非线性规划中的序列凸近似信赖域反射-自适应屏障混合算法进阶题
字数 3928 2025-12-22 11:23:25

非线性规划中的序列凸近似信赖域反射-自适应屏障混合算法进阶题

题目描述：
考虑一个带非线性等式和不等式约束的非凸、非光滑优化问题：

\[\begin{aligned} \min_{x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & c_i(x) = 0, \quad i \in \mathcal{E}, \\ & c_i(x) \leq 0, \quad i \in \mathcal{I}, \end{aligned} \]

其中目标函数 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 非凸且可能非光滑（例如包含 \(\ell_1\) 范数项），等式约束集 \(\mathcal{E}\) 和不等式约束集 \(\mathcal{I}\) 均为有限集，约束函数 \(c_i(x)\) 非线性且光滑。该算法需结合序列凸近似（SCA）、信赖域反射（Trust Region Reflection）、自适应屏障（Adaptive Barrier）三种技术，在每步迭代中构建局部凸近似子问题，利用信赖域控制近似精度，并通过自适应屏障函数处理约束可行性，保证迭代点始终严格可行或稳定收敛到可行域。请详细解释该混合算法的设计步骤、关键公式与收敛机制。

解题过程循序渐进讲解：

1. 问题重构与屏障函数引入
为处理不等式约束，引入对数屏障函数将原问题转化为一系列无约束子问题。对每个 \(\mu > 0\)，定义屏障问题：

\[\min_{x} \quad \phi_\mu(x) := f(x) - \mu \sum_{i \in \mathcal{I}} \ln(-c_i(x)), \quad \text{s.t. } c_i(x) = 0, \, i \in \mathcal{E}. \]

屏障参数 \(\mu\) 在算法中自适应更新：初始 \(\mu_0 > 0\)，随着迭代减小（\(\mu_{k+1} = \gamma \mu_k, \, \gamma \in (0,1)\)），使得解逐渐逼近原问题的最优解。

2. 序列凸近似（SCA）框架
在第 \(k\) 步，给定当前迭代点 \(x_k\)，对目标和约束进行凸近似：

  • 对非光滑目标 \(f(x)\)，若可分解为 \(f(x) = g(x) + h(x)\)，其中 \(g\) 光滑凸、\(h\) 非光滑凸（如 \(\ell_1\) 范数），则对 \(g\) 作一阶凸近似，\(h\) 保持不变：

\[ \tilde{f}_k(x) = g(x_k) + \nabla g(x_k)^\top (x - x_k) + \frac{1}{2} (x - x_k)^\top H_k (x - x_k) + h(x), \]

其中 \(H_k\) 为对称正定矩阵（拟牛顿近似Hessian），保证子问题凸性。

  • 对等式约束 \(c_i(x) = 0\) 和不等式约束 \(c_i(x) \leq 0\)，在 \(x_k\) 处线性化：

\[ \tilde{c}_i^k(x) = c_i(x_k) + \nabla c_i(x_k)^\top (x - x_k). \]

3. 自适应屏障与信赖域反射子问题
将凸近似函数代入屏障问题，得到第 \(k\) 步的子问题：

\[\begin{aligned} \min_{x} \quad & \tilde{\phi}_\mu^k(x) := \tilde{f}_k(x) - \mu_k \sum_{i \in \mathcal{I}} \ln(-\tilde{c}_i^k(x)) \\ \text{s.t.} \quad & \tilde{c}_i^k(x) = 0, \quad i \in \mathcal{E}, \\ & \tilde{c}_i^k(x) < 0, \quad i \in \mathcal{I}, \\ & \|x - x_k\| \leq \Delta_k, \end{aligned} \]

其中 \(\Delta_k > 0\) 是信赖域半径，控制近似误差；约束 \(\tilde{c}_i^k(x) < 0\) 确保屏障函数有定义。子问题为凸优化，可用内点法快速求解。

