非线性规划中的自适应屏障-信赖域-序列二次规划混合算法进阶题：处理具有非光滑、非凸目标与高维、稀疏不等式约束的大规模优化问题
字数 5454 2025-12-22 09:11:19

非线性规划中的自适应屏障-信赖域-序列二次规划混合算法进阶题：处理具有非光滑、非凸目标与高维、稀疏不等式约束的大规模优化问题

题目描述

考虑以下大规模非线性规划问题：

\[\min_{x \in \mathbb{R}^n} f(x) \]

\[ \text{s.t.} \quad c_i(x) \le 0, \quad i = 1, 2, \ldots, m \]

其中：

  1. 目标函数 \(f(x)\) 是非光滑且非凸的。例如，它可能包含 \(L_1\) 范数项（如 \(f(x) = g(x) + \lambda \|x\|_1\)，其中 \(g(x)\) 光滑但非凸），或分段线性函数。其梯度在部分点处不连续或不存在，但可以计算其次梯度 (Subgradient) 或近似梯度 (Approximate Gradient)。
  2. 约束函数 \(c_i(x)\) 是光滑的，但可能非凸。约束数量 \(m\) 非常大（如 \(m \sim 10^5\)），但其雅可比矩阵 (Jacobian matrix) 是稀疏的，即每个约束仅依赖于少数变量。
  3. 问题的维度 \(n\) 也很大（如 \(n \sim 10^4\) 或更高），但决策变量 \(x\) 本身可能是稠密的。
  4. 目标是非光滑和非凸的，因此传统基于梯度的算法（如标准序列二次规划SQP）可能失效或收敛缓慢。约束是高维且稀疏的，需要高效处理以避免计算和存储瓶颈。

解题过程

我们将采用一种混合算法框架，核心思想是内点法（屏障函数）+ 信赖域（Trust Region）+ 序列二次规划（SQP），并引入自适应机制来处理非光滑性和高维稀疏性。算法称为自适应屏障-信赖域-序列二次规划 (Adaptive Barrier-Trust Region-SQP, ABTR-SQP) 混合算法。

步骤一：将不等式约束问题转化为屏障问题

为了处理大量不等式约束，我们使用对数屏障函数 (Log-Barrier Function) 将其吸收到目标中，将原约束问题转化为一系列无约束（或仅有简单边界约束）的子问题。屏障参数 \(\mu_k > 0\) 会逐渐减小。

屏障子问题定义为：

\[\min_{x \in \mathbb{R}^n} \phi_{\mu_k}(x) := f(x) - \mu_k \sum_{i=1}^{m} \ln(-c_i(x)) \]

其中，\(\ln(-c_i(x))\) 要求 \(c_i(x) < 0\)，即 \(x\) 严格满足原始约束（内点）。当 \(\mu_k \to 0\) 时，屏障问题的解应趋近于原问题的解。

为什么这样做？
屏障法天然地将大量不等式约束转换成了目标函数中的一个光滑可微的惩罚项（对数项），从而在迭代过程中能自动保持可行性（内点），并利用约束的稀疏性（通过约束函数 \(c_i(x)\) 的结构）来高效计算对数项的梯度和Hessian。

步骤二：处理非光滑目标函数 \(f(x)\)

由于 \(f(x)\) 非光滑，\(\phi_{\mu_k}(x)\) 也可能在某些点不可微。我们采用光滑化 (Smoothing) 或近似梯度 (Approximate Gradient) 技巧。

  • 光滑化示例：如果 \(f(x) = g(x) + \lambda \|x\|_1\)，其中 \(\|x\|_1 = \sum_{j=1}^n |x_j|\) 是非光滑的。我们可以用可微的Huber函数或log-sum-exp函数来近似绝对值函数。例如，用 \(|x_j| \approx \sqrt{x_j^2 + \epsilon^2}\)，其中 \(\epsilon > 0\) 是一个小参数。这样，得到的光滑近似目标记为 \(\tilde{f}(x; \epsilon)\)，其梯度存在。
  • 近似梯度：如果无法或不宜光滑化，我们可以在迭代点 \(x_k\) 处计算 \(f\) 的一个次梯度 \(g_k \in \partial f(x_k)\)，并将其作为梯度的一种近似用于后续的二次规划子问题构建。

