基于线性规划的无线传感器网络中能量感知的路由与数据汇聚联合优化问题
字数 5746 2025-12-22 05:46:51

基于线性规划的无线传感器网络中能量感知的路由与数据汇聚联合优化问题

我为你设计一个无线传感器网络(WSN)中的线性规划应用问题。这类网络由许多能量有限的传感器节点组成，它们感知环境数据并通过多跳无线通信将数据传送到一个中心基站(sink)。核心挑战是如何在路由选择和数据汇聚(Data Aggregation)策略上联合优化，以最大限度地延长整个网络的生存时间。

问题描述

假设一个无线传感器网络：

  • 包含 \(n\) 个传感器节点，编号为 \(1, 2, \dots, n\)，以及一个汇聚节点（sink），编号为 \(0\)。
  • 每个传感器 \(i\) 在每一轮数据收集中会产生 \(d_i\) 单位的数据量（例如，监测读数）。
  • 节点之间可以无线通信。我们有一个连通图 \(G = (V, E)\)，其中 \(V = \{0, 1, ..., n\}\)，边 \((i,j) \in E\) 表示节点 \(i\) 和 \(j\) 在彼此的通信范围内。
  • 数据汇聚：当两个数据流在某个中间节点相遇时，如果它们的数据来自相同的监测事件（或具有高度相关性），该节点可以对数据进行融合处理，减少需要传输的总数据量。我们假设一个简化模型：如果节点 \(k\) 接收来自多个子节点的数据并进行汇聚，则它向外转发的数据量不再是子节点数据量之和，而是经过一个汇聚因子 \(\alpha \ (0 < \alpha \le 1)\) 压缩。例如，如果它接收了 \(X\) 单位的总数据，经过汇聚后，它只向上游发送 \(\alpha X\) 单位的数据（\(\alpha=1\) 表示不汇聚）。
  • 能耗模型：节点能耗主要来自无线通信。发送和接收数据的能耗与数据量成正比。设：
    • 发送单位数据消耗的能量为 \(e_{tx}\)。
    • 接收单位数据消耗的能量为 \(e_{rx}\)。
  • 网络生存时间定义：我们考虑一个多轮数据收集周期。目标是最大化在第一个节点能量耗尽之前可以完成的数据收集轮数 \(T\)。每个节点 \(i\) 初始能量为 \(E_i\)。

目标：通过联合优化每个节点在每个数据轮中的数据接收量、数据发送量以及数据汇聚点，最大化网络的生存时间轮数 \(T\)。

解题过程：线性规划建模与求解

步骤1：关键洞察与建模思路

我们不能直接对轮数 \(T\) 进行最大化，因为路由和汇聚决策在每一轮中可能是重复的。一个经典的技巧是采用流量比例模型。我们不去决定每一轮的具体细节，而是规划一个长期的、平均的数据流模式。我们假设这个模式以恒定的速率运行，而我们的目标是最大化这个模式可持续运行的时间长度 \(T\)。

我们需要决策的变量是：

  • 每个节点从其他节点接收的数据量。
  • 每个节点向其他节点发送的数据量。
  • 每个节点自身产生的数据量是固定的 \(d_i\)。
  • 数据在节点处可以进行汇聚。

步骤2：定义决策变量

设：

  • \(f_{ij} \ge 0\)：表示从节点 \(i\) 传输到节点 \(j\) 的数据流量速率（单位/轮）。
  • \(r_i\)：表示节点 \(i\) 从所有邻居节点接收到的总数据速率（单位/轮）。
  • \(s_i\)：表示节点 \(i\) 向所有邻居节点发送的总数据速率（单位/轮）。
  • \(T\)：网络生存时间（总轮数），这是我们最终要最大化的目标。

根据流量定义，有：

\[r_i = \sum_{(j,i) \in E} f_{ji} \quad \text{(对所有 } i \in V \text{)} \]

\[ s_i = \sum_{(i,j) \in E} f_{ij} \quad \text{(对所有 } i \in V \text{)} \]

步骤3：流量守恒与数据汇聚约束

对于每个传感器节点 \(i (i=1,...,n)\)，必须满足流量守恒。节点 \(i\) 产生的数据 \(d_i\)，加上从下游接收的总数据 \(r_i\)，经过汇聚后，应等于它向上游发送的总数据 \(s_i\)。

汇聚因子 \(\alpha\) 的作用：如果节点 \(i\) 对其接收的数据和自身数据进行汇聚，则其输出数据量是输入数据量的一个压缩版本。一个通用的线性模型是：

\[s_i = d_i + \alpha \cdot r_i \]