4. 自适应更新策略

  • 屏障参数更新：若当前子问题求解后，约束违反度 \(\eta_k = \sum_{i \in \mathcal{E}} |c_i(x_k)| + \sum_{i \in \mathcal{I}} \max(0, c_i(x_k))\) 小于阈值 \(\epsilon_{\text{feas}}\)，则减小 \(\mu_k\)（乘以 \(\gamma\)）；否则保持 \(\mu_k\) 不变，优先降低可行性误差。
  • 信赖域半径更新：定义实际下降量 \(\text{Ared}_k = \phi_{\mu_k}(x_k) - \phi_{\mu_k}(x_{k+1})\) 与预测下降量 \(\text{Pred}_k = \tilde{\phi}_{\mu_k}^k(x_k) - \tilde{\phi}_{\mu_k}^k(x_{k+1})\)，计算比率 \(\rho_k = \frac{\text{Ared}_k}{\text{Pred}_k}\)。
    • 若 \(\rho_k \geq \eta_1\)（如 \(\eta_1 = 0.75\)），近似效果好，扩大信赖域：\(\Delta_{k+1} = \min(\tau_1 \Delta_k, \Delta_{\max})\)。
    • 若 \(\rho_k < \eta_2\)（如 \(\eta_2 = 0.25\)），近似效果差，缩小信赖域：\(\Delta_{k+1} = \tau_2 \Delta_k\)。
    • 否则保持 \(\Delta_{k+1} = \Delta_k\)。
      其中 \(0 < \tau_2 < 1 < \tau_1\)，\(\Delta_{\max}\) 为最大半径。

5. 反射步骤（Trust Region Reflection）
当子问题解导致约束违反时，采用反射技术调整迭代点。对近似线性约束 \(\tilde{c}_i^k(x) = 0\)，若求解后得到 \(x_{k+1}^{\text{temp}}\) 使得 \(|\tilde{c}_i^k(x_{k+1}^{\text{temp}})| > \delta\)，则进行反射投影：

\[x_{k+1} = x_{k+1}^{\text{temp}} - A^\top (A A^\top)^{-1} (A x_{k+1}^{\text{temp}} - b), \]

其中 \(A\) 为等式约束的雅可比矩阵，\(b = -A x_k\)（来自线性化约束）。该步骤将点拉回到近似可行域，保证后续屏障函数有效。

6. 算法流程概览

  1. 初始化 \(x_0, \mu_0, \Delta_0\)，设定参数 \(\gamma, \eta_1, \eta_2, \tau_1, \tau_2, \epsilon_{\text{feas}}, \epsilon_{\text{opt}}\)。
  2. For \(k = 0, 1, 2, \dots\) do：
    a. 构建凸近似函数 \(\tilde{f}_k(x)\) 和线性化约束 \(\tilde{c}_i^k(x)\)。
    b. 求解信赖域屏障子问题，得试探点 \(x_{k+1}^{\text{temp}}\)。
    c. 若需要，执行反射步骤得 \(x_{k+1}\)。
    d. 计算实际下降与预测下降比率 \(\rho_k\)。
    e. 更新信赖域半径 \(\Delta_{k+1}\) 和屏障参数 \(\mu_{k+1}\)。
    f. 若满足停止准则（如 \(\|\nabla L(x_k, \lambda_k)\| \leq \epsilon_{\text{opt}}\) 且 \(\eta_k \leq \epsilon_{\text{feas}}\)），退出。
  3. 输出 \(x_k\) 为近似最优解。

7. 收敛性保证关键点

  • 凸近似子问题保证每一步可解，且屏障函数确保迭代点严格满足不等式约束（近似意义下）。
  • 信赖域机制控制近似误差，当 \(\rho_k\) 持续较小时，半径缩小迫使近似更局部，保证最终收敛。
  • 自适应屏障参数在可行性与最优性间平衡：先降低约束违反，再逼近最优。
  • 反射步骤防止迭代点脱离可行域，尤其在非线性等式约束较强时。

8. 适用场景与优势
该混合算法适用于目标非光滑、约束非凸的工程优化问题（如信号处理、机械设计）。优势在于：SCA处理非凸性，信赖域控制精度，自适应屏障维持可行性，反射增强鲁棒性。复杂度在于每步需求解一个凸子问题，但可通过内点法高效实现。