本算法采用光滑化策略，得到光滑的近似屏障函数：

\[\tilde{\phi}_{\mu_k, \epsilon_k}(x) := \tilde{f}(x; \epsilon_k) - \mu_k \sum_{i=1}^{m} \ln(-c_i(x)) \]

其中光滑化参数 \(\epsilon_k\) 和屏障参数 \(\mu_k\) 都将自适应更新。

步骤三：构建序列二次规划 (SQP) 子问题

在每次迭代点 \(x_k\) 处，我们对光滑近似屏障函数 \(\tilde{\phi}_{\mu_k, \epsilon_k}(x)\) 进行二次近似，形成一个二次规划 (QP) 子问题，用于计算搜索方向 \(d\)。

  1. 计算梯度：

\[ g_k := \nabla \tilde{\phi}_{\mu_k, \epsilon_k}(x_k) = \nabla \tilde{f}(x_k; \epsilon_k) - \mu_k \sum_{i=1}^{m} \frac{1}{-c_i(x_k)} \nabla c_i(x_k) \]

注意求和项可以利用约束的稀疏性高效计算。

  1. 构建近似Hessian矩阵 \(B_k\)：
    由于 \(n\) 很大，精确计算Hessian矩阵 \(\nabla^2 \tilde{\phi}_{\mu_k, \epsilon_k}(x_k)\) 代价太高。我们使用拟牛顿法 (Quasi-Newton Method)，特别是L-BFGS (Limited-memory BFGS) 更新公式，来构造一个正定（或至少保证在信赖域内具有下降性质）的近似矩阵 \(B_k \approx \nabla^2 \tilde{\phi}_{\mu_k, \epsilon_k}(x_k)\)。L-BFGS只存储最近几步的梯度和位移信息，内存占用为 \(O(n \times \text{memory})\)，适合大规模问题。

  2. 定义QP子问题：

\[ \min_{d \in \mathbb{R}^n} q_k(d) := g_k^T d + \frac{1}{2} d^T B_k d \]

\[ \text{s.t.} \quad \|d\| \le \Delta_k, \quad c_i(x_k) + \nabla c_i(x_k)^T d \le -\eta_k, \quad i \in \mathcal{A}_k \]

这里有两个关键部分：
*   **信赖域约束** $\|d\| \le \Delta_k$：限制步长大小，确保二次模型 $q_k(d)$ 是原函数 $\tilde{\phi}_{\mu_k, \epsilon_k}(x_k+d)$ 的可靠近似。范数 $\|\cdot\|$ 通常取为 $l_2$ 范数。
*   **积极集线性化约束**：并非对所有 $m$ 个约束都进行线性化，而是只对**积极集 (Active Set)** $\mathcal{A}_k$ 中的约束进行。积极集通常定义为接近边界的约束索引，例如 $\mathcal{A}_k = \{ i : c_i(x_k) \ge -\tau \}$，其中 $\tau > 0$ 是一个阈值。$\eta_k > 0$ 是一个小的**可行性松弛量 (Feasibility Relaxation)**，防止线性化约束过于严格导致子问题不可行。约束的稀疏性意味着每个 $\nabla c_i(x_k)$ 是稀疏向量，可以高效处理。

步骤四：求解QP子问题与自适应更新

  1. 求解QP：这是一个中等规模（决策变量 \(d\) 维度为 \(n\)，但约束仅为 \(|\mathcal{A}_k| + 1\) 个，且 \(|\mathcal{A}_k| \ll m\)）的凸QP问题。可以使用内点法或积极集法求解，利用其特殊结构（信赖域球约束+稀疏线性不等式）来提高效率。

  2. 计算实际下降与预测下降：
    令 \(d_k\) 为QP子问题的解。计算：

    • 实际下降：\(Ared_k = \tilde{\phi}_{\mu_k, \epsilon_k}(x_k) - \tilde{\phi}_{\mu_k, \epsilon_k}(x_k + d_k)\)
    • 预测下降：\(Pred_k = q_k(0) - q_k(d_k) = -g_k^T d_k - \frac{1}{2} d_k^T B_k d_k\)

