好的，在回顾了你已学习过的海量题目后，我将为你讲解一个未被提及的线性动态规划经典问题。

线性动态规划：最长回文子序列（基础版——求解长度）

题目描述：

给你一个字符串 s，请你找出并返回这个字符串中最长的 回文子序列 的长度。

子序列 定义为：在不改变字符相对顺序的情况下，通过删除某些字符（也可以不删除）后组成的新字符串。
回文 定义为：一个字符串正着读和反着读是一样的。

示例 1：
输入：s = "bbbab"
输出：4
解释：一个可能的最长回文子序列是 "bbbb"。

示例 2：
输入：s = "cbbd"
输出：2
解释：一个可能的最长回文子序列是 "bb"。

解题过程循序渐进讲解：

我们的目标是，在一个序列（字符串）中，找出一个符合特定条件（回文）的最长子序列。由于“子序列”不要求连续，这提示我们不能简单地使用处理子数组（连续）的思路。动态规划是解决这类问题的有力工具。

步骤一：定义状态
我们定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示字符串 s 在区间 [i, j]（即从下标 i 到下标 j 包含两端）内的子串中，最长回文子序列的长度。

• i 和 j 分别代表子串的起始和结束下标。
• 我们的最终答案就是 dp[0][n-1]，其中 n 是字符串 s 的长度。

步骤二：寻找状态转移方程
我们需要思考，如何从更小的子问题推导出 dp[i][j]。这取决于子串两端字符 s[i] 和 s[j] 的关系。

1. 情况一：s[i] == s[j]
   如果两端的字符相等，那么它们可以作为我们正在寻找的回文子序列的头和尾。在这种情况下，最优的回文子序列长度，就等于去掉头尾后，中间部分（子串 s[i+1...j-1]）的最长回文子序列长度，再加上这两个相等的字符（长度+2）。

   • 转移方程：dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2
   • 注意：当 i == j 时（即子串只有一个字符），i+1 会大于 j-1，我们定义这种情况的基础值是 0。

2. 情况二：s[i] != s[j]
   如果两端的字符不相等，那么它们不可能同时作为最终回文子序列的头和尾。因此，我们必须从两个方向“舍弃”一个字符，看哪个能得到更长的回文子序列。

   • 选项A：舍弃 s[i]，考虑子串 s[i+1...j] 的最长回文子序列长度，即 dp[i+1][j]。
   • 选项B：舍弃 s[j]，考虑子串 s[i...j-1] 的最长回文子序列长度，即 dp[i][j-1]。
   • 我们选择长度更长的那个。
   • 转移方程：dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1])

步骤三：确定初始条件和边界情况

• 单个字符：任何单个字符本身就是一个长度为 1 的回文串。所以对于所有 i，有 dp[i][i] = 1。
• 空串：当 i > j 时，表示我们考虑的子串是空的，其最长回文子序列长度自然为 0。这在我们的计算中，特别是处理 s[i] == s[j] 且 i+1 > j-1 的情况（即 i 和 j 相邻，j = i+1）时，需要作为基础。

步骤四：确定计算顺序
观察状态转移方程 dp[i][j] 依赖于 dp[i+1][j-1]、dp[i+1][j] 和 dp[i][j-1]。它依赖于更短的子串（i 更大或 j 更小）的结果。
因此，我们不能简单地按 i 从 0 到 n-1，j 从 0 到 n-1 的顺序计算。一个合理的顺序是：

• 按子串的长度 L 从短到长进行计算。因为长度更长的子串结果依赖于长度更短的子串结果。
• 外层循环 L 从 2 遍历到 n（长度为1的已经在初始化中完成）。
• 内层循环 i 从 0 遍历到 n - L，那么 j 就固定为 i + L - 1。

步骤五：示例推导（以 s = “bbbab” 为例）

初始化一个 5x5 的 dp 表，主对角线 dp[i][i] = 1。

初始状态：
   b b b a b (j)
 b 1 0 0 0 0
 b 0 1 0 0 0
 b 0 0 1 0 0
 a 0 0 0 1 0
 b 0 0 0 0 1
(i)

长度 L=2：
i=0, j=1: s[0]=b, s[1]=b，相等 -> dp[0][1] = dp[1][0] + 2。因为 i>j，dp[1][0]=0，所以 dp[0][1]=2。
i=1, j=2: s[1]=b, s[2]=b，相等 -> dp[1][2] = dp[2][1] + 2 = 0+2 = 2。
i=2, j=3: s[2]=b, s[3]=a，不等 -> dp[2][3] = max(dp[3][3], dp[2][2]) = max(1,1)=1。
i=3, j=4: s[3]=a, s[4]=b，不等 -> dp[3][4] = max(dp[4][4], dp[3][3]) = max(1,1)=1。

更新后：
   b b b a b (j)
 b 1 2 0 0 0
 b 0 1 2 0 0
 b 0 0 1 1 0
 a 0 0 0 1 1
 b 0 0 0 0 1
(i)

长度 L=3：
i=0, j=2: s[0]=b, s[2]=b，相等 -> dp[0][2] = dp[1][1] + 2 = 1+2=3。
i=1, j=3: s[1]=b, s[3]=a，不等 -> dp[1][3] = max(dp[2][3], dp[1][2]) = max(1,2)=2。
i=2, j=4: s[2]=b, s[4]=b，相等 -> dp[2][4] = dp[3][3] + 2 = 1+2=3。

更新后：
   b b b a b (j)
 b 1 2 3 0 0
 b 0 1 2 2 0
 b 0 0 1 1 3
 a 0 0 0 1 1
 b 0 0 0 0 1
(i)

长度 L=4：
i=0, j=3: s[0]=b, s[3]=a，不等 -> dp[0][3] = max(dp[1][3], dp[0][2]) = max(2,3)=3。
i=1, j=4: s[1]=b, s[4]=b，相等 -> dp[1][4] = dp[2][3] + 2 = 1+2=3。

更新后：
   b b b a b (j)
 b 1 2 3 3 0
 b 0 1 2 2 3
 b 0 0 1 1 3
 a 0 0 0 1 1
 b 0 0 0 0 1
(i)

长度 L=5：
i=0, j=4: s[0]=b, s[4]=b，相等 -> dp[0][4] = dp[1][3] + 2 = 2+2=4。

最终结果：dp[0][4] = 4。

步骤六：代码实现要点（Python）

def longestPalindromeSubseq(s: str) -> int:
    n = len(s)
    # 初始化一个 n x n 的二维数组，所有值为0
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]

    # 初始化：单个字符是长度为1的回文
    for i in range(n):
        dp[i][i] = 1

    # 按长度从2到n进行递推
    for length in range(2, n + 1): # length表示子串长度
        for i in range(n - length + 1):
            j = i + length - 1
            if s[i] == s[j]:
                # 如果子串长度为2，即i+1 > j-1的情况，中间部分长度为0
                if length == 2:
                    dp[i][j] = 2
                else:
                    dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1])

    return dp[0][n-1]

总结：
这个问题的核心在于巧妙地定义了 dp[i][j] 来表示子串 s[i...j] 的最优解。通过分析首尾字符的关系，我们得到了简洁而强大的状态转移方程。计算顺序（按子串长度递增）确保了在计算 dp[i][j] 时，它所依赖的子问题都已经被计算出来。这是解决“序列类”区间动态规划问题的经典范式。理解了这个问题，就为后续更复杂的回文子序列变种（如统计个数、构造序列等）打下了坚实的基础。