非线性规划中的序列凸近似信赖域反射-自适应屏障混合算法进阶题 题目描述 ： 考虑一个带非线性等式和不等式约束的非凸、非光滑优化问题： \[ \begin{aligned} \min_ {x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & c_ i(x) = 0, \quad i \in \mathcal{E}, \\ & c_ i(x) \leq 0, \quad i \in \mathcal{I}, \end{aligned} \] 其中目标函数 \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) 非凸且可能非光滑（例如包含 \( \ell_ 1 \) 范数项），等式约束集 \( \mathcal{E} \) 和不等式约束集 \( \mathcal{I} \) 均为有限集，约束函数 \( c_ i(x) \) 非线性且光滑。该算法需结合序列凸近似（SCA）、信赖域反射（Trust Region Reflection）、自适应屏障（Adaptive Barrier）三种技术，在每步迭代中构建局部凸近似子问题，利用信赖域控制近似精度，并通过自适应屏障函数处理约束可行性，保证迭代点始终严格可行或稳定收敛到可行域。请详细解释该混合算法的设计步骤、关键公式与收敛机制。 解题过程循序渐进讲解 ： 1. 问题重构与屏障函数引入 为处理不等式约束，引入对数屏障函数将原问题转化为一系列无约束子问题。对每个 \( \mu > 0 \)，定义屏障问题： \[ \min_ {x} \quad \phi_ \mu(x) := f(x) - \mu \sum_ {i \in \mathcal{I}} \ln(-c_ i(x)), \quad \text{s.t. } c_ i(x) = 0, \, i \in \mathcal{E}. \] 屏障参数 \( \mu \) 在算法中自适应更新：初始 \( \mu_ 0 > 0 \)，随着迭代减小（\( \mu_ {k+1} = \gamma \mu_ k, \, \gamma \in (0,1) \)），使得解逐渐逼近原问题的最优解。 2. 序列凸近似（SCA）框架 在第 \( k \) 步，给定当前迭代点 \( x_ k \)，对目标和约束进行凸近似： 对非光滑目标 \( f(x) \)，若可分解为 \( f(x) = g(x) + h(x) \)，其中 \( g \) 光滑凸、\( h \) 非光滑凸（如 \( \ell_ 1 \) 范数），则对 \( g \) 作一阶凸近似，\( h \) 保持不变： \[ \tilde{f}_ k(x) = g(x_ k) + \nabla g(x_ k)^\top (x - x_ k) + \frac{1}{2} (x - x_ k)^\top H_ k (x - x_ k) + h(x), \] 其中 \( H_ k \) 为对称正定矩阵（拟牛顿近似Hessian），保证子问题凸性。 对等式约束 \( c_ i(x) = 0 \) 和不等式约束 \( c_ i(x) \leq 0 \)，在 \( x_ k \) 处线性化： \[ \tilde{c}_ i^k(x) = c_ i(x_ k) + \nabla c_ i(x_ k)^\top (x - x_ k). \] 3. 自适应屏障与信赖域反射子问题 将凸近似函数代入屏障问题，得到第 \( k \) 步的子问题： \[ \begin{aligned} \min_ {x} \quad & \tilde{\phi}_ \mu^k(x) := \tilde{f} k(x) - \mu_ k \sum {i \in \mathcal{I}} \ln(-\tilde{c}_ i^k(x)) \\ \text{s.t.} \quad & \tilde{c}_ i^k(x) = 0, \quad i \in \mathcal{E}, \\ & \tilde{c}_ i^k(x) < 0, \quad i \in \mathcal{I}, \\ & \|x - x_ k\| \leq \Delta_ k, \end{aligned} \] 其中 \( \Delta_ k > 0 \) 是信赖域半径，控制近似误差；约束 \( \tilde{c}_ i^k(x) < 0 \) 确保屏障函数有定义。子问题为凸优化，可用内点法快速求解。 4. 