  3. 信赖域半径更新：
    计算比值 \(\rho_k = Ared_k / Pred_k\)。

    • 如果 \(\rho_k\) 接近1（例如>0.75），说明二次模型拟合很好，可以增大信赖域半径：\(\Delta_{k+1} = \min(2\Delta_k, \Delta_{\max})\)。
    • 如果 \(\rho_k\) 较小但为正（例如在0.1到0.75之间），说明模型尚可，保持 \(\Delta_{k+1} = \Delta_k\)。
    • 如果 \(\rho_k\) 很小或为负（例如<0.1），说明模型拟合很差，拒绝这一步 (\(x_{k+1} = x_k\))，并缩小信赖域半径：\(\Delta_{k+1} = 0.5\Delta_k\)，然后返回步骤三用更小的 \(\Delta_k\) 重新求解QP。

  4. 参数自适应更新：

    • 屏障参数 \(\mu_k\)：如果迭代成功（即 \(\rho_k > \eta_1 > 0\)），则按规则减小屏障参数，例如 \(\mu_{k+1} = \sigma_\mu \mu_k\)，其中 \(0 < \sigma_\mu < 1\)（如0.2）。这迫使迭代点更接近原始问题的边界。
    • 光滑化参数 \(\epsilon_k\)：如果迭代成功，且当前点的最优性条件（如KKT残差）满足一定精度，可以尝试减小 \(\epsilon_{k+1} = \sigma_\epsilon \epsilon_k\)（如 \(\sigma_\epsilon=0.5\)），使近似目标 \(\tilde{f}\) 更接近原始非光滑目标 \(f\)。如果减小后导致收敛困难（如 \(\rho_k\) 急剧下降），则恢复之前的 \(\epsilon_k\) 并推迟下一次减小。

步骤五：迭代与收敛判断

  1. 更新迭代点：如果步长被接受，则 \(x_{k+1} = x_k + d_k\)。
  2. 更新拟牛顿矩阵：利用位移 \(s_k = x_{k+1} - x_k\) 和梯度差 \(y_k = \nabla \tilde{\phi}_{\mu_{k+1}, \epsilon_{k+1}}(x_{k+1}) - \nabla \tilde{\phi}_{\mu_k, \epsilon_k}(x_k)\)，按照L-BFGS公式更新 \(B_k\) 为 \(B_{k+1}\)。
  3. 收敛判断：检查以下停止准则（需结合原始问题）：
    • 屏障项影响：\(\mu_k \sum_{i=1}^{m} |1/(-c_i(x_k))|\) 是否足够小？
    • 原始可行性：\(\max(0, c_i(x_k))\) 的最大值是否小于容差 \(\epsilon_{\text{feas}}\)？
    • 原始目标梯度：对 \(f(x)\) 的（次）梯度投影到积极约束的零空间后的范数是否足够小？对于屏障法，一个实用的准则是检查对偶间隙 (Duality Gap) 的估计值 \(m \mu_k\) 是否小于给定容差。
      如果满足，则算法终止，输出 \(x_k\) 作为近似最优解。

算法总结与特点

  1. 屏障函数：内点处理，自动满足可行性，适合大量不等式约束，其对数项的梯度和Hessian计算可以利用约束稀疏性。
  2. 光滑化：处理非光滑目标，使其在子问题中可微。
  3. 序列二次规划 (SQP) 框架：在光滑近似问题上应用SQP，快速收敛。
  4. 信赖域 (Trust Region)：控制步长，保证模型的可靠性，特别是处理非凸和非精确Hessian近似时。
  5. L-BFGS拟牛顿法：高效近似Hessian，适合大规模变量。
  6. 积极集策略：只线性化临近积极的约束，极大减少每个QP子问题的约束规模，利用稀疏性。
  7. 参数自适应更新：\(\mu_k\) 和 \(\epsilon_k\) 根据迭代表现自适应减小，平衡可行性、最优性和近似精度。

这个混合算法结合了内点法、SQP、信赖域、拟牛顿和积极集等多种技术的优点，通过自适应机制协调，专门设计用于求解目标非光滑非凸、约束高维稀疏的大规模非线性规划问题。

