基于差分进化-自适应罚函数混合算法求解带复杂约束的非线性规划问题
字数 4276 2025-12-22 07:15:43

基于差分进化-自适应罚函数混合算法求解带复杂约束的非线性规划问题

问题描述

我们考虑一个具有复杂非线性、非凸约束的连续优化问题。这类问题常见于工程设计中，如参数优化、形状优化等。问题的标准形式为：

\[\begin{aligned} \min_{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n} \quad & f(\mathbf{x}) \\ \text{s.t.} \quad & g_i(\mathbf{x}) \leq 0, \quad i = 1, \dots, m \\ & h_j(\mathbf{x}) = 0, \quad j = 1, \dots, p \\ & \mathbf{x}^L \leq \mathbf{x} \leq \mathbf{x}^U \end{aligned} \]

具体算例：压力容器设计优化
目标是最小化一个圆柱形压力容器的总制造成本，其设计变量为：

  • \(x_1\)：壳体厚度（\(T_s\)），单位：英寸
  • \(x_2\)：封头厚度（\(T_h\)），单位：英寸
  • \(x_3\)：内半径（\(R\)），单位：英寸
  • \(x_4\)：圆柱段长度（\(L\)），单位：英寸

目标函数（成本）为：

\[f(\mathbf{x}) = 0.6224 x_1 x_3 x_4 + 1.7781 x_2 x_3^2 + 3.1661 x_1^2 x_4 + 19.84 x_1^2 x_3 \]

约束条件包括：

  1. 壁厚约束：

\[ g_1(\mathbf{x}) = 0.0193 x_3 - x_1 \leq 0 \]

\[ g_2(\mathbf{x}) = 0.00954 x_3 - x_2 \leq 0 \]

  1. 体积约束（必须容纳特定体积 \(V_0 = 750 \times 1728 \, \text{in}^3\)）：

\[ h_1(\mathbf{x}) = \frac{4}{3} \pi x_3^3 + \pi x_3^2 x_4 - V_0 = 0 \]

  1. 尺寸范围（边界约束）：

\[ 1 \leq x_1, x_2 \leq 1.375, \quad 25 \leq x_3 \leq 150, \quad 25 \leq x_4 \leq 240 \]

这个问题的特点是：目标函数和约束都是非线性的，等式约束 \(h_1\) 高度非线性，且定义域相对较大，容易陷入局部最优解。

解题方法概述

对于这类问题，差分进化（Differential Evolution, DE） 作为一种高效的全局优化算法，常被用来探索解空间。然而，标准DE无法直接处理约束。因此，我们引入 自适应罚函数法（Adaptive Penalty Function Method），将其与DE结合，形成 DE-APF混合算法。其核心思想是：将约束违反度以动态调整的惩罚系数加入目标函数，构造一个无约束的惩罚问题，然后用DE进行求解。

解题步骤详解

步骤1：构造自适应罚函数

我们定义约束违反度函数。对于不等式约束和等式约束，分别计算违反度：

\[\Phi(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^{m} \max(0, g_i(\mathbf{x})) + \sum_{j=1}^{p} |h_j(\mathbf{x})| \]

对于压力容器问题：

\[\Phi(\mathbf{x}) = \max(0, 0.0193x_3 - x_1) + \max(0, 0.00954x_3 - x_2) + \left| \frac{4}{3} \pi x_3^3 + \pi x_3^2 x_4 - V_0 \right| \]

构造惩罚函数：

\[P(\mathbf{x}; \lambda, \mu) = f(\mathbf{x}) + \lambda \cdot \Phi(\mathbf{x}) + \mu \cdot \Phi(\mathbf{x})^2 \]

这里，\(\lambda\) 和 \(\mu\) 是惩罚系数。自适应体现在：初始时 \(\lambda\) 和 \(\mu\) 取较小值（如 \(\lambda=1, \mu=1\)），允许算法在早期探索一些不可行区域。随着迭代进行，如果种群中可行解比例过低，则增加 \(\lambda\) 和 \(\mu\)（例如乘以一个大于1的因子），迫使搜索向可行域靠拢；如果可行解比例足够高，则适度减小惩罚系数，以更精细地优化目标函数。

步骤2：差分进化算法框架

DE是一种基于种群的随机搜索算法，通过“变异”、“交叉”、“选择”操作进化种群。我们采用经典DE/rand/1/bin方案。

  1. 初始化：

    • 种群大小 \(NP\)（例如50）。
    • 每个个体 \(\mathbf{x}_i\) 是一个四维向量 \((x_1, x_2, x_3, x_4)\)，在变量上下界内随机均匀生成。
    • 设置缩放因子 \(F\)（通常取0.5）和交叉概率 \(CR\)（通常取0.9）。

