高斯-埃尔米特求积公式的权重与节点计算
题目描述
高斯-埃尔米特求积公式用于计算形如 \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) \, dx\) 的积分，其一般形式为：
\[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i), \]
其中 \(x_i\) 是 \(n\) 次埃尔米特多项式 \(H_n(x)\) 的根（称为求积节点），\(w_i\) 是对应的权重。要求推导 \(n=2\) 时的具体节点和权重值，并验证公式对三次多项式精确成立。
解题过程
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理解公式基础
- 高斯型求积公式的节点是正交多项式的根。对于权重函数 \(e^{-x^2}\)，对应的正交多项式是埃尔米特多项式 \(H_n(x)\)。
- 当 \(n=2\) 时，需使用 \(H_2(x)\) 的根作为节点。
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计算埃尔米特多项式 \(H_2(x)\) 的根
- 埃尔米特多项式的递推公式为：
\[ H_0(x) = 1, \quad H_1(x) = 2x, \quad H_{n+1}(x) = 2xH_n(x) - 2nH_{n-1}(x). \]
- 计算 \(H_2(x)\)：
\[ H_2(x) = 2x \cdot H_1(x) - 2 \cdot 1 \cdot H_0(x) = 2x \cdot (2x) - 2 \cdot 1 = 4x^2 - 2. \]
- 解方程 \(H_2(x) = 0\)：
\[ 4x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}. \]
- 节点为：
\[ x_1 = -\frac{1}{\sqrt{2}}, \quad x_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}. \]
- 计算权重 \(w_1, w_2\)
- 权重公式为：
\[ w_i = \frac{2^{n-1} n! \sqrt{\pi}}{n^2 [H_{n-1}(x_i)]^2}. \]
- 当 \(n=2\) 时：
\[ w_i = \frac{2^{1} \cdot 2! \cdot \sqrt{\pi}}{2^2 [H_1(x_i)]^2} = \frac{2 \cdot 2 \cdot \sqrt{\pi}}{4 [H_1(x_i)]^2} = \frac{\sqrt{\pi}}{[H_1(x_i)]^2}. \]
- 计算 \(H_1(x_i)\)：
- 对于 \(x_1 = -1/\sqrt{2}\)，\(H_1(x_1) = 2 \cdot (-1/\sqrt{2}) = -\sqrt{2}\)。
- 对于 \(x_2 = 1/\sqrt{2}\)，\(H_1(x_2) = \sqrt{2}\)。
- 因此：
\[ w_1 = \frac{\sqrt{\pi}}{(-\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}, \quad w_2 = \frac{\sqrt{\pi}}{(\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}. \]
- 权重相同：\(w_1 = w_2 = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\)。
- 验证对三次多项式精确成立
- 高斯型公式具有 \(2n-1\) 次代数精度。当 \(n=2\) 时，应能精确积分次数 \(\leq 3\) 的多项式。
- 以 \(f(x) = x^3\) 为例，验证左右两边相等：
- 左边精确积分：
\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \cdot x^3 \, dx = 0 \quad（奇函数在对称区间积分）。 \]
- 右边求积公式：
\[ \sum_{i=1}^2 w_i f(x_i) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \left[\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3\right] = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \left[-\frac{1}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{2}}\right] = 0. \]
- 两边结果一致，验证通过。
总结
- 对于 \(n=2\) 的高斯-埃尔米特求积公式，节点为 \(\pm 1/\sqrt{2}\)，权重均为 \(\sqrt{\pi}/2\)。
- 该公式能精确积分三次多项式，符合理论预期。实际应用中，可通过查表或数值方法获取更高阶的节点和权重。