SHA-256 哈希算法的轮函数中的 Σ0 和 Σ1 函数详解
字数 3442 2025-12-22 12:03:10

SHA-256 哈希算法的轮函数中的 Σ0 和 Σ1 函数详解

1. 题目描述

SHA-256 算法是一种广泛使用的密码学哈希函数，它将任意长度的输入消息压缩为固定长度（256位）的输出。其核心是“压缩函数”，而压缩函数的核心又是“轮函数”。轮函数在 64 轮运算中，不断更新 8 个工作寄存器（a, b, c, d, e, f, g, h）的状态。在每轮计算中，会用到两个特殊的函数：Σ0（读作“Sigma 0”）和 Σ1（读作“Sigma 1”）。本题要求深入剖析 SHA-256 轮函数中 Σ0 和 Σ1 函数的作用、定义、计算过程以及它们在算法安全设计中的目的。

2. 背景与预备知识

  • 哈希函数：一种单向密码学函数，将任意长度的数据映射为固定长度的“摘要”。
  • SHA-256 流程概览：
    1. 消息填充：将输入消息填充至长度为 512 位的整数倍。
    2. 消息分块：将填充后的消息分割成多个 512 位的块。
    3. 迭代压缩：对每个 512 位的消息块，执行一次“压缩函数”。压缩函数接收两个输入：当前块的 512 位数据，以及上一个压缩函数的 256 位输出（称为“链接变量”或“中间哈希值”，初始值为一组预定义的常量）。其输出是新的 256 位链接变量，用于处理下一个块。
    4. 最终输出：处理完所有消息块后，最终的链接变量即为最终的哈希值。
  • SHA-256 压缩函数：其核心是将 512 位的消息块扩展为 64 个 32 位的字（W₀ 到 W₆₃），并初始化 8 个 32 位工作寄存器 (a, b, c, d, e, f, g, h) 为当前的链接变量。然后，它会进行 64 轮运算，每轮使用一个字 Wₜ 和一个轮常数 Kₜ 来更新这 8 个寄存器。
  • 寄存器更新规则：SHA-256 轮函数的更新公式如下（这是理解 Σ0 和 Σ1 的关键上下文）：
    T1 = h + Σ1(e) + Ch(e, f, g) + K_t + W_t
    T2 = Σ0(a) + Maj(a, b, c)
    h = g
    g = f
    f = e
    e = d + T1
    d = c
    c = b
    b = a
    a = T1 + T2
    其中 Ch 是“选择”函数，Maj 是“多数”函数，K_t 是轮常数，W_t 是消息调度字。

3. Σ0 和 Σ1 函数的定义与计算步骤

Σ0 和 Σ1 是作用于单个 32 位字（寄存器值）上的线性函数。它们的计算基于循环右移（Right Rotate, 记作 ROTR）操作。

  • 循环右移 (ROTR)：给定一个 32 位字 X，ROTR^n(X) 表示将 X 向右循环移位 n 位。例如，对于 8 位字 0b10010110，ROTR^3 的结果是 0b11010010。

Σ0 函数 (作用于寄存器 a)

  • 定义：Σ0(x) = ROTR^2(x) ⊕ ROTR^13(x) ⊕ ROTR^22(x)
  • 计算步骤：
    1. 对输入值 a 进行循环右移 2 位，得到值 A。
    2. 对输入值 a 进行循环右移 13 位，得到值 B。
    3. 对输入值 a 进行循环右移 22 位，得到值 C。
    4. 将 A, B, C 这三个 32 位中间结果进行按位异或 (XOR) 运算。
    5. 异或的结果就是 Σ0(a) 的输出。

Σ1 函数 (作用于寄存器 e)

  • 定义：Σ1(x) = ROTR^6(x) ⊕ ROTR^11(x) ⊕ ROTR^25(x)
  • 计算步骤：
    1. 对输入值 e 进行循环右移 6 位，得到值 D。
    2. 对输入值 e 进行循环右移 11 位，得到值 E。
    3. 对输入值 e 进行循环右移 25 位，得到值 F。
    4. 将 D, E, F 这三个 32 位中间结果进行按位异或 (XOR) 运算。
    5. 异或的结果就是 Σ1(e) 的输出。