  2. 迭代过程（对于每一代）：
    a. 变异：对于每个目标个体 \(\mathbf{x}_i\)，随机选择三个互不相同的个体 \(\mathbf{x}_{r1}, \mathbf{x}_{r2}, \mathbf{x}_{r3}\)，生成变异向量：

\[ \mathbf{v}_i = \mathbf{x}_{r1} + F \cdot (\mathbf{x}_{r2} - \mathbf{x}_{r3}) \]

  确保 $ \mathbf{v}_i $ 各分量在边界内（若越界，则进行反射或重置为边界值）。

b. 交叉：生成试验向量 \(\mathbf{u}_i\)。
- 对每一维 \(j\)，生成随机数 \(rand \in [0,1]\)。
- 如果 \(rand \leq CR\) 或 \(j = j_{rand}\)（随机选择的维度索引），则 \(u_{i,j} = v_{i,j}\)；否则 \(u_{i,j} = x_{i,j}\)。

c. 选择：计算当前个体 \(\mathbf{x}_i\) 和试验个体 \(\mathbf{u}_i\) 的惩罚函数值 \(P(\mathbf{x}_i)\) 和 \(P(\mathbf{u}_i)\)。
- 如果 \(P(\mathbf{u}_i) \leq P(\mathbf{x}_i)\)，则用 \(\mathbf{u}_i\) 替换 \(\mathbf{x}_i\) 进入下一代；否则保留 \(\mathbf{x}_i\)。

步骤3：自适应调整惩罚系数

在每代结束时，统计当前种群中满足所有约束（即 \(\Phi(\mathbf{x}) = 0\)）的个体比例 \(\rho_{\text{feas}}\)。

  • 如果 \(\rho_{\text{feas}} < \rho_{\text{target}}\)（例如目标比例设为0.2），说明可行解太少，需要加强惩罚：

\[ \lambda \leftarrow \lambda \cdot \alpha, \quad \mu \leftarrow \mu \cdot \alpha, \quad \alpha > 1 \text{（如 } \alpha=1.2\text{）} \]

  • 如果 \(\rho_{\text{feas}} \geq \rho_{\text{target}}\)，且已连续若干代可行比例较高，可以适当放松惩罚以更好地优化目标：

\[ \lambda \leftarrow \lambda / \beta, \quad \mu \leftarrow \mu / \beta, \quad \beta > 1 \text{（如 } \beta=1.1\text{）} \]

注意，\(\lambda\) 和 \(\mu\) 应有下限（如 \(10^{-6}\)）以避免数值问题。

步骤4：算法终止与结果输出

终止条件通常包括：

  • 达到最大迭代次数（如500代）。
  • 最优个体的惩罚函数值在连续多代内变化小于容忍度（如 \(10^{-6}\)）。
  • 种群中所有个体的约束违反度平均值小于某个阈值（如 \(10^{-4}\)）。

输出最终种群中可行且惩罚函数值最小的个体作为最优解。

算例求解过程示意（简化版迭代）

假设初始种群随机生成，初始 \(\lambda=1, \mu=1\)。

  1. 第1代：计算所有个体的 \(f\) 和 \(\Phi\)，发现只有少数个体满足等式约束 \(h_1 \approx 0\)，\(\rho_{\text{feas}}\) 很低（如0.05）。因此增大惩罚系数：\(\lambda=1.2, \mu=1.2\)。

  2. 第50代：经过多代进化，种群逐渐向可行域移动。\(\rho_{\text{feas}}\) 上升至0.25。此时保持或轻微减小惩罚系数，以允许在可行域内精细搜索。

  3. 第200代：\(\rho_{\text{feas}}\) 稳定在0.3以上。最优解趋于稳定，例如得到：

\[ \mathbf{x}^* \approx (1.125, 0.625, 58.29, 43.69) \]

对应成本 \(f^* \approx 7197.73\)，所有约束满足（\(\Phi \approx 0\)）。

算法特点与总结

  • 全局性：DE的变异和交叉操作能有效探索整个搜索空间，避免陷入局部最优。
  • 适应性：自适应罚函数免去了手动调节惩罚系数的麻烦，能根据搜索过程动态平衡目标函数优化和约束满足。
  • 适用性：该方法不依赖于梯度信息，适用于目标或约束不可导、高度非线性的问题。

