站功率约束变为： \( \sum_ {u} q_ {b,u} \leq P_ b^{max} \)。 总速率 \( R_ {total} = \sum_ {b,u} R_ {b,u} \)。 总功耗 \( P_ {total} = \sum_ {b,u} q_ {b,u} + P_ c \)。 此时，除了用户关联变量 \( x_ {b,u} \) 是二元的，其他关系都是线性的。问题变为一个混合整数线性规划（MILP），但目标仍是分式。 步骤2： Dinkelbach迭代算法 初始化能效下界 \( \eta_ {low} \) 和上界 \( \eta_ {high} \)（例如，0和一个很大的数），或直接设置初始能效猜测值 \( \eta^{(0)} = 0 \)。设定收敛容忍度 \( \epsilon > 0 \)。 对于第 \( n \) 次迭代（\( n = 0, 1, 2, ... \)）： 求解参数化子问题 ： 固定能效参数 \( \eta^{(n)} \)，求解以下MILP： \[ F(\eta^{(n)}) = \max_ {\{x, q, \lambda\}} \quad R_ {total} - \eta^{(n)} P_ {total} \] 约束条件为上述的所有线性约束（用户关联、基站功率、用户最低速率、分段线性近似约束等）。 判断收敛 ： 记求得的最优值为 \( F^ (\eta^{(n)}) \)，以及对应的最优解 \( (x^ , q^ , \lambda^ ) \)，计算该解对应的实际总能效 \( EE^{(n)} = R_ {total}^* / P_ {total}^* \)。 如果 \( |F^ (\eta^{(n)})| < \epsilon \) （或 \( |\eta^{(n)} - EE^{(n)}| < \epsilon \)），则算法收敛，\( (x^ , q^* ) \) 和 \( EE^{(n)} \) 即为近似最优解和最优能效。 否则，更新能效参数： \( \eta^{(n+1)} = EE^{(n)} \)。 返回步骤1进行下一次迭代。 步骤3： 获取最终解 算法收敛后，得到最优的用户关联方案 \( x_ {b,u}^* \) 和功率分配 \( p_ {b,u}^* = q_ {b,u}^* \)（因为 \( q_ {b,u} = p_ {b,u} \cdot x_ {b,u} \)，在最优解中，若 \( x_ {b,u}^ =1 \)，则 \( p_ {b,u}^ = q_ {b,u}^* \)；若 \( x_ {b,u}^ =0 \)，则 \( p_ {b,u}^ =0 \)），以及最大化的系统总能效。 核心要点与总结 问题本质 ： 这是一个联合用户关联和功率分配的非凸分式混合整数规划问题，直接求解非常困难。 关键技巧 ： 线性化乘积项 ： 引入辅助变量和线性约束，处理二元变量与连续变量的乘积。 函数线性近似 ： 用分段线性函数近似对数速率函数，将非线性项转化为线性表达式和额外的连续变量、约束。 分式规划 ： 使用Dinkelbach方法，将分式目标最大化问题转化为一系列参数化的线性目标（差形式）子问题，这些子问题是MILP，可以用标准求解器（如CPLEX, Gurobi）求解。 结果 ： 最终算法通过迭代求解一系列MILP子问题，逐步逼近最优的能效值以及对应的用户关联和功率分配策略。虽然由于分段线性近似，得到的是原问题的近似最优解，但通过增加采样点数量，可以控制近似精度。这种方法将复杂的非凸分式混合整数规划，转化为一系列可求解的MILP问题，是处理此类通信资源分配问题的有效框架。