示例（简化 4 位字）：
假设当前轮函数输入 a = 0b1011 (4 位简化)。
计算 Σ0(a)（使用定义，但位宽仅为示例）：
ROTR^2(a) = 0b1110
ROTR^13(a) 在 4 位系统无意义，但逻辑等同于右移，此处仅为说明步骤顺序。
实际 SHA-256 中操作的是 32 位字。

4. Σ0 和 Σ1 在轮函数中的作用

回顾寄存器更新规则：

  • T1 = h + Σ1(e) + Ch(e, f, g) + K_t + W_t

  • T2 = Σ0(a) + Maj(a, b, c)

  • Σ1(e) 的作用：

    • 它是计算 T1 的五个组成部分之一。T1 主要用于更新寄存器 e（e = d + T1）。
    • Σ1(e) 从当前寄存器 e 的比特中，通过循环移位和异或，扩散和混淆了 e 的比特信息，并将这个结果注入到 T1 中。这为 e 的更新提供了非线性（通过 Ch 函数）和线性扩散（通过 Σ1 自身）的混合输入。它确保了 e 的新值不仅依赖于外部输入（W_t, K_t）和相邻寄存器的值（h, d），还强烈依赖于 e 自身历史的、经过复杂变换的版本。这增加了比特之间的依赖关系，使得反向计算或寻找碰撞变得困难。

  • Σ0(a) 的作用：

    • 它是计算 T2 的两个组成部分之一。T2 和 T1 相加得到新的寄存器 a 的值（a = T1 + T2）。
    • Σ0(a) 从当前寄存器 a 的比特中，通过循环移位和异或，扩散和混淆了 a 的比特信息，并将这个结果注入到 T2 中。T2 的另一部分是 Maj(a, b, c)，它混合了 a, b, c 三个寄存器。因此，新的 a 的值，由来自 e, f, g, h, d 路径的 T1 和来自 a, b, c 路径的 T2 共同决定。Σ0(a) 确保了“a路径”上的信息是经过充分混淆的，而不是简单地传递。这是 SHA-256 设计中“雪崩效应”的关键环节——改变输入的一位，会导致输出的每一位都有约 50% 的概率发生变化。

5. 设计目标与安全性分析

Σ0 和 Σ1 的设计并非随意，而是精心选择的，旨在满足以下几个密码学目标：

  1. 比特扩散 (Bit Diffusion)：循环右移操作（如 2, 13, 22, 6, 11, 25）能将单个输入位的影响扩散到输出的多个位置。异或操作进一步混合了这些被移位的位。这确保了输入位（寄存器 a 或 e 的位）的微小变化，能快速传播到 Σ 函数的整个 32 位输出中。
  2. 非线性/伪随机性 (Non-linearity / Pseudorandomness)：虽然 Σ0 和 Σ1 本身是线性操作（因为循环移位和异或都是线性的），但它们的输出是输入位的复杂线性组合。当这个输出与轮函数中其他高度非线性的部分（如 Ch, Maj 函数）以及模加法结合时，整体的轮函数表现出极强的非线性和伪随机性，使得从输出推断输入或寻找数学结构上的弱点变得极其困难。
  3. 打破对称性 (Breaking Symmetry)：Σ0 和 Σ1 使用的位移常数（(2,13,22) 和 (6,11,25)）是经过仔细挑选的。它们与轮函数中其他位移常数（例如在消息调度中使用的 σ0 和 σ1 函数）一起，旨在打破算法中可能出现的任何形式的对称性或周期性，从而抵抗密码分析攻击，如固定点攻击、差分攻击和线性攻击。
  4. 高效计算 (Efficient Computation)：在硬件和软件实现中，循环移位和异或都是非常快速、成本低廉的操作。这使得 SHA-256 在提供强大安全性的同时，也能保持很高的运算效率。

总结：
SHA-256 轮函数中的 Σ0 和 Σ1 函数，本质上是基于循环右移和异或的线性扩散函数。它们分别作用于关键的中间状态寄存器 a 和 e 上，将单个寄存器的比特信息复杂地扩散到 32 位的输出中。它们的主要角色是将寄存器当前状态的高度混淆版本，分别注入到更新路径 T2 和 T1 中，从而与其他非线性组件（Ch, Maj）和外部输入（W_t, K_t）紧密结合，共同确保了 SHA-256 压缩函数每一轮都产生强烈的雪崩效应和非线性，是构成其抗碰撞性和前像抵抗能力的关键基础构件之一。