通过将差分进化的全局搜索能力与自适应罚函数的约束处理能力相结合，该混合算法能够有效求解此类带复杂非线性约束的工程优化问题。

基于差分进化-自适应罚函数混合算法求解带复杂约束的非线性规划问题 问题描述 我们考虑一个具有复杂非线性、非凸约束的连续优化问题。这类问题常见于工程设计中，如参数优化、形状优化等。问题的标准形式为： \[ \begin{aligned} \min_ {\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n} \quad & f(\mathbf{x}) \\ \text{s.t.} \quad & g_ i(\mathbf{x}) \leq 0, \quad i = 1, \dots, m \\ & h_ j(\mathbf{x}) = 0, \quad j = 1, \dots, p \\ & \mathbf{x}^L \leq \mathbf{x} \leq \mathbf{x}^U \end{aligned} \] 具体算例：压力容器设计优化 目标是最小化一个圆柱形压力容器的总制造成本，其设计变量为： \( x_ 1 \)：壳体厚度（\( T_ s \)），单位：英寸 \( x_ 2 \)：封头厚度（\( T_ h \)），单位：英寸 \( x_ 3 \)：内半径（\( R \)），单位：英寸 \( x_ 4 \)：圆柱段长度（\( L \)），单位：英寸 目标函数（成本）为： \[ f(\mathbf{x}) = 0.6224 x_ 1 x_ 3 x_ 4 + 1.7781 x_ 2 x_ 3^2 + 3.1661 x_ 1^2 x_ 4 + 19.84 x_ 1^2 x_ 3 \] 约束条件包括： 壁厚约束： \[ g_ 1(\mathbf{x}) = 0.0193 x_ 3 - x_ 1 \leq 0 \] \[ g_ 2(\mathbf{x}) = 0.00954 x_ 3 - x_ 2 \leq 0 \] 体积约束（必须容纳特定体积 \( V_ 0 = 750 \times 1728 \, \text{in}^3 \)）： \[ h_ 1(\mathbf{x}) = \frac{4}{3} \pi x_ 3^3 + \pi x_ 3^2 x_ 4 - V_ 0 = 0 \] 尺寸范围（边界约束）： \[ 1 \leq x_ 1, x_ 2 \leq 1.375, \quad 25 \leq x_ 3 \leq 150, \quad 25 \leq x_ 4 \leq 240 \] 这个问题的特点是：目标函数和约束都是非线性的，等式约束 \( h_ 1 \) 高度非线性，且定义域相对较大，容易陷入局部最优解。 解题方法概述 对于这类问题， 差分进化（Differential Evolution, DE） 作为一种高效的全局优化算法，常被用来探索解空间。然而，标准DE无法直接处理约束。因此，我们引入 自适应罚函数法（Adaptive Penalty Function Method） ，将其与DE结合，形成 DE-APF混合算法 。其核心思想是：将约束违反度以动态调整的惩罚系数加入目标函数，构造一个无约束的惩罚问题，然后用DE进行求解。 解题步骤详解 步骤1：构造自适应罚函数 我们定义约束违反度函数。对于不等式约束和等式约束，分别计算违反度： \[ \Phi(\mathbf{x}) = \sum_ {i=1}^{m} \max(0, g_ i(\mathbf{x})) + \sum_ {j=1}^{p} |h_ j(\mathbf{x})| \] 对于压力容器问题： \[ \Phi(\mathbf{x}) = \max(0, 0.0193x_ 3 - x_ 1) + \max(0, 0.00954x_ 3 - x_ 2) + \left| \frac{4}{3} \pi x_ 3^3 + \pi x_ 3^2 x_ 4 - V_ 0 \right| \] 构造惩罚函数： \[ P(\mathbf{x}; \lambda, \mu) = f(\mathbf{x}) + \lambda \cdot \Phi(\mathbf{x}) + \mu \cdot \Phi(\mathbf{x})^2 \] 这里，\( \lambda \) 和 \( \mu \) 是惩罚系数。 自适应 体现在：初始时 \( \lambda \) 和 \( \mu \) 取较小值（如 \( \lambda=1, \mu=1 \)），允许算法在早期探索一些不可行区域。随着迭代进行，如果种群中可行解比例过低，则增加 \( \lambda \) 和 \( \mu \)（例如乘以一个大于1的因子），迫使搜索向可行域靠拢；如果可行解比例足够高，则适度减小惩罚系数，以更精细地优化目标函数。 步骤2：差分进化算法框架 DE是一种基于种群的随机搜索算法，通过“变异”、“交叉”、“选择”操作进化种群。我们采用经典DE/rand/1/bin方案。 初始化 ： 种群大小 \( NP \)（例如50）。 