解释：

  • \(d_i\) 是节点 \(i\) 自身产生的数据，必须被发送出去。
  • \(r_i\) 是节点 \(i\) 从子节点接收的数据。这些数据和自身数据汇聚后，体积被压缩为原来的 \(\alpha\) 倍。
  • 因此，节点 \(i\) 需要发送的总数据量 \(s_i\) 等于自身数据加上压缩后的接收数据。
  • 注意：汇聚节点（sink，节点0）是数据的目的地，它只接收数据，不发送数据，所以 \(s_0 = 0\)。对于汇聚节点，流量守恒不适用，因为它消耗数据。

步骤4：能量约束

节点 \(i\) 在一轮中的能量消耗为：接收能耗 \(e_{rx} \cdot r_i\) 加上发送能耗 \(e_{tx} \cdot s_i\)。
在总生存时间 \(T\) 轮内，总能耗不能超过初始能量 \(E_i\)：

\[(e_{rx} \cdot r_i + e_{tx} \cdot s_i) \cdot T \le E_i, \quad \forall i = 1,...,n \]

这个约束将时间 \(T\) 和流量变量 \((r_i, s_i)\) 耦合在一起。

对于汇聚节点（节点0），我们通常假设它能量充足，不施加能量约束。

步骤5：目标函数与完整线性规划模型

我们的目标是最大化生存时间 \(T\)。将能量约束改写一下，把 \(T\) 移到右边：

\[e_{rx} \cdot r_i + e_{tx} \cdot s_i \le \frac{E_i}{T}, \quad \forall i \]

但 \(T\) 在分母上，不是线性。我们可以做一个变量替换：
令 \(t = \frac{1}{T}\)，即 \(t\) 是能量消耗速率的“比例因子”的倒数。那么最大化 \(T\) 等价于最小化 \(t\)。

能量约束变为：

\[e_{rx} \cdot r_i + e_{tx} \cdot s_i \le E_i \cdot t, \quad \forall i = 1,...,n \]

现在所有约束在变量 \((f_{ij}, r_i, s_i, t)\) 上都是线性的。

完整的线性规划模型如下：

决策变量：
\(f_{ij} \ge 0 \quad \forall (i,j) \in E\)
\(r_i \ge 0, \ s_i \ge 0 \quad \forall i \in V\)
\(t \ge 0\)

目标：最小化 \(t\) （等价于最大化生存时间 \(T = 1/t\)）

约束：

  1. 流量定义：

\[ r_i = \sum_{j: (j,i) \in E} f_{ji}, \quad \forall i \in V \]

\[ s_i = \sum_{j: (i,j) \in E} f_{ij}, \quad \forall i \in V \]

  1. 流量守恒与数据汇聚（对每个传感器节点 \(i = 1,...,n\)）：

\[ s_i = d_i + \alpha \cdot r_i \]

  1. 能量约束（对每个传感器节点 \(i = 1,...,n\)）：

\[ e_{rx} \cdot r_i + e_{tx} \cdot s_i \le E_i \cdot t \]

  1. 汇聚节点：汇聚节点（0）不发送数据，只接收数据。

\[ s_0 = 0 \]

（对于节点0，流量守恒不成立，因为它消耗所有流入的数据。）

步骤6：模型求解与结果解读

  1. 求解方法：上述模型是一个标准的线性规划问题。可以使用任何LP求解器（如单纯形法、内点法）进行求解。
  2. 求解结果：
    • 最优值 \(t^*\)。网络的最大生存时间轮数 \(T^* = 1/t^*\)。
    • 最优的流量分配 \(f_{ij}^*\)。这定义了网络中长期的、平均的路由树（或汇聚树）结构。从 \(f_{ij}^* > 0\) 的边可以构建出从传感器到汇聚节点的数据传播路径。
    • 每个节点的数据接收量 \(r_i^*\) 和发送量 \(s_i^*\)。
  3. 关键节点（瓶颈）：在最优解中，至少有一个节点的能量约束是紧的（取等号）。这个节点是网络的“瓶颈”，它的能量最先耗尽，决定了网络生存时间。

举例说明（简单网络）

假设一个微型网络：

  • 节点：汇聚节点 S（0），传感器A（1），传感器B（2）。
  • 边： (A, S), (B, S), (A, B)。（全连通三角）
  • 参数： \(d_A = 2, d_B = 1\)； \(e_{tx} = 1, e_{rx} = 0.5\)； \(E_A = 100, E_B = 80\)；汇聚因子 \(\alpha = 0.8\)。
  • 目标：最大化 \(T\)。

