多边形三角剖分的最低得分问题 题目描述 给定一个凸多边形，其顶点按顺时针顺序编号为0, 1, 2, ..., n-1（n >= 3）。每个顶点有一个权重值，表示一个数值。将多边形三角剖分，即通过不相交的对角线将多边形划分为n-2个三角形。每个三角形的得分是三个顶点权重的乘积。三角剖分的总得分是所有三角形得分之和。要求找出一个三角剖分方案，使得总得分最小。 解题思路 这是一个经典的区间动态规划问题。我们可以将多边形看作一个顶点环。定义dp[ i][ j]表示从顶点i到顶点j（按顺时针方向，包含i和j）的连续多边形（即由顶点i, i+1, ..., j组成的多边形）进行三角剖分所能得到的最小总得分。我们的目标是求解dp[ 0][ n-1 ]。 关键点 ：对于多边形i->i+1->...->j，我们选择一条边(i, j)作为基边，然后选择一个顶点k（i < k < j），将多边形划分为三个部分： 一个三角形 (i, k, j) 一个多边形 i->i+1->...->k 一个多边形 k->k+1->...->j 这样，原问题的最小得分就等于三角形(i, k, j)的得分，加上两个子多边形各自的最小得分之和。我们需要遍历所有可能的k，找到使得总得分最小的那个划分。 状态转移方程 dp[ i][ j] = min( dp[ i][ k] + dp[ k][ j] + weights[ i] * weights[ k] * weights[ j ] )，其中k从i+1遍历到j-1。 边界条件 ：当多边形只有两个顶点（即一条边）时，无法形成三角形，得分为0。即当j - i <= 1时，dp[ i][ j ] = 0。 解题步骤 问题分析 ：明确目标是求凸多边形三角剖分的最小得分。理解得分计算规则（三角形三顶点权重乘积之和）。 定义dp数组 ：dp[ i][ j]表示从顶点i到顶点j（顺时针方向）的连续多边形的最小三角剖分得分。i和j是顶点索引，0 <= i < j < n。 确定边界条件 ：对于所有满足 j - i <= 1 的区间[ i, j]，dp[ i][ j ] = 0。因为两个顶点无法构成三角形。 确定遍历顺序 ：由于计算dp[ i][ j ]需要用到更小的区间（即顶点数更少的多边形）的结果，我们需要按区间长度从小到大进行遍历。先遍历所有长度为2的区间（实际上边界条件已经覆盖），然后长度从3开始，直到长度等于n（即整个多边形）。 状态转移计算 ：对于每个区间[ i, j ]（长度为L）： 初始化dp[ i][ j ]为一个很大的数（例如无穷大）。 遍历所有可能的中间顶点k（i < k < j）。 计算当前划分的得分：score = dp[ i][ k] + dp[ k][ j] + weights[ i] * weights[ k] * weights[ j ]。 用score更新dp[ i][ j]的最小值：dp[ i][ j] = min(dp[ i][ j ], score)。 返回结果 ：dp[ 0][ n-1 ]即为整个多边形三角剖分的最小得分。 示例说明 假设有一个凸四边形，顶点为A(0), B(1), C(2), D(3)，权重数组为[ 1, 2, 3, 4 ]。 可能的三角剖分有两种： 连接AC：得到三角形ABC (1 2 3=6) 和三角形ACD (1 3 4=12)，总得分=6+12=18。 连接BD：得到三角形ABD (1 2 4=8) 和三角形BCD (2 3 4=24)，总得分=8+24=32。 显然，第一种剖分得分更小。 使用DP计算： 区间长度L=2: dp[ 0][ 1]=0, dp[ 1][ 2]=0, dp[ 2][ 3]=0, dp[ 0][ 2]和dp[ 1][ 3 ]在L=3时计算。 区间长度L=3（三角形）： dp[ 0][ 2]：k只能取1。得分= dp[ 0][ 1] + dp[ 1][ 2] + 1 2 3 = 0+0+6=6。 dp[ 1][ 3]：k只能取2。得分= dp[ 1][ 2] + dp[ 2][ 3] + 2 3 4 = 0+0+24=24。 区间长度L=4（四边形）： dp[ 0][ 3 ]：k可以取1或2。 k=1: 得分= dp[ 0][ 1] + dp[ 1][ 3] + 1 2 4 = 0 + 24 + 8 = 32。 k=2: 得分= dp[ 0][ 2] + dp[ 2][ 3] + 1 3 4 = 6 + 0 + 12 = 18。 dp[ 0][ 3 ] = min(32, 18) = 18。 最终结果dp[ 0][ 3 ]=18，与手动分析一致。