好的，我们开始一个新题目。

线性动态规划：交错字符串

题目描述

给定三个字符串 s1, s2 和 s3。你需要判断 s3 是否可以由 s1 和 s2 交错 组成。交错的定义是：保持 s1 和 s2 中每个字符的原有相对顺序，将它们混合在一起。

示例 1:

输入: s1 = “aabcc”, s2 = “dbbca”, s3 = “aadbbcbcac”
输出: true
解释: 交错方式是：s1中的 “a” + s1中的 “a” + s2中的 “d” + s1中的 “b” + s2中的 “b” + s1中的 “c” + s2中的 “c” + s1中的 “c”。
      即：aa d b b c c a c (用空格分隔只是为了显示s1和s2的来源，实际字符串是连续的)

示例 2:

输入: s1 = “aabcc”, s2 = “dbbca”, s3 = “aadbbbaccc”
输出: false

解题过程循序渐进讲解

这是一个经典的二维线性动态规划问题。我们的目标是判断能否用 s1 和 s2 “编织” 出 s3，关键在于保持每个原字符串内部的字符顺序。

第一步：定义状态

我们定义一个二维布尔数组 dp[i][j]，其含义如下：

• i 表示从 s1 中已经使用了前 i 个字符（索引从 1 开始计数，i 的范围是 0 到 len(s1)）。
• j 表示从 s2 中已经使用了前 j 个字符。
• dp[i][j] 表示：能否由 s1 的前 i 个字符和 s2 的前 j 个字符，交错组成 s3 的前 (i+j) 个字符。

dp[0][0] 表示两个空字符串能否交错组成空字符串，显然是 true。

第二步：状态转移方程

我们如何计算 dp[i][j] 呢？s3 的前 (i+j) 个字符的最后一个字符，要么来自 s1 的第 i 个字符，要么来自 s2 的第 j 个字符（如果 i 或 j 为 0，则只能来自其中一个）。

1. 来自 s1：

   • 前提条件：i > 0（s1还有字符可用）。
   • 逻辑判断：s1[i-1]（因为字符串索引从0开始）必须等于 s3[i+j-1]（s3的前(i+j)个字符的最后一个）。
   • 如果这个字符来自s1，那么dp[i][j] 的真假就取决于：能否由 s1 的前 (i-1) 个字符和 s2 的前 j 个字符组成 s3 的前 (i+j-1) 个字符，也就是 dp[i-1][j]。

2. 来自 s2：

   • 前提条件：j > 0。
   • 逻辑判断：s2[j-1] 必须等于 s3[i+j-1]。
   • 如果这个字符来自s2，那么dp[i][j] 的真假就取决于：能否由 s1 的前 i 个字符和 s2 的前 (j-1) 个字符组成 s3 的前 (i+j-1) 个字符，也就是 dp[i][j-1]。

dp[i][j] 为真的条件是：来自s1或来自s2的两种情况，只要有一种成立即可。

因此，状态转移方程为：

如果 i > 0 且 s1[i-1] == s3[i+j-1]： 情况1 = dp[i-1][j]
如果 j > 0 且 s2[j-1] == s3[i+j-1]： 情况2 = dp[i][j-1]
dp[i][j] = 情况1 OR 情况2

（当 i 和 j 都为0时，是一种特殊情况，初始化为 true）

第三步：初始化

我们需要初始化第一行和第一列，这代表了只用其中一个字符串去匹配 s3 的前缀。

• dp[0][j]：表示只用 s2 的前 j 个字符去匹配 s3 的前 j 个字符。只有当 s2 的前 j 个字符完全等于 s3 的前 j 个字符时，才为 true。
  • dp[0][0] = true（两个空字符串匹配空字符串）。
  • 对于 j >= 1：dp[0][j] = dp[0][j-1] && (s2[j-1] == s3[j-1])。意思是，前 j-1 个字符已经能匹配上，并且第 j 个字符也相等。
• dp[i][0]：表示只用 s1 的前 i 个字符去匹配 s3 的前 i 个字符。逻辑类似：
  • dp[i][0] = dp[i-1][0] && (s1[i-1] == s3[i-1])

第四步：计算顺序

我们的状态 dp[i][j] 依赖于它左边 dp[i][j-1] 和上方 dp[i-1][j] 的值。
因此，计算顺序应该是：从左到右，从上到下地遍历这个二维表格。外层循环遍历 i（0到len(s1)），内层循环遍历 j（0到len(s2)）。

第五步：最终结果

我们最终想知道，能否用 s1 的全部（len(s1) 个字符）和 s2 的全部（len(s2) 个字符）交错组成 s3 的全部（len(s3) = len(s1)+len(s2) 个字符）。
所以，答案就是 dp[len(s1)][len(s2)]。

让我们通过一个简单的例子来走一遍流程

s1 = “a”, s2 = “b”, s3 = “ab”
长度：len1 = 1, len2 = 1, len3 = 2

1. 初始化 dp 表，大小为 (len1+1) x (len2+1) = 2 x 2。

   • dp[0][0] = true
   • 第一行 dp[0][1]：只用s2的前1个字符”b”去匹配s3的前1个字符”a”，’b’ != ‘a’，所以 dp[0][1] = false。
   • 第一列 dp[1][0]：只用s1的前1个字符”a”去匹配s3的前1个字符”a”，’a’ == ‘a’，且 dp[0][0] = true，所以 dp[1][0] = true。

   初始 dp 表：

       “”  “b”
   “”  T    F
   “a” T    ?
   

2. 计算 dp[1][1]：

   • i=1, j=1。 s3[i+j-1] = s3[1] = ‘b’
   • 情况1（来自s1）：i>0成立，s1[0] = ‘a’ 不等于 ’b’，此路不通。
   • 情况2（来自s2）：j>0成立，s2[0] = ‘b’ 等于 ’b’，需要看 dp[1][0]，其值为 true。所以此路通。
   • dp[1][1] = true OR false = true

   最终 dp 表：

       “”  “b”
   “”  T    F
   “a” T    T
   

3. 结果：dp[1][1] = true，所以 s3 = “ab” 可以由 s1 = “a” 和 s2 = “b” 交错组成。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(m * n)，其中 m 和 n 分别是 s1 和 s2 的长度。我们需要填充一个 (m+1) x (n+1) 的 DP 表。
• 空间复杂度：O(m * n)，即 DP 表所占用的空间。可以优化到 O(min(m, n))，即使用一维数组进行滚动更新。

核心思想总结
这个问题的核心在于设计 dp[i][j] 这个状态，它精准地描述了“前 i 个字符和前 j 个字符能交错组成前 (i+j) 个字符”这个子问题。状态转移则非常直观地模拟了交错的过程：最后一个字符要么来自 s1，要么来自 s2，只要有一种来源能匹配上 s3 的对应字符，并且剩下的部分也满足交错条件即可。通过从空串开始逐步增加字符，我们最终判断出整个字符串是否满足条件。