我们根据模型建立线性规划。

定义变量：
流量： \(f_{AS}, f_{BS}, f_{AB}, f_{BA}\)。（注意 \(f_{SA}, f_{SB}\) 无意义，因为S不发送数据）
接收/发送量： \(r_A, s_A, r_B, s_B, r_S, s_S\)。
时间因子： \(t\)。

约束：

  1. 流量定义：
    \(r_A = f_{BA}\)
    \(s_A = f_{AS} + f_{AB}\)
    \(r_B = f_{AB}\)
    \(s_B = f_{BS} + f_{BA}\)
    \(r_S = f_{AS} + f_{BS}\)
    \(s_S = 0\)

  2. 流量守恒与汇聚：
    \(s_A = d_A + \alpha \cdot r_A = 2 + 0.8 f_{BA}\)
    \(s_B = d_B + \alpha \cdot r_B = 1 + 0.8 f_{AB}\)

  3. 能量约束：
    A: \(0.5 * r_A + 1 * s_A \le 100 t\) → \(0.5 f_{BA} + (2 + 0.8 f_{BA}) \le 100 t\) → \(2 + 1.3 f_{BA} \le 100 t\)
    B: \(0.5 * r_B + 1 * s_B \le 80 t\) → \(0.5 f_{AB} + (1 + 0.8 f_{AB}) \le 80 t\) → \(1 + 1.3 f_{AB} \le 80 t\)

  4. 非负：所有 \(f \ge 0, t \ge 0\)。

目标：最小化 \(t\)。

直观分析：
节点可以直接发往S，也可以通过另一个节点转发（可能利用汇聚节省流量）。

  • 如果都不转发（\(f_{AB}=f_{BA}=0\)）：
    \(s_A=2, s_B=1\)。
    A的约束：\(2 \le 100t \Rightarrow t \ge 0.02\)
    B的约束：\(1 \le 80t \Rightarrow t \ge 0.0125\)
    取更紧的A约束，\(t=0.02, T=50\)轮。
  • 如果B将数据发给A汇聚（\(f_{AB}=d_B=1, f_{BA}=0\)）：
    则 \(r_A=0, s_A=2+0.8*0=2\)
    \(r_B=1, s_B=1+0.8*1=1.8\)
    A的约束：\(2 \le 100t \Rightarrow t \ge 0.02\)
    B的约束：\(0.5*1 + 1*1.8 = 2.3 \le 80t \Rightarrow t \ge 0.02875\)
    瓶颈变为B，\(t=0.02875, T\approx 34.78\)轮，更差。
  • 如果A将数据发给B汇聚（\(f_{BA}=d_A=2, f_{AB}=0\)）：
    则 \(r_A=2, s_A=2+0.8*2=3.6\)
    \(r_B=0, s_B=1+0=1\)
    A的约束：\(0.5*2 + 1*3.6 = 4.6 \le 100t \Rightarrow t \ge 0.046\)
    B的约束：\(1 \le 80t \Rightarrow t \ge 0.0125\)
    瓶颈为B，\(t=0.046? \) 不对，检查：A的约束要求 \(t \ge 0.046\)，B的要求 \(t \ge 0.0125\)，所以A是瓶颈，\(t=0.046, T\approx 21.74\)轮，也更差。

最优解可能介于之间，需要LP求解器寻找 \(f_{AB}, f_{BA}\) 的最佳平衡，以均衡两个节点的能量消耗。

通过求解这个LP（可以使用在线LP求解器或编程），我们可以得到精确的最优 \(t^*\) 和对应的流量分配，从而最大化网络生存时间 \(T^* = 1/t^*\)。

总结

这个示例展示了如何将无线传感器网络中复杂的联合路由与数据汇聚优化问题，通过比例流量和能量约束的长期平均化，建模为一个线性规划问题。该模型的核心创新点在于：

  1. 汇聚因子的线性化：用 \(s_i = d_i + \alpha r_i\) 简洁地建模了数据压缩效应。
  2. 生存时间的转换：通过引入变量 \(t = 1/T\)，将非线性约束转化为线性约束。
  3. 全局优化：线性规划可以一次性找到所有节点的最佳数据转发/汇聚策略，平衡各节点能耗，最大化网络整体寿命。

