非线性规划中的投影梯度法进阶题：处理带线性等式与不等式约束的非凸优化问题
1. 问题描述
假设我们有一个非线性规划问题，其目标函数非凸，约束条件包括线性等式和不等式。具体形式如下：
最小化 \(f(x)\)
约束条件：
\[Ax = b \quad \text{(线性等式约束)} \]
\[ Cx \leq d \quad \text{(线性不等式约束)} \]
其中：
- \(x \in \mathbb{R}^n\) 是决策变量。
- \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是一个连续可微但非凸的函数。
- \(A \in \mathbb{R}^{m \times n}\) ( \(m < n\) )， \(b \in \mathbb{R}^m\)。
- \(C \in \mathbb{R}^{p \times n}\)， \(d \in \mathbb{R}^p\)。
可行域为 \(\Omega = \{ x \in \mathbb{R}^n : Ax = b, \, Cx \leq d \}\)，它是一个凸多面体（由线性约束定义）。投影梯度法的核心思想是在每步迭代中，先沿着负梯度方向移动，然后将得到的新点投影回可行域 \(\Omega\)。
本进阶题要求：详细阐述如何设计一个有效的投影梯度法来求解上述问题，重点解决投影步骤的计算、步长的选择策略（特别是在非凸情形下保证收敛），并简要分析方法的收敛性质。
2. 解题过程详解
步骤 1: 理解投影梯度法的基本框架
投影梯度法是解决约束优化问题的一种迭代方法，适用于约束集为凸集的情况。其基本迭代格式为：
\[x^{(k+1)} = P_{\Omega} \left( x^{(k)} - \alpha_k \nabla f(x^{(k)}) \right) \]
其中：
- \(\alpha_k > 0\) 是第 \(k\) 步的步长。
- \(P_{\Omega}(y)\) 表示将点 \(y\) 投影到可行域 \(\Omega\) 上的运算，即：
\[ P_{\Omega}(y) = \arg\min_{z \in \Omega} \| z - y \|^2 \]
- \(\nabla f(x^{(k)})\) 是目标函数在 \(x^{(k)}\) 处的梯度。
对于线性约束构成的凸多面体 \(\Omega\)，投影 \(P_{\Omega}(y)\) 本身是一个凸二次规划问题。
步骤 2: 投影子问题的求解
给定一个点 \(y \in \mathbb{R}^n\)，计算 \(P_{\Omega}(y)\) 等价于求解：
\[\begin{aligned} \min_{z} & \quad \frac{1}{2} \| z - y \|^2 \\ \text{s.t.} & \quad A z = b, \\ & \quad C z \leq d. \end{aligned} \]
这是一个凸二次规划问题，因为目标函数是强凸的二次函数，约束是线性的。
求解方法：
- 积极集方法：由于问题规模可能较大，且每次迭代都需要投影，可以采用积极集法来高效求解。其思想是识别在解处起作用的约束（等式约束和活跃的不等式约束），然后在由这些约束定义的仿射子空间上求解无约束最小二乘问题。
- 内点法：也可以使用专门针对二次规划的内点法，尤其是当 \(n\) 和 \(p\) 都很大时。
- 利用问题结构：如果 \(A\) 是行满秩且易于处理（例如，具有特殊结构如分块对角），投影可以部分解析化。例如，可以先投影到等式约束定义的仿射子空间 \(\{ x: Ax = b \}\) 上，然后再处理不等式约束，但这通常需要迭代过程。
在实际算法实现中，通常使用现成的凸二次规划求解器（如基于内点法或积极集法的库）来计算投影，因为它可靠且高效。
步骤 3: 步长选择策略
步长 \(\alpha_k\) 的选择对投影梯度法的收敛至关重要，尤其是在目标函数非凸时。常用策略有：
-
固定步长：
- 如果 \(\nabla f\) 是 Lipschitz 连续的，常数为 \(L\)，则固定步长 \(\alpha_k \equiv \alpha \in (0, 2/L)\) 可以保证目标函数值下降（对于凸问题保证收敛）。但在非凸情况下，固定步长可能陷入局部极小点，且 Lipschitz 常数 \(L\) 可能未知或难以估计。
-
精确线搜索：
- 在投影射线 \(\{ P_{\Omega}(x^{(k)} - \alpha \nabla f(x^{(k)})) : \alpha > 0 \}\) 上精确最小化 \(f\) 通常计算代价太高，因为每次尝试都需要投影。
-
回溯线搜索（Armijo 准则）：
- 这是最常用的自适应步长策略。给定参数 \(\beta \in (0,1)\) 和 \(\sigma \in (0,1)\)。
- 从初始步长 \(\bar{\alpha}\)（例如，使用 Barzilai-Borwein 步长估计或前一步的步长）开始。
- 检查下降条件： 令 \(d^{(k)} = P_{\Omega}(x^{(k)} - \bar{\alpha} \nabla f(x^{(k)})) - x^{(k)}\) 为候选更新方向。不断缩小步长 \(\alpha = \beta^j \bar{\alpha}\) (\(j=0,1,2,\dots\))，直到满足 Armijo 条件：
