基于逆序对的“排序距离”度量与Kendall Tau相关性的计算优化

题目描述

我们通常用逆序对的数量来衡量一个排列相对于完全有序状态的“混乱程度”。在统计学和信息检索中，Kendall Tau 等级相关系数（Kendall Tau Rank Correlation Coefficient）正是基于这个思想，用于度量两个排列（或排名序列）之间的相似性。

具体来说，给定两个长度均为 n 的排列 arr1 和 arr2（它们都是数字 1 到 n 的某种排列），我们可以定义一个“顺序一致对”的概念：对于一对索引 (i, j) 且 i < j，如果在两个排列中，元素 arr1[i] 和 arr1[j] 的相对顺序（即谁前谁后）与 arr2[i] 和 arr2[j] 的相对顺序一致，则称这对索引是顺序一致的；否则，就是顺序不一致的（即构成一个“逆序对”）。

Kendall Tau 距离（或相关性）就是通过计算顺序不一致对的数量来定义的。本题要求：

1. 理解如何将一个排列“对齐”到另一个排列，从而将问题转化为标准逆序对计数问题。
2. 设计一个基于归并排序的高效算法，计算两个给定排列之间的顺序不一致对数量（即逆序对数量）。
3. 分析算法的时间复杂度和空间复杂度。

解题过程

步骤1：问题转化——映射建立

我们无法直接比较 arr1 和 arr2 在不同索引下的值。关键技巧是，我们以其中一个排列为“参考基准”，将另一个排列“映射”到一个新的序列上，使得在新序列中计算逆序对，就等价于计算两个原始排列之间的顺序不一致对。

具体操作：

1. 假设我们以 arr1 作为基准，认为它是标准顺序 [1, 2, ..., n]（注意，arr1 本身是 1 到 n 的一个排列，我们可以将其看作一个“自定义”的标准顺序）。
2. 构建一个映射 position：对于 arr1 中的每个数字 x，记录它出现的位置索引（即 arr1[position[x]] = x）。由于 arr1 是排列，每个数字出现且仅出现一次。
3. 根据这个映射，将 arr2 “翻译”成一个新序列 mappedArr：对于 arr2 中的每个数字 y，mappedArr 中对应位置的值是 position[y]。也就是说，mappedArr[i] = position[arr2[i]]。

为什么这样做？

• 在原始问题中，我们比较的是数字在两个排列中的相对顺序。
• 经过映射后，mappedArr[i] 表示的是数字 arr2[i] 在 arr1（基准排列）中的位置。
• 现在，在 mappedArr 中，如果存在一对索引 (i, j) 且 i < j，但 mappedArr[i] > mappedArr[j]，这意味着什么？
  • 在 arr2 中，数字 arr2[i] 排在 arr2[j] 前面。
  • 但是，在基准 arr1 中，arr2[i] 的位置（position[arr2[i]]）却比 arr2[j] 的位置（position[arr2[j]]）靠后。
  • 因此，这对 (i, j) 在两个排列中的相对顺序是不一致的！它正好构成了一个我们想找的“顺序不一致对”。
• 结论：计算 mappedArr 中的逆序对数量，就等于计算原始排列 arr1 和 arr2 之间的顺序不一致对数量。

举例：

• 设 n = 4。
• arr1 = [1, 3, 4, 2] （我们的基准排列）。
• arr2 = [4, 2, 1, 3]。
• 构建 position：
  • position[1] = 0 (数字1在arr1的索引0)
  • position[3] = 1
  • position[4] = 2
  • position[2] = 3
• 构造 mappedArr：
  • arr2[0]=4 -> position[4]=2 -> mappedArr[0]=2
  • arr2[1]=2 -> position[2]=3 -> mappedArr[1]=3
  • arr2[2]=1 -> position[1]=0 -> mappedArr[2]=0
  • arr2[3]=3 -> position[3]=1 -> mappedArr[3]=1
  • 所以 mappedArr = [2, 3, 0, 1]。
• 计算 mappedArr 的逆序对：
  • 对 (0,2): 2>0 ✓
  • (0,3): 2>1 ✓
  • (1,2): 3>0 ✓
  • (1,3): 3>1 ✓
  • (2,3): 0<1 ✗
  • 共有4个逆序对。
• 验证：原始两个排列 [1,3,4,2] 和 [4,2,1,3] 的顺序不一致对确实也是4个（可以手动枚举验证）。