非线性规划中的自适应屏障-信赖域-序列二次规划混合算法进阶题：处理具有非光滑、非凸目标与高维、稀疏不等式约束的大规模优化问题 题目描述 考虑以下大规模非线性规划问题： \[ \min_ {x \in \mathbb{R}^n} f(x) \] \[ \text{s.t.} \quad c_ i(x) \le 0, \quad i = 1, 2, \ldots, m \] 其中： 目标函数 \(f(x)\) 是 非光滑 且 非凸 的。例如，它可能包含 \(L_ 1\) 范数项（如 \(f(x) = g(x) + \lambda \|x\|_ 1\)，其中 \(g(x)\) 光滑但非凸），或分段线性函数。其梯度在部分点处不连续或不存在，但可以计算其 次梯度 (Subgradient) 或 近似梯度 (Approximate Gradient) 。 约束函数 \(c_ i(x)\) 是 光滑 的，但可能 非凸 。约束数量 \(m\) 非常大（如 \(m \sim 10^5\)），但其 雅可比矩阵 (Jacobian matrix) 是 稀疏 的，即每个约束仅依赖于少数变量。 问题的维度 \(n\) 也很大（如 \(n \sim 10^4\) 或更高），但决策变量 \(x\) 本身可能是稠密的。 目标是非光滑和非凸的，因此传统基于梯度的算法（如标准序列二次规划SQP）可能失效或收敛缓慢。约束是高维且稀疏的，需要高效处理以避免计算和存储瓶颈。 解题过程 我们将采用一种混合算法框架，核心思想是 内点法（屏障函数）+ 信赖域（Trust Region）+ 序列二次规划（SQP） ，并引入自适应机制来处理非光滑性和高维稀疏性。算法称为 自适应屏障-信赖域-序列二次规划 (Adaptive Barrier-Trust Region-SQP, ABTR-SQP) 混合算法。 步骤一：将不等式约束问题转化为屏障问题 为了处理大量不等式约束，我们使用 对数屏障函数 (Log-Barrier Function) 将其吸收到目标中，将原约束问题转化为一系列无约束（或仅有简单边界约束）的子问题。屏障参数 \(\mu_ k > 0\) 会逐渐减小。 屏障子问题定义为： \[ \min_ {x \in \mathbb{R}^n} \phi_ {\mu_ k}(x) := f(x) - \mu_ k \sum_ {i=1}^{m} \ln(-c_ i(x)) \] 其中，\(\ln(-c_ i(x))\) 要求 \(c_ i(x) < 0\)，即 \(x\) 严格满足原始约束（内点）。当 \(\mu_ k \to 0\) 时，屏障问题的解应趋近于原问题的解。 为什么这样做？ 屏障法天然地将大量不等式约束转换成了目标函数中的一个光滑可微的惩罚项（对数项），从而在迭代过程中能自动保持可行性（内点），并利用约束的稀疏性（通过约束函数 \(c_ i(x)\) 的结构）来高效计算对数项的梯度和Hessian。 步骤二：处理非光滑目标函数 \(f(x)\) 由于 \(f(x)\) 非光滑，\(\phi_ {\mu_ k}(x)\) 也可能在某些点不可微。我们采用 光滑化 (Smoothing) 或 近似梯度 (Approximate Gradient) 技巧。 光滑化示例 ：如果 \(f(x) = g(x) + \lambda \|x\|_ 1\)，其中 \(\|x\| 1 = \sum {j=1}^n |x_ j|\) 是非光滑的。我们可以用可微的Huber函数或log-sum-exp函数来近似绝对值函数。例如，用 \(|x_ j| \approx \sqrt{x_ j^2 + \epsilon^2}\)，其中 \(\epsilon > 0\) 是一个小参数。这样，得到的光滑近似目标记为 \(\tilde{f}(x; \epsilon)\)，其梯度存在。 近似梯度 ：如果无法或不宜光滑化，我们可以在迭代点 \(x_ k\) 处计算 \(f\) 的一个 次梯度 \(g_ k \in \partial f(x_ k)\)，并将其作为梯度的一种近似用于后续的二次规划子问题构建。 