自适应更新策略 屏障参数更新 ：若当前子问题求解后，约束违反度 \( \eta_ k = \sum_ {i \in \mathcal{E}} |c_ i(x_ k)| + \sum_ {i \in \mathcal{I}} \max(0, c_ i(x_ k)) \) 小于阈值 \( \epsilon_ {\text{feas}} \)，则减小 \( \mu_ k \)（乘以 \( \gamma \)）；否则保持 \( \mu_ k \) 不变，优先降低可行性误差。 信赖域半径更新 ：定义实际下降量 \( \text{Ared} k = \phi {\mu_ k}(x_ k) - \phi_ {\mu_ k}(x_ {k+1}) \) 与预测下降量 \( \text{Pred} k = \tilde{\phi} {\mu_ k}^k(x_ k) - \tilde{\phi} {\mu_ k}^k(x {k+1}) \)，计算比率 \( \rho_ k = \frac{\text{Ared}_ k}{\text{Pred}_ k} \)。 若 \( \rho_ k \geq \eta_ 1 \)（如 \( \eta_ 1 = 0.75 \)），近似效果好，扩大信赖域：\( \Delta_ {k+1} = \min(\tau_ 1 \Delta_ k, \Delta_ {\max}) \)。 若 \( \rho_ k < \eta_ 2 \)（如 \( \eta_ 2 = 0.25 \)），近似效果差，缩小信赖域：\( \Delta_ {k+1} = \tau_ 2 \Delta_ k \)。 否则保持 \( \Delta_ {k+1} = \Delta_ k \)。 其中 \( 0 < \tau_ 2 < 1 < \tau_ 1 \)，\( \Delta_ {\max} \) 为最大半径。 5. 反射步骤（Trust Region Reflection） 当子问题解导致约束违反时，采用反射技术调整迭代点。对近似线性约束 \( \tilde{c} i^k(x) = 0 \)，若求解后得到 \( x {k+1}^{\text{temp}} \) 使得 \( |\tilde{c} i^k(x {k+1}^{\text{temp}})| > \delta \)，则进行反射投影： \[ x_ {k+1} = x_ {k+1}^{\text{temp}} - A^\top (A A^\top)^{-1} (A x_ {k+1}^{\text{temp}} - b), \] 其中 \( A \) 为等式约束的雅可比矩阵，\( b = -A x_ k \)（来自线性化约束）。该步骤将点拉回到近似可行域，保证后续屏障函数有效。 6. 算法流程概览 初始化 \( x_ 0, \mu_ 0, \Delta_ 0 \)，设定参数 \( \gamma, \eta_ 1, \eta_ 2, \tau_ 1, \tau_ 2, \epsilon_ {\text{feas}}, \epsilon_ {\text{opt}} \)。 For \( k = 0, 1, 2, \dots \) do： a. 构建凸近似函数 \( \tilde{f} k(x) \) 和线性化约束 \( \tilde{c} i^k(x) \)。 b. 求解信赖域屏障子问题，得试探点 \( x {k+1}^{\text{temp}} \)。 c. 若需要，执行反射步骤得 \( x {k+1} \)。 d. 计算实际下降与预测下降比率 \( \rho_ k \)。 e. 更新信赖域半径 \( \Delta_ {k+1} \) 和屏障参数 \( \mu_ {k+1} \)。 f. 若满足停止准则（如 \( \|\nabla L(x_ k, \lambda_ k)\| \leq \epsilon_ {\text{opt}} \) 且 \( \eta_ k \leq \epsilon_ {\text{feas}} \)），退出。 输出 \( x_ k \) 为近似最优解。 7. 收敛性保证关键点 凸近似子问题保证每一步可解，且屏障函数确保迭代点严格满足不等式约束（近似意义下）。 信赖域机制控制近似误差，当 \( \rho_ k \) 持续较小时，半径缩小迫使近似更局部，保证最终收敛。 自适应屏障参数在可行性与最优性间平衡：先降低约束违反，再逼近最优。 反射步骤防止迭代点脱离可行域，尤其在非线性等式约束较强时。 8. 适用场景与优势 该混合算法适用于目标非光滑、约束非凸的工程优化问题（如信号处理、机械设计）。优势在于：SCA处理非凸性，信赖域控制精度，自适应屏障维持可行性，反射增强鲁棒性。复杂度在于每步需求解一个凸子问题，但可通过内点法高效实现。