这个方法为WSN的网络协议设计（如构建高效的汇聚树）提供了理论上的最优上界和设计指导。

基于线性规划的无线传感器网络中能量感知的路由与数据汇聚联合优化问题 我为你设计一个无线传感器网络(WSN)中的线性规划应用问题。这类网络由许多能量有限的传感器节点组成，它们感知环境数据并通过多跳无线通信将数据传送到一个中心基站(sink)。核心挑战是如何在路由选择和数据汇聚(Data Aggregation)策略上联合优化，以最大限度地延长整个网络的生存时间。 问题描述 假设一个无线传感器网络： 包含 \(n\) 个传感器节点，编号为 \(1, 2, \dots, n\)，以及一个汇聚节点（sink），编号为 \(0\)。 每个传感器 \(i\) 在每一轮数据收集中会产生 \(d_ i\) 单位的数据量（例如，监测读数）。 节点之间可以无线通信。我们有一个连通图 \(G = (V, E)\)，其中 \(V = \{0, 1, ..., n\}\)，边 \((i,j) \in E\) 表示节点 \(i\) 和 \(j\) 在彼此的通信范围内。 数据汇聚 ：当两个数据流在某个中间节点相遇时，如果它们的数据来自相同的监测事件（或具有高度相关性），该节点可以对数据进行融合处理，减少需要传输的总数据量。我们假设一个简化模型：如果节点 \(k\) 接收来自多个子节点的数据并进行汇聚，则它向外转发的数据量不再是子节点数据量之和，而是经过一个 汇聚因子 \(\alpha \ (0 < \alpha \le 1)\) 压缩。例如，如果它接收了 \(X\) 单位的总数据，经过汇聚后，它只向上游发送 \(\alpha X\) 单位的数据（\(\alpha=1\) 表示不汇聚）。 能耗模型 ：节点能耗主要来自无线通信。发送和接收数据的能耗与数据量成正比。设： 发送单位数据消耗的能量为 \(e_ {tx}\)。 接收单位数据消耗的能量为 \(e_ {rx}\)。 网络生存时间定义 ：我们考虑一个 多轮数据收集周期 。目标是最大化在 第一个节点能量耗尽之前 可以完成的数据收集轮数 \(T\)。每个节点 \(i\) 初始能量为 \(E_ i\)。 目标 ：通过联合优化每个节点在每个数据轮中的 数据接收量 、 数据发送量 以及 数据汇聚点 ，最大化网络的生存时间轮数 \(T\)。 解题过程：线性规划建模与求解 步骤1：关键洞察与建模思路 我们不能直接对轮数 \(T\) 进行最大化，因为路由和汇聚决策在每一轮中可能是重复的。一个经典的技巧是采用 流量比例模型 。我们不去决定每一轮的具体细节，而是规划一个 长期的、平均的数据流模式 。我们假设这个模式以恒定的速率运行，而我们的目标是最大化这个模式可持续运行的时间长度 \(T\)。 我们需要决策的变量是： 每个节点从其他节点 接收 的数据量。 每个节点向其他节点 发送 的数据量。 每个节点自身产生的数据量是固定的 \(d_ i\)。 数据在节点处可以进行汇聚。 步骤2：定义决策变量 设： \(f_ {ij} \ge 0\)：表示从节点 \(i\) 传输到节点 \(j\) 的 数据流量速率 （单位/轮）。 \(r_ i\)：表示节点 \(i\) 从所有邻居节点接收到的 总数据速率 （单位/轮）。 \(s_ i\)：表示节点 \(i\) 向所有邻居节点发送的 总数据速率 （单位/轮）。 \(T\)：网络生存时间（总轮数），这是我们最终要最大化的目标。 根据流量定义，有： \[ r_ i = \sum_ {(j,i) \in E} f_ {ji} \quad \text{(对所有 } i \in V \text{)} \] \[ s_ i = \sum_ {(i,j) \in E} f_ {ij} \quad \text{(对所有 } i \in V \text{)} \] 步骤3：流量守恒与数据汇聚约束 对于每个传感器节点 \(i (i=1,...,n)\)，必须满足 流量守恒 。节点 \(i\) 产生的数据 \(d_ i\)，加上从下游接收的总数据 \(r_ i\)，经过汇聚后，应等于它向上游发送的总数据 \(s_ i\)。 汇聚因子 \(\alpha\) 的作用 ：如果节点 \(i\) 对其接收的数据和自身数据进行汇聚，则其输出数据量是输入数据量的一个压缩版本。一个通用的线性模型是： \[ s_ i = d_ i + \alpha \cdot r_ i \] 解释 ： \(d_ i\) 是节点 \(i\) 自身产生的数据，必须被发送出去。 \(r_ i\) 是节点 \(i\) 从子节点接收的数据。