\[ f(x^{(k)} + \alpha d^{(k)}) \leq f(x^{(k)}) + \sigma \alpha \nabla f(x^{(k)})^\top d^{(k)} \]
注意：$ x^{(k)} + \alpha d^{(k)} $ 是沿投影方向的点，它不一定在 $ \Omega $ 中，但搜索是在从 $ x^{(k)} $ 到投影点的线段上进行的。由于 $ \Omega $ 是凸集，该线段完全在 $ \Omega $ 内，因此迭代点始终保持可行性。
- 优点： 保证每次迭代目标函数值充分下降，有助于逃离一些非凸的平坦区域。
- Barzilai-Borwein (BB) 步长：
- BB步长是一种非单调步长选择，对于大规模问题常常很有效。其公式为：
\[ \alpha_k^{\text{BB1}} = \frac{s_{k-1}^\top s_{k-1}}{s_{k-1}^\top y_{k-1}} \quad \text{或} \quad \alpha_k^{\text{BB2}} = \frac{s_{k-1}^\top y_{k-1}}{y_{k-1}^\top y_{k-1}} \]
其中 $ s_{k-1} = x^{(k)} - x^{(k-1)} $， $ y_{k-1} = \nabla f(x^{(k)}) - \nabla f(x^{(k-1)}) $。
- 在投影梯度法中，可以将 BB 步长作为回溯线搜索的初始猜测 \(\bar{\alpha}\)，结合一定的安全边界（如确保 \(\alpha_k\) 在一个区间 \([\alpha_{\min}, \alpha_{\max}]\) 内）。
对于非凸问题，推荐使用带有回溯线搜索的自适应步长，因为它能保证全局收敛到一个稳定点（梯度投影为零的点），同时具有一定程度的适应性以避免过早停滞。
步骤 4: 算法完整流程
- 初始化： 选取初始点 \(x^{(0)} \in \Omega\)，设置容忍误差 \(\epsilon > 0\)，参数 \(\beta \in (0,1)\)， \(\sigma \in (0, 0.5)\)，最大迭代次数 \(K_{\max}\)。
- For \(k = 0, 1, 2, \dots\)：
- 计算梯度 \(g_k = \nabla f(x^{(k)})\)。
- 判定收敛： 计算梯度映射 \(G(x^{(k)}) = \frac{1}{\alpha_k} (x^{(k)} - P_{\Omega}(x^{(k)} - \alpha_k g_k))\)。实际上，更简单的收敛判据是检查 \(\| x^{(k)} - P_{\Omega}(x^{(k)} - g_k) \| \leq \epsilon\)（即使用 \(\alpha = 1\) 的投影残差）。若满足，则停止迭代，输出 \(x^{(k)}\) 作为近似稳定点。
- 步长选择：
a. 估计初始步长 \(\bar{\alpha}_k\)（例如，采用 BB 步长或保持前一步步长）。
b. 进行回溯线搜索：令 \(\alpha = \bar{\alpha}_k\)。
while (Armijo 条件不满足)：
\(\alpha := \beta \alpha\)
end while - 投影与更新：
\[ x^{(k+1)} = P_{\Omega} \left( x^{(k)} - \alpha g_k \right) \]
- 如果迭代次数达到 \(K_{\max}\)，则终止。
- 输出： 最终迭代点 \(x^*\)。
步骤 5: 收敛性分析
对于非凸但连续可微的 \(f\)，以及闭凸可行域 \(\Omega\)，上述投影梯度法（采用回溯线搜索）具有以下收敛性质：
- 全局收敛： 在适当条件下（例如，\(f\) 下有界，梯度 Lipschitz 连续在 \(\Omega\) 上或局部），算法产生的序列 \(\{ x^{(k)} \}\) 的任何极限点都是稳定点（即满足一阶最优性条件： \(\nabla f(x^*)^\top (y - x^*) \geq 0, \, \forall y \in \Omega\)）。对于线性约束，这等价于存在拉格朗日乘子 \(\lambda, \mu \geq 0\) 使得 KKT 条件成立。
- 收敛速率： 对于非凸问题，通常只能证明子线性收敛速率（如 \(O(1/k)\) 的目标函数值下降），除非在稳定点附近满足某些更强的性质（如 Kurdyka-Łojasiewicz 性质），才可能获得线性或更快的局部收敛。
关键点： 投影步骤的精确性会影响收敛性。在实际计算中，只要投影子问题的求解精度足够高（例如，达到与 \(\epsilon\) 可比或更高的精度），上述理论收敛性仍然近似成立。
3. 总结
在本进阶题中，我们详细描述了使用投影梯度法求解带线性等式与不等式约束的非凸优化问题的完整过程。核心要点包括：
- 将每次迭代分解为梯度步和投影步。
- 投影步等价于一个凸二次规划问题，可用积极集法或内点法求解。
- 步长选择采用回溯线搜索（Armijo准则），确保在非凸情形下也能单调下降并全局收敛到稳定点。
- 算法简单易实现，适合大规模线性约束问题，但收敛速度可能较慢，且对于高度非凸的函数可能收敛到局部极小点。
通过以上步骤，你可以实现一个鲁棒的投影梯度法求解器来处理此类问题。