本算法采用光滑化策略，得到光滑的近似屏障函数： \[ \tilde{\phi} {\mu_ k, \epsilon_ k}(x) := \tilde{f}(x; \epsilon_ k) - \mu_ k \sum {i=1}^{m} \ln(-c_ i(x)) \] 其中光滑化参数 \(\epsilon_ k\) 和屏障参数 \(\mu_ k\) 都将自适应更新。 步骤三：构建序列二次规划 (SQP) 子问题 在每次迭代点 \(x_ k\) 处，我们对光滑近似屏障函数 \(\tilde{\phi}_ {\mu_ k, \epsilon_ k}(x)\) 进行二次近似，形成一个 二次规划 (QP) 子问题，用于计算搜索方向 \(d\)。 计算梯度 ： \[ g_ k := \nabla \tilde{\phi} {\mu_ k, \epsilon_ k}(x_ k) = \nabla \tilde{f}(x_ k; \epsilon_ k) - \mu_ k \sum {i=1}^{m} \frac{1}{-c_ i(x_ k)} \nabla c_ i(x_ k) \] 注意求和项可以利用约束的稀疏性高效计算。 构建近似Hessian矩阵 \(B_ k\)： 由于 \(n\) 很大，精确计算Hessian矩阵 \(\nabla^2 \tilde{\phi} {\mu_ k, \epsilon_ k}(x_ k)\) 代价太高。我们使用 拟牛顿法 (Quasi-Newton Method) ，特别是 L-BFGS (Limited-memory BFGS) 更新公式，来构造一个正定（或至少保证在信赖域内具有下降性质）的近似矩阵 \(B_ k \approx \nabla^2 \tilde{\phi} {\mu_ k, \epsilon_ k}(x_ k)\)。L-BFGS只存储最近几步的梯度和位移信息，内存占用为 \(O(n \times \text{memory})\)，适合大规模问题。 定义QP子问题 ： \[ \min_ {d \in \mathbb{R}^n} q_ k(d) := g_ k^T d + \frac{1}{2} d^T B_ k d \] \[ \text{s.t.} \quad \|d\| \le \Delta_ k, \quad c_ i(x_ k) + \nabla c_ i(x_ k)^T d \le -\eta_ k, \quad i \in \mathcal{A}_ k \] 这里有两个关键部分： 信赖域约束 \(\|d\| \le \Delta_ k\)：限制步长大小，确保二次模型 \(q_ k(d)\) 是原函数 \(\tilde{\phi}_ {\mu_ k, \epsilon_ k}(x_ k+d)\) 的可靠近似。范数 \(\|\cdot\|\) 通常取为 \(l_ 2\) 范数。 积极集线性化约束 ：并非对所有 \(m\) 个约束都进行线性化，而是只对 积极集 (Active Set) \(\mathcal{A}_ k\) 中的约束进行。积极集通常定义为接近边界的约束索引，例如 \(\mathcal{A}_ k = \{ i : c_ i(x_ k) \ge -\tau \}\)，其中 \(\tau > 0\) 是一个阈值。\(\eta_ k > 0\) 是一个小的 可行性松弛量 (Feasibility Relaxation) ，防止线性化约束过于严格导致子问题不可行。约束的稀疏性意味着每个 \(\nabla c_ i(x_ k)\) 是稀疏向量，可以高效处理。 步骤四：求解QP子问题与自适应更新 求解QP ：这是一个中等规模（决策变量 \(d\) 维度为 \(n\)，但约束仅为 \(|\mathcal{A}_ k| + 1\) 个，且 \(|\mathcal{A}_ k| \ll m\)）的凸QP问题。可以使用 内点法 或 积极集法 求解，利用其特殊结构（信赖域球约束+稀疏线性不等式）来提高效率。 计算实际下降与预测下降 ： 令 \(d_ k\) 为QP子问题的解。计算： 实际下降 ：\(Ared_ k = \tilde{\phi} {\mu_ k, \epsilon_ k}(x_ k) - \tilde{\phi} {\mu_ k, \epsilon_ k}(x_ k + d_ k)\) 预测下降 ：\(Pred_ k = q_ k(0) - q_ k(d_ k) = -g_ k^T d_ k - \frac{1}{2} d_ k^T B_ k d_ k\) 信赖域半径更新 ： 计算比值 \(\rho_ k = Ared_ k / Pred_ k\)。 