这些数据和自身数据汇聚后，体积被压缩为原来的 \(\alpha\) 倍。 因此，节点 \(i\) 需要发送的总数据量 \(s_ i\) 等于自身数据加上压缩后的接收数据。 注意：汇聚节点（sink，节点0）是数据的目的地，它只接收数据，不发送数据，所以 \(s_ 0 = 0\)。对于汇聚节点，流量守恒不适用，因为它消耗数据。 步骤4：能量约束 节点 \(i\) 在一轮中的能量消耗为：接收能耗 \(e_ {rx} \cdot r_ i\) 加上发送能耗 \(e_ {tx} \cdot s_ i\)。 在总生存时间 \(T\) 轮内，总能耗不能超过初始能量 \(E_ i\)： \[ (e_ {rx} \cdot r_ i + e_ {tx} \cdot s_ i) \cdot T \le E_ i, \quad \forall i = 1,...,n \] 这个约束将时间 \(T\) 和流量变量 \((r_ i, s_ i)\) 耦合在一起。 对于汇聚节点（节点0），我们通常假设它能量充足，不施加能量约束。 步骤5：目标函数与完整线性规划模型 我们的目标是最大化生存时间 \(T\)。将能量约束改写一下，把 \(T\) 移到右边： \[ e_ {rx} \cdot r_ i + e_ {tx} \cdot s_ i \le \frac{E_ i}{T}, \quad \forall i \] 但 \(T\) 在分母上，不是线性。我们可以做一个 变量替换 ： 令 \(t = \frac{1}{T}\)，即 \(t\) 是能量消耗速率的“比例因子”的倒数。那么最大化 \(T\) 等价于 最小化 \(t\)。 能量约束变为： \[ e_ {rx} \cdot r_ i + e_ {tx} \cdot s_ i \le E_ i \cdot t, \quad \forall i = 1,...,n \] 现在所有约束在变量 \((f_ {ij}, r_ i, s_ i, t)\) 上都是线性的。 完整的线性规划模型 如下： 决策变量 ： \(f_ {ij} \ge 0 \quad \forall (i,j) \in E\) \(r_ i \ge 0, \ s_ i \ge 0 \quad \forall i \in V\) \(t \ge 0\) 目标 ：最小化 \(t\) （等价于最大化生存时间 \(T = 1/t\)） 约束 ： 流量定义 ： \[ r_ i = \sum_ {j: (j,i) \in E} f_ {ji}, \quad \forall i \in V \] \[ s_ i = \sum_ {j: (i,j) \in E} f_ {ij}, \quad \forall i \in V \] 流量守恒与数据汇聚 （对每个传感器节点 \(i = 1,...,n\)）： \[ s_ i = d_ i + \alpha \cdot r_ i \] 能量约束 （对每个传感器节点 \(i = 1,...,n\)）： \[ e_ {rx} \cdot r_ i + e_ {tx} \cdot s_ i \le E_ i \cdot t \] 汇聚节点 ：汇聚节点（0）不发送数据，只接收数据。 \[ s_ 0 = 0 \] （对于节点0，流量守恒不成立，因为它消耗所有流入的数据。） 步骤6：模型求解与结果解读 求解方法 ：上述模型是一个标准的线性规划问题。可以使用任何LP求解器（如单纯形法、内点法）进行求解。 求解结果 ： 最优值 \(t^ \)。网络的最大生存时间轮数 \(T^ = 1/t^* \)。 最优的流量分配 \(f_ {ij}^ \)。这定义了网络中长期的、平均的 路由树 （或 汇聚树 ）结构。从 \(f_ {ij}^ > 0\) 的边可以构建出从传感器到汇聚节点的数据传播路径。 每个节点的数据接收量 \(r_ i^ \) 和发送量 \(s_ i^ \)。 关键节点（瓶颈） ：在最优解中，至少有一个节点的能量约束是紧的（取等号）。这个节点是网络的“瓶颈”，它的能量最先耗尽，决定了网络生存时间。 举例说明（简单网络） 假设一个微型网络： 节点：汇聚节点 S（0），传感器A（1），传感器B（2）。 边： (A, S), (B, S), (A, B)。（全连通三角） 参数： \(d_ A = 2, d_ B = 1\)； \(e_ {tx} = 1, e_ {rx} = 0.5\)； \(E_ A = 100, E_ B = 80\)；汇聚因子 \(\alpha = 0.8\)。 