步骤2：基于归并排序的逆序对计数

现在问题转化为：给定序列 mappedArr，如何高效计算它的逆序对数量？一个经典且高效的方法是在归并排序的过程中进行统计。

算法思想（递归分治）：

1. 分解：将数组 mappedArr 平均分成左右两半。
2. 递归解决：递归地对左半部分和右半部分分别进行排序，并分别得到左半部分内部的逆序对数量 leftInv 和右半部分内部的逆序对数量 rightInv。
3. 合并与统计：在将两个已排序的子数组合并成一个有序数组的过程中，统计“跨越”左右两部分的逆序对数量 crossInv。
   • 假设左半部分为 L，右半部分为 R，它们各自已经有序。
   • 我们使用双指针 i（指向 L）和 j（指向 R）进行归并。
   • 关键观察：当 L[i] > R[j] 时，由于 L 有序，L[i] 及其之后的所有元素都大于 R[j]。因此，对于当前的 R[j]，它与左半部分中从 i 到末尾的所有元素都构成逆序对。
   • 所以，crossInv 可以增量计算：当我们将 R[j] 放入合并后的数组时，给计数器加上 (mid - i)，其中 mid 是左半部分的结束位置索引。
4. 汇总：总逆序对 = leftInv + rightInv + crossInv。

步骤3：详细算法实现

我们实现一个函数 countInversions(arr, temp, left, right)，它返回子数组 arr[left..right] 中的逆序对数量，并在过程中将这部分排序到临时数组 temp 中，最后拷贝回原数组。

伪代码/关键步骤：

函数 countAndSort(arr, temp, left, right):
   如果 left >= right:
       返回 0
   mid = (left + right) // 2
   invCount = 0
   invCount += countAndSort(arr, temp, left, mid)      // 左半逆序对
   invCount += countAndSort(arr, temp, mid+1, right)  // 右半逆序对
   invCount += mergeAndCount(arr, temp, left, mid, right) // 跨左右逆序对
   返回 invCount

函数 mergeAndCount(arr, temp, left, mid, right):
   i = left      // 左半部分起始
   j = mid+1     // 右半部分起始
   k = left      // 临时数组起始
   invCount = 0

   当 i <= mid 且 j <= right:
       如果 arr[i] <= arr[j]:
           temp[k] = arr[i]
           i++
       否则: // arr[i] > arr[j]，发现逆序对
           temp[k] = arr[j]
           invCount += (mid - i + 1) // 核心计数！
           j++
       k++

   // 拷贝剩余部分
   当 i <= mid:
       temp[k] = arr[i]; i++; k++
   当 j <= right:
       temp[k] = arr[j]; j++; k++

   // 将排序后的片段拷回原数组
   将 temp[left..right] 复制到 arr[left..right]
   返回 invCount

主函数计算Kendall Tau距离：

函数 kendallTauDistance(arr1, arr2):
   n = arr1 的长度
   创建数组 position[1..n] // 假设数字从1开始，否则需要偏移
   for i from 0 to n-1:
       position[arr1[i]] = i

   创建数组 mappedArr[0..n-1]
   for i from 0 to n-1:
       mappedArr[i] = position[arr2[i]]

   创建临时数组 temp[0..n-1]
   返回 countAndSort(mappedArr, temp, 0, n-1)

最终返回的逆序对数量，就是两个排列之间的 Kendall Tau 距离。如果需要Kendall Tau相关系数，公式为：τ = 1 - (4 * distance) / (n*(n-1))，其值范围在[-1, 1]之间，1表示完全一致，-1表示完全相反。

步骤4：复杂度分析

• 时间复杂度：O(n log n)。构建映射 position 和 mappedArr 需要 O(n) 时间。基于归并排序的逆序对计数也是 O(n log n) 时间。因此总时间复杂度为 O(n log n)。
• 空间复杂度：O(n)。主要开销来自归并排序时使用的临时数组 temp，以及映射数组 position 和 mappedArr，它们的大小均为 O(n)。

总结

通过巧妙的映射，我们将两个排列的相似性比较问题，转化为一个经典序列的逆序对计数问题。再利用分治思想（归并排序）高效地解决逆序对计数。这种方法不仅高效，而且清晰地揭示了“顺序不一致”的直观含义与逆序对之间的本质联系。该算法是计算 Kendall Tau 等级相关系数的标准高效方法，在数据分析和推荐系统等领域有广泛应用。