每个个体 \( \mathbf{x}_ i \) 是一个四维向量 \( (x_ 1, x_ 2, x_ 3, x_ 4) \)，在变量上下界内随机均匀生成。 设置缩放因子 \( F \)（通常取0.5）和交叉概率 \( CR \)（通常取0.9）。 迭代过程（对于每一代） ： a. 变异 ：对于每个目标个体 \( \mathbf{x} i \)，随机选择三个互不相同的个体 \( \mathbf{x} {r1}, \mathbf{x} {r2}, \mathbf{x} {r3} \)，生成变异向量： \[ \mathbf{v} i = \mathbf{x} {r1} + F \cdot (\mathbf{x} {r2} - \mathbf{x} {r3}) \] 确保 \( \mathbf{v}_ i \) 各分量在边界内（若越界，则进行反射或重置为边界值）。 b. 交叉 ：生成试验向量 \( \mathbf{u}_ i \)。 对每一维 \( j \)，生成随机数 \( rand \in [ 0,1 ] \)。 如果 \( rand \leq CR \) 或 \( j = j_ {rand} \)（随机选择的维度索引），则 \( u_ {i,j} = v_ {i,j} \)；否则 \( u_ {i,j} = x_ {i,j} \)。 c. 选择 ：计算当前个体 \( \mathbf{x}_ i \) 和试验个体 \( \mathbf{u}_ i \) 的惩罚函数值 \( P(\mathbf{x}_ i) \) 和 \( P(\mathbf{u}_ i) \)。 如果 \( P(\mathbf{u}_ i) \leq P(\mathbf{x}_ i) \)，则用 \( \mathbf{u}_ i \) 替换 \( \mathbf{x}_ i \) 进入下一代；否则保留 \( \mathbf{x}_ i \)。 步骤3：自适应调整惩罚系数 在每代结束时，统计当前种群中满足所有约束（即 \( \Phi(\mathbf{x}) = 0 \)）的个体比例 \( \rho_ {\text{feas}} \)。 如果 \( \rho_ {\text{feas}} < \rho_ {\text{target}} \)（例如目标比例设为0.2），说明可行解太少，需要加强惩罚： \[ \lambda \leftarrow \lambda \cdot \alpha, \quad \mu \leftarrow \mu \cdot \alpha, \quad \alpha > 1 \text{（如 } \alpha=1.2\text{）} \] 如果 \( \rho_ {\text{feas}} \geq \rho_ {\text{target}} \)，且已连续若干代可行比例较高，可以适当放松惩罚以更好地优化目标： \[ \lambda \leftarrow \lambda / \beta, \quad \mu \leftarrow \mu / \beta, \quad \beta > 1 \text{（如 } \beta=1.1\text{）} \] 注意，\( \lambda \) 和 \( \mu \) 应有下限（如 \( 10^{-6} \)）以避免数值问题。 步骤4：算法终止与结果输出 终止条件通常包括： 达到最大迭代次数（如500代）。 最优个体的惩罚函数值在连续多代内变化小于容忍度（如 \( 10^{-6} \)）。 种群中所有个体的约束违反度平均值小于某个阈值（如 \( 10^{-4} \)）。 输出最终种群中可行且惩罚函数值最小的个体作为最优解。 算例求解过程示意（简化版迭代） 假设初始种群随机生成，初始 \( \lambda=1, \mu=1 \)。 第1代 ：计算所有个体的 \( f \) 和 \( \Phi \)，发现只有少数个体满足等式约束 \( h_ 1 \approx 0 \)，\( \rho_ {\text{feas}} \) 很低（如0.05）。因此增大惩罚系数：\( \lambda=1.2, \mu=1.2 \)。 第50代 ：经过多代进化，种群逐渐向可行域移动。\( \rho_ {\text{feas}} \) 上升至0.25。此时保持或轻微减小惩罚系数，以允许在可行域内精细搜索。 第200代 ：\( \rho_ {\text{feas}} \) 稳定在0.3以上。最优解趋于稳定，例如得到： \[ \mathbf{x}^* \approx (1.125, 0.625, 58.29, 43.69) \] 对应成本 \( f^* \approx 7197.73 \)，所有约束满足（\( \Phi \approx 0 \)）。 算法特点与总结 全局性 ：DE的变异和交叉操作能有效探索整个搜索空间，避免陷入局部最优。 适应性 ：自适应罚函数免去了手动调节惩罚系数的麻烦，能根据搜索过程动态平衡目标函数优化和约束满足。 适用性 ：该方法不依赖于梯度信息，适用于目标或约束不可导、高度非线性的问题。 通过将差分进化的全局搜索能力与自适应罚函数的约束处理能力相结合，该混合算法能够有效求解此类带复杂非线性约束的工程优化问题。