目标：最大化 \(T\)。 我们根据模型建立线性规划。 定义变量 ： 流量： \(f_ {AS}, f_ {BS}, f_ {AB}, f_ {BA}\)。（注意 \(f_ {SA}, f_ {SB}\) 无意义，因为S不发送数据） 接收/发送量： \(r_ A, s_ A, r_ B, s_ B, r_ S, s_ S\)。 时间因子： \(t\)。 约束 ： 流量定义： \(r_ A = f_ {BA}\) \(s_ A = f_ {AS} + f_ {AB}\) \(r_ B = f_ {AB}\) \(s_ B = f_ {BS} + f_ {BA}\) \(r_ S = f_ {AS} + f_ {BS}\) \(s_ S = 0\) 流量守恒与汇聚： \(s_ A = d_ A + \alpha \cdot r_ A = 2 + 0.8 f_ {BA}\) \(s_ B = d_ B + \alpha \cdot r_ B = 1 + 0.8 f_ {AB}\) 能量约束： A: \(0.5 * r_ A + 1 * s_ A \le 100 t\) → \(0.5 f_ {BA} + (2 + 0.8 f_ {BA}) \le 100 t\) → \(2 + 1.3 f_ {BA} \le 100 t\) B: \(0.5 * r_ B + 1 * s_ B \le 80 t\) → \(0.5 f_ {AB} + (1 + 0.8 f_ {AB}) \le 80 t\) → \(1 + 1.3 f_ {AB} \le 80 t\) 非负：所有 \(f \ge 0, t \ge 0\)。 目标 ：最小化 \(t\)。 直观分析 ： 节点可以直接发往S，也可以通过另一个节点转发（可能利用汇聚节省流量）。 如果都不转发（\(f_ {AB}=f_ {BA}=0\)）： \(s_ A=2, s_ B=1\)。 A的约束：\(2 \le 100t \Rightarrow t \ge 0.02\) B的约束：\(1 \le 80t \Rightarrow t \ge 0.0125\) 取更紧的A约束，\(t=0.02, T=50\)轮。 如果B将数据发给A汇聚（\(f_ {AB}=d_ B=1, f_ {BA}=0\)）： 则 \(r_ A=0, s_ A=2+0.8 0=2\) \(r_ B=1, s_ B=1+0.8 1=1.8\) A的约束：\(2 \le 100t \Rightarrow t \ge 0.02\) B的约束：\(0.5 1 + 1 1.8 = 2.3 \le 80t \Rightarrow t \ge 0.02875\) 瓶颈变为B，\(t=0.02875, T\approx 34.78\)轮，更差。 如果A将数据发给B汇聚（\(f_ {BA}=d_ A=2, f_ {AB}=0\)）： 则 \(r_ A=2, s_ A=2+0.8 2=3.6\) \(r_ B=0, s_ B=1+0=1\) A的约束：\(0.5 2 + 1* 3.6 = 4.6 \le 100t \Rightarrow t \ge 0.046\) B的约束：\(1 \le 80t \Rightarrow t \ge 0.0125\) 瓶颈为B，\(t=0.046? \) 不对，检查：A的约束要求 \(t \ge 0.046\)，B的要求 \(t \ge 0.0125\)，所以A是瓶颈，\(t=0.046, T\approx 21.74\)轮，也更差。 最优解可能介于之间 ，需要LP求解器寻找 \(f_ {AB}, f_ {BA}\) 的最佳平衡，以均衡两个节点的能量消耗。 通过求解这个LP（可以使用在线LP求解器或编程），我们可以得到精确的最优 \(t^ \) 和对应的流量分配，从而最大化网络生存时间 \(T^ = 1/t^* \)。 总结 这个示例展示了如何将无线传感器网络中复杂的联合路由与数据汇聚优化问题，通过比例流量和能量约束的长期平均化，建模为一个线性规划问题。该模型的核心创新点在于： 汇聚因子的线性化 ：用 \(s_ i = d_ i + \alpha r_ i\) 简洁地建模了数据压缩效应。 生存时间的转换 ：通过引入变量 \(t = 1/T\)，将非线性约束转化为线性约束。 全局优化 ：线性规划可以一次性找到所有节点的最佳数据转发/汇聚策略，平衡各节点能耗，最大化网络整体寿命。 这个方法为WSN的网络协议设计（如构建高效的汇聚树）提供了理论上的最优上界和设计指导。