SHA-256 哈希算法的轮函数中的 Σ0 和 Σ1 函数详解 1. 题目描述 SHA-256 算法是一种广泛使用的密码学哈希函数，它将任意长度的输入消息压缩为固定长度（256位）的输出。其核心是“压缩函数”，而压缩函数的核心又是“轮函数”。轮函数在 64 轮运算中，不断更新 8 个工作寄存器（a, b, c, d, e, f, g, h）的状态。在每轮计算中，会用到两个特殊的函数：Σ0（读作“Sigma 0”）和 Σ1（读作“Sigma 1”）。本题要求深入剖析 SHA-256 轮函数中 Σ0 和 Σ1 函数的作用、定义、计算过程以及它们在算法安全设计中的目的。 2. 背景与预备知识 哈希函数 ：一种单向密码学函数，将任意长度的数据映射为固定长度的“摘要”。 SHA-256 流程概览 ： 消息填充 ：将输入消息填充至长度为 512 位的整数倍。 消息分块 ：将填充后的消息分割成多个 512 位的块。 迭代压缩 ：对每个 512 位的消息块，执行一次“压缩函数”。压缩函数接收两个输入：当前块的 512 位数据，以及上一个压缩函数的 256 位输出（称为“链接变量”或“中间哈希值”，初始值为一组预定义的常量）。其输出是新的 256 位链接变量，用于处理下一个块。 最终输出 ：处理完所有消息块后，最终的链接变量即为最终的哈希值。 SHA-256 压缩函数 ：其核心是将 512 位的消息块扩展为 64 个 32 位的字（W₀ 到 W₆₃），并初始化 8 个 32 位工作寄存器 (a, b, c, d, e, f, g, h) 为当前的链接变量。然后，它会进行 64 轮运算，每轮使用一个字 Wₜ 和一个轮常数 Kₜ 来更新这 8 个寄存器。 寄存器更新规则 ：SHA-256 轮函数的更新公式如下（这是理解 Σ0 和 Σ1 的关键上下文）： T1 = h + Σ1(e) + Ch(e, f, g) + K_t + W_t T2 = Σ0(a) + Maj(a, b, c) h = g g = f f = e e = d + T1 d = c c = b b = a a = T1 + T2 其中 Ch 是“选择”函数， Maj 是“多数”函数， K_t 是轮常数， W_t 是消息调度字。 3. Σ0 和 Σ1 函数的定义与计算步骤 Σ0 和 Σ1 是作用于单个 32 位字（寄存器值）上的线性函数。它们的计算基于循环右移（Right Rotate, 记作 ROTR）操作。 循环右移 (ROTR) ：给定一个 32 位字 X， ROTR^n(X) 表示将 X 向右循环移位 n 位。例如，对于 8 位字 0b10010110 ， ROTR^3 的结果是 0b11010010 。 Σ0 函数 (作用于寄存器 a) 定义 ： Σ0(x) = ROTR^2(x) ⊕ ROTR^13(x) ⊕ ROTR^22(x) 计算步骤 ： 对输入值 a 进行循环右移 2 位，得到值 A。 对输入值 a 进行循环右移 13 位，得到值 B。 对输入值 a 进行循环右移 22 位，得到值 C。 将 A, B, C 这三个 32 位中间结果进行 按位异或 (XOR) 运算。 异或的结果就是 Σ0(a) 的输出。 Σ1 函数 (作用于寄存器 e) 定义 ： Σ1(x) = ROTR^6(x) ⊕ ROTR^11(x) ⊕ ROTR^25(x) 计算步骤 ： 对输入值 e 进行循环右移 6 位，得到值 D。 对输入值 e 进行循环右移 11 位，得到值 E。 对输入值 e 进行循环右移 25 位，得到值 F。 将 D, E, F 这三个 32 位中间结果进行 按位异或 (XOR) 运算。 异或的结果就是 Σ1(e) 的输出。 示例（简化 4 位字） ： 假设当前轮函数输入 a = 0b1011 (4 位简化)。 计算 Σ0(a) （使用定义，但位宽仅为示例）： ROTR^2(a) = 0b1110 ROTR^13(a) 在 4 位系统无意义，但逻辑等同于右移，此处仅为说明步骤顺序。 