如果 \(\rho_ k\) 接近1（例如>0.75），说明二次模型拟合很好，可以 增大 信赖域半径：\(\Delta_ {k+1} = \min(2\Delta_ k, \Delta_ {\max})\)。 如果 \(\rho_ k\) 较小但为正（例如在0.1到0.75之间），说明模型尚可， 保持 \(\Delta_ {k+1} = \Delta_ k\)。 如果 \(\rho_ k\) 很小或为负（例如<0.1），说明模型拟合很差， 拒绝这一步 (\(x_ {k+1} = x_ k\))，并 缩小 信赖域半径：\(\Delta_ {k+1} = 0.5\Delta_ k\)，然后返回步骤三用更小的 \(\Delta_ k\) 重新求解QP。 参数自适应更新 ： 屏障参数 \(\mu_ k\)：如果迭代成功（即 \(\rho_ k > \eta_ 1 > 0\)），则按规则减小屏障参数，例如 \(\mu_ {k+1} = \sigma_ \mu \mu_ k\)，其中 \(0 < \sigma_ \mu < 1\)（如0.2）。这迫使迭代点更接近原始问题的边界。 光滑化参数 \(\epsilon_ k\)：如果迭代成功，且当前点的最优性条件（如KKT残差）满足一定精度，可以尝试减小 \(\epsilon_ {k+1} = \sigma_ \epsilon \epsilon_ k\)（如 \(\sigma_ \epsilon=0.5\)），使近似目标 \(\tilde{f}\) 更接近原始非光滑目标 \(f\)。如果减小后导致收敛困难（如 \(\rho_ k\) 急剧下降），则恢复之前的 \(\epsilon_ k\) 并推迟下一次减小。 步骤五：迭代与收敛判断 更新迭代点 ：如果步长被接受，则 \(x_ {k+1} = x_ k + d_ k\)。 更新拟牛顿矩阵 ：利用位移 \(s_ k = x_ {k+1} - x_ k\) 和梯度差 \(y_ k = \nabla \tilde{\phi} {\mu {k+1}, \epsilon_ {k+1}}(x_ {k+1}) - \nabla \tilde{\phi} {\mu_ k, \epsilon_ k}(x_ k)\)，按照L-BFGS公式更新 \(B_ k\) 为 \(B {k+1}\)。 收敛判断 ：检查以下停止准则（需结合原始问题）： 屏障项影响 ：\(\mu_ k \sum_ {i=1}^{m} |1/(-c_ i(x_ k))|\) 是否足够小？ 原始可行性 ：\(\max(0, c_ i(x_ k))\) 的最大值是否小于容差 \(\epsilon_ {\text{feas}}\)？ 原始目标梯度 ：对 \(f(x)\) 的（次）梯度投影到积极约束的零空间后的范数是否足够小？对于屏障法，一个实用的准则是检查 对偶间隙 (Duality Gap) 的估计值 \(m \mu_ k\) 是否小于给定容差。 如果满足，则算法终止，输出 \(x_ k\) 作为近似最优解。 算法总结与特点 屏障函数 ：内点处理，自动满足可行性，适合大量不等式约束，其对数项的梯度和Hessian计算可以利用约束稀疏性。 光滑化 ：处理非光滑目标，使其在子问题中可微。 序列二次规划 (SQP) 框架 ：在光滑近似问题上应用SQP，快速收敛。 信赖域 (Trust Region) ：控制步长，保证模型的可靠性，特别是处理非凸和非精确Hessian近似时。 L-BFGS拟牛顿法 ：高效近似Hessian，适合大规模变量。 积极集策略 ：只线性化临近积极的约束，极大减少每个QP子问题的约束规模，利用稀疏性。 参数自适应更新 ：\(\mu_ k\) 和 \(\epsilon_ k\) 根据迭代表现自适应减小，平衡可行性、最优性和近似精度。 这个混合算法结合了内点法、SQP、信赖域、拟牛顿和积极集等多种技术的优点，通过自适应机制协调，专门设计用于求解目标非光滑非凸、约束高维稀疏的大规模非线性规划问题。