实际 SHA-256 中操作的是 32 位字。 4. Σ0 和 Σ1 在轮函数中的作用 回顾寄存器更新规则： T1 = h + Σ1(e) + Ch(e, f, g) + K_t + W_t T2 = Σ0(a) + Maj(a, b, c) Σ1(e) 的作用 ： 它是计算 T1 的五个组成部分之一。 T1 主要用于更新寄存器 e （ e = d + T1 ）。 Σ1(e) 从当前寄存器 e 的比特中，通过循环移位和异或，扩散和混淆了 e 的比特信息，并将这个结果注入到 T1 中。这为 e 的更新提供了非线性（通过 Ch 函数）和线性扩散（通过 Σ1 自身）的混合输入。它确保了 e 的新值不仅依赖于外部输入（ W_t, K_t ）和相邻寄存器的值（ h, d ），还强烈依赖于 e 自身历史的、经过复杂变换的版本。这增加了比特之间的依赖关系，使得反向计算或寻找碰撞变得困难。 Σ0(a) 的作用 ： 它是计算 T2 的两个组成部分之一。 T2 和 T1 相加得到新的寄存器 a 的值（ a = T1 + T2 ）。 Σ0(a) 从当前寄存器 a 的比特中，通过循环移位和异或，扩散和混淆了 a 的比特信息，并将这个结果注入到 T2 中。 T2 的另一部分是 Maj(a, b, c) ，它混合了 a, b, c 三个寄存器。因此，新的 a 的值，由来自 e, f, g, h, d 路径的 T1 和来自 a, b, c 路径的 T2 共同决定。 Σ0(a) 确保了“a路径”上的信息是经过充分混淆的，而不是简单地传递。这是 SHA-256 设计中“雪崩效应”的关键环节——改变输入的一位，会导致输出的每一位都有约 50% 的概率发生变化。 5. 设计目标与安全性分析 Σ0 和 Σ1 的设计并非随意，而是精心选择的，旨在满足以下几个密码学目标： 比特扩散 (Bit Diffusion) ：循环右移操作（如 2, 13, 22, 6, 11, 25）能将单个输入位的影响扩散到输出的多个位置。异或操作进一步混合了这些被移位的位。这确保了输入位（寄存器 a 或 e 的位）的微小变化，能快速传播到 Σ 函数的整个 32 位输出中。 非线性/伪随机性 (Non-linearity / Pseudorandomness) ：虽然 Σ0 和 Σ1 本身是线性操作（因为循环移位和异或都是线性的），但它们的输出是输入位的复杂线性组合。当这个输出与轮函数中其他高度非线性的部分（如 Ch , Maj 函数）以及模加法结合时，整体的轮函数表现出极强的非线性和伪随机性，使得从输出推断输入或寻找数学结构上的弱点变得极其困难。 打破对称性 (Breaking Symmetry) ：Σ0 和 Σ1 使用的位移常数（(2,13,22) 和 (6,11,25)）是经过仔细挑选的。它们与轮函数中其他位移常数（例如在消息调度中使用的 σ0 和 σ1 函数）一起，旨在打破算法中可能出现的任何形式的对称性或周期性，从而抵抗密码分析攻击，如固定点攻击、差分攻击和线性攻击。 高效计算 (Efficient Computation) ：在硬件和软件实现中，循环移位和异或都是非常快速、成本低廉的操作。这使得 SHA-256 在提供强大安全性的同时，也能保持很高的运算效率。 总结 ： SHA-256 轮函数中的 Σ0 和 Σ1 函数，本质上是基于循环右移和异或的线性扩散函数。它们分别作用于关键的中间状态寄存器 a 和 e 上，将单个寄存器的比特信息复杂地扩散到 32 位的输出中。它们的主要角色是将寄存器当前状态的高度混淆版本，分别注入到更新路径 T2 和 T1 中，从而与其他非线性组件（ Ch , Maj ）和外部输入（ W_t , K_t ）紧密结合，共同确保了 SHA-256 压缩函数每一轮都产生强烈的雪崩效应和非线性，是构成其抗碰撞性和前像抵抗能力的关键基础构件之一。